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1、非线性有限元 第7章 任意的Lagrangian和Eulerian公式,计算固体力学,第7章 任意的Lagrangian和Eulerian公式,引言 ALE连续介质力学 ALE守恒规则 ALE控制方程 弱形式 网格更新算法 Petrov-Galerkin方法,1 引言,解决：在发生严重大变形的模拟中，重新划分网格是不可避免的，工作量大，而且由于网格投影引入了误差。,提出：许多问题应用Lagrangian网格不能有效地解决。 问题：当材料严重变形时，Lagrangian单元同样发生严重的扭曲，因为它们随材料一起变形，从而恶化了这些单元的近似精度，特别是对于高阶单元。因此，在积分点的Jacobia
2、n行列式可能成为负值，从而使计算中止或者引起严重的局部误差。此外，也恶化了线性化牛顿方程的条件，并且显式稳定时间步长明显地下降。,一个Lagrangian网格像在材料上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻(和单元)随着变形。 一个Eulerian网格像放在材料前面一薄片玻璃上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻不变形，而材料横穿过网格。,1 引言,Lagrangian网格，材料点与网格点保持重合，单元随材料变形，适合描述固体与结构的变形，但容易严重扭曲。,解决方法：ALE网格 (Arbitrary Lagrangian Eulerian) 节点能够有序地任意运动，在边界上的节点保持在边界上运动，内部的节点运动使网
3、格扭曲最小化。,1 引言,1 引言,Mesh adaptivity is based on solution variables as well as minimum element distortion Elements concentrate in areas where they are needed Adaptation is based on boundary curvature,Deformation of a rubber seal,Initial configuration,1 引言,在某些问题中，Lagrangian方法是根本不适用的。例如，对于高速流动的流体力学问题，如围绕
4、机翼的区域，喷射等。 在Eulerian有限元中，网格与物质是相互独立的，网格在空间上是固定的，材料从网格中流过。这样Eulerian有限元不会随着材料运动而扭曲；但是，由于材料通过单元对流，本构方程的处理和更新是复杂的。,应用Eulerian单元处理移动边界和相互作用问题是困难的，因此，发展了ALE。,2 ALE连续介质力学,材料坐标与空间坐标,空间坐标与ALE坐标,在Lagrangian、Eulerian和ALE域之间的映射,ALE坐标（参考）,ALE坐标与材料坐标,相对运动关系,2 ALE连续介质力学,在ALE算法中，网格运动是预先设置的或者是由计算得到的。,网格位移,网格速度,网格加速
5、度,ALE网格的加速度和速度没有任何物理意义。当网格是Lagrangian 时，它们对应于材料速度和加速度。,定义传递速度 c，作为材料速度和网格速度之间的差,c0，为L格式；cv，( ) 为E格式。,2 ALE连续介质力学,考虑一个指定的函数,为ALE坐标 和时间t 的函数,参考质点速度w,材料速度和网格速度的差,对于材料速度,2 ALE连续介质力学,利用空间梯度建立材料时间导数的表达式,代入,f 若代表是速度，上式为加速度,坐标之间的转换关系见例7.1。,(7.2.17),3 ALE守恒规则,守恒规则，在形式上与在第3章Eulerian描述中的那些几乎相同，唯一的修改是用材料时间导数的AL
6、E形式(7.2.17)代替所有的材料时间导数，其结果是在更新的L格式中的Eulerian描述和ALE描述之间的唯一区别是材料时间导数项。,与在第4章中建立的Lagrangian格式的主要区别是，现在需要以偏微分方程(即连续方程)的形式考虑质量守恒方程，因为域随时间变化，质量亦随时间变化。,因此，我们几乎总是在处理两个系统的偏微分方程：标量连续方程和向量动量方程。当它们与热交换或者其它能量转换耦合时，还必须包括能量方程。,4 ALE控制方程,连续方程(质量守恒),或者,动量方程,能量方程,自然边界条件,在 上,在 上,基本位移边界,在 上,在 上,初始条件,5 弱形式,有限元近似,对于单元e，A
7、LE坐标给出为,单元e坐标,网格运动给出为,节点的运动,这代表两个映射复合：从母单元到ALE的映射和网格运动的映射,网格速度为,节点I 的网格速度,Lagrangian、Eulerian、ALE和自然坐标域之间的映射,5 弱形式,有限元近似,即单元坐标、网格坐标、空间坐标和材料坐标之间的映射,5 弱形式,有限元近似,在ALE格式中，密度也是一个非独立变量。密度被近似为,密度的形状函数，可能不同于网格运动的形状函数,速度的材料时间导数,在离散运动方程中的动力学项将以网格加速度v,t表示， 通过积分和插值，给出材料速度为,应用类似的插值，得到传递速度为,5 弱形式,有限元近似,由传递速度公式,得到
8、,材料速度的ALE时间导数,结论是，在弱形式中的材料速度的时间导数为,对于密度的材料时间导数，应用同样的过程，给出,5 弱形式,有限元矩阵,连续方程,容量、转换和散度矩阵分别为,动量方程,M和L分别是广义质量和传递矩阵，对应于在参考构形下的速度,5 弱形式,有限元矩阵,动量方程,注意到除了它们是以变分形状函数的形式定义之外，内部和外部节点力与更新的Lagrangian格式（框4.3）中的对应项是一致的。质量矩阵不是时间的常量，因为密度和域随时间变化。,6 网格更新算法,在ALE中，网格可以任意移动给出了大变形的可能性。通过ALE移动边界（指物理表面）能够利用Lagrangian的精确特性来循迹
9、，内部网格也可以移动以避免过渡的单元扭曲。然而这需要一种有效的算法来更新网格，即网格速度 必须给定，以避免网格扭曲和保证边界和接触面至少局部地保持Lagrangian 。,对应于域边界在每一时刻均已知的分析，预先给定网格运动。当域边界有一个已知的运动时，网格随这一边界的运动可以预先给定。,6 网格更新算法,建立材料和网格速度的关系，只有给定其中一个，自动确定另一个,1 如果给定,，可以计算位移 和加速度 。,应用显式积分算法和中心差分算法，而不需要计算相对速度w 。,2 如果 未知，给定了 w ，在更新网格前求解上式计算 。,发展ALE的核心问题是给定这些速度的最佳选择和更新网格的算法。,3
10、给定 和 w 的分量形式，混合算法 。,当域边界有一个已知的运动时，网格随这一边界的运动可以预先给定。,6 网格更新算法,2. Lagrange-Euler 矩阵方法，任意定义相对速度（参考）,Lagrange-Euler 参数矩阵,如果 ，则 ， 可以是时间和空间的函数。,由上式，相对速度是材料速度的线性函数，,如果 ，则 ，Lagrangian网格描述。,如果 ，则 ，Eulerian网格描述。,6 网格更新算法,由传递速度和相对速度,得到,在参考域边界上必须满足后一个方程。得到一个网格再分区的 基本方程：,在二维情况下的显式格式如下：,问：,或,分别对应什么格式？,6 网格更新算法,带有
11、网格更新的ALE技术基于L-E参数，对表面波动问题是非常有用的。我们假设自由表面相对于总体坐标是有导向的，曲面方程可以写为,欧拉坐标用于 方向，,自由表面通过一个空间坐标定义，它对其余两个空间坐标和时间是连续可微的函数，L-E矩阵只有一个非零项,一般等于1,称为累计率函数，表示在自由表面得到或失去的质量。,自由表面是物质表面；沿着表面累计率必须为零；所以 等于1,6 网格更新算法,在贮箱内的液体晃动,自由表面的液体晃动,Coupled equations,Free surface,Fluid-structure interface,Sf,Sw,1 On Sw: the geometrical
12、compatibility conditions (slipping boundary condition)are applied:,2 On Sw: the equilibrium conditions are applied:,6 网格更新算法,Elephant foot bulging (EFB) Diamond shape bulging (DSB),流体/结构耦合分析,6 网格更新算法,流体/结构耦合分析,程序平台：ABAQUS/用户单元附加质量,例：动力作用下的液体贮箱,Elephant foot bulging Diamond shape bulging,EFB and DSB,
13、EFB and DSB,6 网格更新算法,程序平台：ABAQUS/ALE流体单元,例2：动力作用下的液体贮箱,Elephant foot bulging,Deformation between test data and FEM by added mass and ALE,流体/结构耦合分析,6 网格更新算法,6 网格更新算法,由于 方法对表面的单元跟踪很好，但是很难保证流体域内部的 单元扭曲。由于这个缺点，引入了一种混和方法，变形梯度法，一旦 边界已知，通过给定网格的位移或者速度，避免单元缠结和扭曲。,3. 变形梯度法混合算法,由于网格位移和速度直接控制单元的形状，沿着域边界给定 ，在内部给
14、定节点位移或者速度，混合算法。,ALE网格，边界处，Lagrangian化； 在内部，Eulerian化。,作为一个使用修正的弹性方程的ALE网格更新的例子，考虑一个位于一个矩形流体域中的圆柱绕流的有限元网格。在圆柱沿着y方向移动了一个位移0.25w后的网格见图b。矩形域的边界保持固定。由图可见，圆柱附近的网格精度在更新后的网格中得以保持，并且无明显的单元扭曲发生。,网格更新的例子,6 网格更新算法,7 Petrov-Galerkin方法,伽辽金(Galerkin)方法，是利用满足位移和应力边界条件 的函数寻求积分方程的解答。,关键问题是增加粘性，消除不稳定项，保证数值稳定性。,建立Petro
15、v-Galerkin方法的迎风流线(Streamline Upwind Petrov-GalerkinSUPG)公式。对流扩散方程是一个有用的方法，它对应于动量方程的线性化。对于离散的稳态对流扩散方程，将得到闭合解答。将证明当网格参数(已知的Peclet数)超过临界值时，这个解答在空间是振荡的。通过建立P-G方法以消除这些振荡，即纠正不稳定性。,在一维中，离散方程类似于标准迎风方程。然而在多维中，它们提供了沿着流线引导迎风项的一致理论框架。,迎风格式的基本思想：当用差分方程求解偏微分方程时，利用特征线方向一侧的单边差商来代替空间偏导数。目的是保证数值稳定性。如一阶线性常系数双曲型方程：,7 P
16、etrov-Galerkin方法,在特征线方向一侧的单边差商来代替偏导数，迎风格式为：,n,j,j+1,n,j,j+1,中心差分格式需要加入非线性人工粘性项以去掉激波前振荡，同时加入线性数值粘性项以确保计算稳定。 迎风格式依据Euler方程中波传播的信息构造格式，无需添加人工粘性项，迎风格式为空间差分格式(偏心差分格式)，理论上比中心差分格式扎实。,7 Petrov-Galerkin方法,如果差分格式(所用的网格点)与微分方程的特征线方向一致，那么网格比 在满足一定条件下是稳定的，否则，差分格式是不稳定的。,双曲线型微分方程的特征线存在交叉，导数不连续。,7 Petrov-Galerkin方法
17、,稳态线性对流扩散方程为,运动粘度,给定速度,对于一维问题，偏微分方程成为常微分方程,应用边界条件,这是在0xL 域上的两点边值问题，容易证明公式的精确解答是,空间非独立变量,7 Petrov-Galerkin方法,应用线性形状函数建立Galerkin离散，并在全域上积分,变分函数,分部积分并且应用散度原理，对流扩散方程的弱形式是,将域（0，L）划分成相同尺寸的单元,在每个单元上的离散方程给出为,有限元的形状函数,对于第j个节点的内部方程为,7 Petrov-Galerkin方法,上式恰好是中心差分方程，可以方便地重写成为,1 如果Peclet数小于1，,则离散解答是类似于精确解答；,2 如果Peclet数大于1，,则离散解答是正或者负而振荡。,这种不稳定是数值离散的空间不稳定。,Peclet数,精确解,离散解,将上式中的变分函数重写为,式中,选择 是为了消除振荡，期望得到精确解。,如,简化成为中心差分方法,是一个完全的迎风公式,7 Petrov-Galerkin方法,应用线性形状函数建立Galerkin离散，并在全域上积分,逆P-G项,G项,总结,ALE网格，调整网格运动的相对速度。 边界处，Lagrangian化； 在内部，Eulerian化； 稳定性，增加粘性。,