1、2019-2020年高中数学竞赛决赛试卷试题含答案解析一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置）1从集合1，3，6，8中任取两个数相乘，积是偶数的概率是ABCD 2若是第四象限角，且，则是 A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角3. 已知点不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则A点不在直线上 B点在线段上C点在线段的延长线上 D点在线段的反向延长线上4设，若直线与圆相切，则的取值范围是A. B. C. D.5. 已知正方体C1的棱长为，以C1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各
2、个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3的棱长为A18 B C9 D 6. 已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则A B C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分请把答案填在答题卡相应题的横线上）7已知，则不等式的解集为 .8随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 人.4.34.44.54.64.74.84.95.05.1.75.20.10.3视力频率
3、/组距9在中，角所对应的边长分别为，若，则的最小值为 . 10给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交；（2）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面；（3）如果平面平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直；（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）11若动点在直线上运动，且满足8，则的取值范围是 12设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为n（nN*）的点，向量，向量，设为向量与向量的夹角，满足的最大整数是 。 答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）题号
4、123456答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）7 8 9 10 11 12 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调减区间；（2）该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到?（3）已知，且，求的值14.（本小题满分12分）菱形中，点是线段的中点，线段与交于点.（1）若向量，求点的坐标；（2）当点运动时，求点的轨迹.ABCDEF15（本题满分13分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ABE为等腰三角形，AEBE，平面ABCD平面ABE，点F在CE上，且BF平面ACE.（1）判
5、断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；（2）求点D到平面ACE的距离. 16（本题满分13分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部
6、分污水.（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m3，试根据环保部门的要求写出x、y所满足的所有条件；（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污乙厂支流500万m3/天甲厂700万m3/天水的总费用最小？最小总费用是多少元？ 17（本题满分14分）已知.（1）当时，若函数的图象与直线均无公共点，求证：（2）时，对于给定的负数，记使不等式成立的的最大值为.问为何值时，最大，并求出这个最大的，证明你的结论. xx高中数学竞赛决赛参考答案
7、11.24一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）题号123456答案ABDCDB二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）7 8 78 910 （3）（4） 11 2，8 12 3 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）解：（1） 2分令， 得，的单调减区间为， 5分（2）先把函数的图象向左平移个单位，就得到函数的图象； 再把其纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，就得到的图象7分 （3）由得：即 8分 因为,所以.从而 10分于是 . 12分14.（本小题满分12分）解：（1）菱形中，且，所以.4分（2
8、设，则. 5分又因为点是线段的中点，线段与交于点，即点是的重心，从而有,所以 7分菱形的对角线互相垂直，所以，即 ，亦即，整理得：（）， 11分故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，除去与的交点. 12分15（本题满分13分）解：（1）平面ADE与平面BCE垂直. 1分证明如下：ABCDEF因为BF平面ACE，所以BFAE. 3分 因为平面ABCD平面ABE，且ABCD是正方形，BCAB，平面ABCD平面ABEAB，所以BC平面ABE，从而BCAE. 6分于是AE平面BCE，故平面ADE平面BCE. 7分（2）连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，ABCDEFMG所以点D与点B到平面ACE的
9、距离相等. 8分因为BF平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离. 9分因为AE平面BCE，所以AEBE.又AEBE，所以AEB是等腰直角三角形. 10分因为AB2，所以BE. 11分 在RtCBE中， 故点D到平面ACE的距离是. 13分16（本题满分13分）解：（1）据题意，x、y所满足的所有条件是 ， 4分即 . 5分Axyo121.44x5y=8l（2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则目标函数z1200x1000y200(6x5y).7分 作可行域，如图. 10分 平移直线l：6x5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，z取最大值，此时z1200110000.8xx（元）.
10、 12分 故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是xx元. 13分17（本题满分14分）解：(1)由与直线均无公共点（），可知无解， 1分由无解，得：，整理得： (1) 3分由无解，得：，整理得： (2) 5分由(1),(2)得: . 6分(2) 由，所以 7分因为, 由得， 9分所以恒成立，故不等式成立的的最大值也就是不等式成立的的最大值，10分因此为方程的较大根，即（） 11分当时，是关于的增函数， 13分所以，当时，取得最大值，其最大值为. 14分18（本题满分14分）解：（1）由条件可得，根据题意知， 1分由为数列中的第m项，
11、则有， 2分那么， 4分因,所以是数列中的第项 5分（2）设在区间上存在实数b使得数列和有公共项， 即存在正整数s，t使， 因自然数,s，t为正整数，能被整除 6分 当时， 当 时，若，即能被整除， 8分此时数列和有公共项组成的数列，通项公式为；若，显然，即不能被整除 9分 当时, ， 10分 若，则，又与互质，故此时 11分若，要，则要，此时， 12分 由知，能被整除， 故，即能被整除当且仅当时，能被整除 13分 此时数列和有公共项组成的数列，通项公式为.综上所述，存在，使得数列和有公共项组成的数列，且当时,数列；当时,数列. 14分 18（本题满分14分）已知数列和的通项公式分别为和.（1）当时，记，若是中的第项，试问：是数列中的第几项？请说明理由（2）对给定自然数，试问是否存在，使得数列和有公共项？若存在，求出的值及相应的公共项组成的数列，若不存在，请说明理由
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