第章正弦交流电路.ppt

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1、第4章 正弦交流电路,4.1 正弦量的基本概念 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 电容元件和电感元件 4.4 三种元件伏安特性的相量形式 4.5 基尔霍夫定律的相量形式 4.6 RLC串联电路 4.7 RLC并联电路 4.8 用相量法分析正弦交流电路 4.9 正弦交流电路中的功率 4.10 正弦交流电路中的最大功率 4.11 串联谐振 4.13 三相正弦电路 小结,4.1 正弦量的基本概念,4.1.1正弦量的三要素 以正弦电流为例， 对于给定的参考方向， 正弦量的 一般解析函数式为 i(t)=I m sin(t+) (41) 1. 瞬时值和振幅值 交流量任一时刻的值称瞬时值。 瞬时值中的最大

2、值(指绝对值) 称为正弦量的振幅值， 又称峰值。 Im、Um分别表示正弦电流、 电压 的振幅值。,图 4.1 正弦量的波形图,2.周期和频率 正弦量变化一周所需的时间称为周期。 通常用“T”表示， 单位为秒(s)。 实用单位有毫秒(ms)、 微秒(s)、 纳秒(ns)。 正弦量每秒钟变化的周数称为频率， 用“f”表示， 单位为赫兹(Hz)。 周期和频率互成倒数， 即 3. 相位、 角频率和初相 正弦量解析式中的t+称为相位角或电工角，简称相位或相角。 正弦量在不同的瞬间，有着不同的相位，因而有着不同的状态(包括瞬时值和变化趋势)。相位的单位一般为弧度(rad)。 相位角变化的速度,称为角频率，

3、 其单位为rad/s或1/s。 相位变化2rad， 经历一个周期T， 那么,t=0时， 相位为， 称其为正弦量的初相。此时的瞬时值i(0)=I m sin， 称为初始值。 如图4.2所示。,由式(42)可见， 角频率是一个与频率成正比的常数。,图 4.2 计时起点的选择,当=0时， 正弦波的零点就是计时起点， 如图4.2(a)所示； 当0， 正弦波零点在计时起点之左， 其波形相对于 =0 的图 4.4例4.1图 波形左移角， 如图4.2(b)所示； 当0， 正弦波零点在计时起点之右， 其波形相对于=0的波形右移|角， 如图4.2(c)所示。 ,例 4.1 图4.5给出正弦电压u ab 和正弦电

4、流iab 的波形。 (1) 写出uab 和iab 的解析式并求出它们在t=100 ms时的值。 (2) 写出iba 的解析式并求出t=100 ms时的值。 解 由波形可知uab 和iab 的最大值分别为300mV和5 mA， 频率 都为1 kHz， 角频率为2000 rad/s ， 初相分别为 和， ， 它 们的解析式分别为,以上确定角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点。 在图4.3中，确定角的零点是A点而不是B点， =120 而不是240。,图 4.3 初相的规定,4.1.2相位差 1. 相位差 两个同频率的正弦量 u 1(t)=U 1m sin(t+ 1) u 2(t)=U 2m si

5、n(t+ 2),(1) t=100 ms时， u ab 、 i ab 分别为,（2）,之间相位之差称为相位差， 用或带双下标表示 12 =(t+ 1 )(t+ 2 )= 1 2 对于 u(t)=Um sin(t+ u ) i(t)=Im sin(t+ i ) 电压u与电流i的相位差 (或 ui )= u i 当两个同频率正弦量的计时起点改变时， 它们之间的初相也随之改变， 但二者的相位差却保持不变。 2. 相位差的几种情况 3. 参考正弦的概念,图 4.5 相位差的几种情况,例 4.2 求两个正弦电流i 1(t)=14.1 sin(t120)， i 2(t)=7.05 cos(t60)的相位差

6、12 。 解 把i 1和i 2写成标准的解析式， 求出二者的初相， 再求出相位差。,则,例4.3 三个正弦电压uA(t)=311sin314tV， uB(t)=311 sin(314t+2/3) V， uC(t)=311sin(314t2/3) V， 若以 uB为参考正弦量， 写出三个正弦电压的解析式。 解 先求出三个正弦量的相位差， 由已知得,以uB为参考正弦量， 它们的解析式为,4.1.3正弦量的有效值 交流电的有效值是根据它的热效应确定的。 如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻R, 在一个周期T内所产生的热量相等， 那么这个直流电流I的数值叫做交流电流的有效值。 由此得出 ,所以，

7、 交流电流的有效值为,同理， 交流电压的有效值为,对于正弦交流电流,(43),(44),代入式(43)， 它的有效值为,例 4.4 一个正弦电流的初相角为60， 在 时电流的值为 5 A， 试求该电流的有效值。 解 该正弦电流的解析式为,同理,(45),由已知得,或,对应的有效值,则,作业：P（148149）页 4.1 4.2 4.3 4.4,4.2 正弦量的相量表示法,4.2.1正弦量的相量表示 1. 正弦量的向量表示 设某正弦电流为 根据欧拉公式可以把复指数 展开成,上式的虚部恰好是正弦电流i， 即,上式中， Im 是“取复数虚部”的意思， 而,像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数 就

8、叫做正弦量的相量。 同样，正弦电压的相量为 相量是一个复数， 它表示一个正弦量， 所以在符号字母上加上一点， 以与一般复数相区别。 特别注意， 相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。 二者不能用等号表示相等的关系，只能用“”符号表示相对应的关系 相量也可以用振幅值来定义。 2. 相量图及参考相量 在复平面上可用一个矢量表示相量， 该矢量称正弦量的相量图(也简称相量)， 其符号与相量相同， 如图4.6(a)所示。画几个同频率正弦量的相量图时， 可选择某一相量作为参考相量先画出， 再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量。 参考相量的位置可根据需要， 任意选择。 ,图 4.6 正弦量的

9、相量图,3. 旋转因子及旋转相量 在复平面上可用一个矢量表示相量， 该矢量称正弦量的相量图(也简称相量)， 其符号与相量相同， 如图4.6(a)所示。 画几个同频率正弦量的相量图时， 可选择某一相量作为参考相量先画出， 再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量。 参考相量的位置可根据需要， 任意选择。 ,e jt = /t 是一个旋转因子。 相量 乘以 /t 表示相量 m以为角速度沿逆时针方向旋转， t=0时， 幅角位于 i 处。 旋转相量在虚轴上的投影 I sin(t+i )为正弦量的瞬时值。 Im sin i 为i(t)的初始值， 如图4.6(b)所示。 所以， 也可以用旋转相量表

10、示正弦量。 例 4.5 已知正弦电压u1(t)=141 sin(t+/3) V， u2(t)=70.5 sin(t-/6) V， 写出u1和u2的相量， 并画出相量图。 ,相量图如图4.7所示,图 4.7 例4.5图,例 4.6 已知两个频率均为50 Hz的正弦电压， 它们的相量分别为 1=380 /6 V, 2=220 /3 V， 试求这两个电压的解析式。 解 =2f=250=314 rad/s u 1= U 1 sin(t+ 1 )=380 sin(314t+/6) V u 2= U 2 sin(t+ 2 )=220 sin(314t-/3) V 4.2.2 两个同频率正弦量之和 1. 两

11、个同频率正弦量的相量之和 设有两个同频率正弦量 ,利用三角函数， 可以得出它们之和为同频率的正弦量， 即,可以看出， 要求出同频率正弦量之和， 关键是求出它的有效值和初相。 可以证明， 若u=u 1+u 2， 则有 2. 求相量和的步骤 (1) 写出相应的相量， 并表示为代数形式。 (2) 按复数运算法则进行相量相加， 求出和的相量。 (3) 作相量图， 按照矢量的运算法则求相量和。 如图48所示。 图.9表示多个相量加减的多边形法则。 ,其中,图 4.8 两个相量加减的三 角形法则,例4.7 uA(t)=220 sintV， uB(t)=220 sin(t120) V， 求u A+uB和 u

12、AuB 。 解 (1) 相量直接求和。,(2) 作相量图求解。 见图4.10， 根据等边三角形和顶角为120的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果， 读者自行分析。 ,图 4.10 例4.7图,图 4.9 相量加减的多边形法则,作业： P99页 （2） （3） P148页 4.6,4.3 电容元件和电感元件,4.3.1 电容元件 1. 电容元件 电容元件是各种实际电容器的理想化模型， 其符号如图4.11(a)所示。 电荷量与端电压的比值叫做电容元件的电容，理想电容器的电容为一常数， 电荷量q总是与端电压u成线性关系， 即,图 4.11 理想电容的符号和特性,SI中电容的单位为法拉，简称法，符

13、号为F。 常用单位有， 微法(F)， 皮法(pF)。 式(48)表示的电容元件电荷量与电压之间的约束关系， 称为线性电容的库伏特性， 它是过坐标原点的一条直线。 如图4.11(b) 所示。 2. 电容元件的伏安特性 对于图4.11(a)， 当u、 i取关联参考方向时， 结合式(48)， 有,(48),(49),当u、 i为非关联参考方向时， 有,电容的伏安特性说明： 任一瞬间， 电容电流的大小与该瞬间电压变化率成正比， 而与这一瞬间电压大小无关。,对式(49)进行积分可求出某一时刻电容的电压值。 任选初始时刻t 0。 以后，t时刻的电压为,(410),若取t 0=0， 则,3 电容元件的电场能

14、 关联参考方向下， 电容吸收的功率,电容元件从u(0)=0 (电场能为零)增大到u(t)时， 总共吸收的能量， 即 t时刻电容的电场能量。,(411),当电容电压由 u减小到零时， 释放的电场能量也按上式计算。 动态电路中，电容和外电路进行着电场能和其它能的相互转换， 本身不消耗能量。 例 4.8 (1) 2F 电容两端的电压由t=1s时的6 V线性增长至t=5s时的50 ， 试求在该时间范围内的电流值及增加的电场能。 (2) 原来不带电荷的100 F的电容器， 今予以充电， 充电电流为1 mA， 持续时间为 2 s， 求电容器充电后的电压。 假定电压、 电流都为关联参考方向。 解 (1) 由

15、式(49)得,增加的电场能量,(2) 由式(411)和已知条件u(0)=0 ， 求出2 s末的电压,4电容的串并联 (1) 电容的并联如图4.12所示 。,代入电荷量关系式得,对于线性电容元件有,图 4.12 电容的并联,当电容器的耐压值符合要求， 但容量不够时， 可将几个电容 并联。 ,(412),(2) 电容的串联如图4.13所示,对于线性电容元件有,代入电压关系式得,则,电容串联的等效电容的倒数等于各电容倒数之和。 电容的串联使总电容值减少。 每个电容的电压为,(413),图 4.13 电容的串联,当电容器的电容量足够而耐压值不够时， 可将电容器串联使用， 但对小电容分得的电压值大这一点

16、应特别注意。 例 4.9 电容都为0.3 F， 耐压值同为250 V的三个电容器C 1、 C 2、 C 3的连接如图4.14所示。 试求等效电容， 问端口电压值不能超过多少? 解 C 2、 C 3 并联等效电容,两个电容的分压值为,总的等效电容,C 1小于C 23 ， 则u 1u 23 ， 应保证u 1 不超过其耐压值250 V。 当u 1=250 V时，,图 4.14 例4.9图,4.3.2 电感元件 1 电感元件 电感元件是实际电感线圈的理想化模型。 其符号如图4.15所示。,所以端口电压不能超过,图 4.15 电感元件的符号和特性,如图4.15(a)所示。 在SI中， 的单位与相同， 为

17、韦(伯) 。,磁链与产生它的电流的比值叫做电感元件的电感或自感。,电感元件的电感为一常数， 磁链总是与产生它的电流i成线性关系， 即 在SI中， 电感的单位为亨(利)， 符号为H， 常用的单位有毫亨(mH)、 微亨(H)。 式(416)所表示的电感元件磁链与产生它的电流之间的约束关系称为线性电感的韦安特性, 是过坐标原点的一条直线。 如图4.15(c) 所示。 2电感元件的伏安特性 根据电磁感应定律， 感应电压等于磁链的变化率。 当电压的参考极性与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时， 可得,(416),当电感元件中的电流和电压取关联参考方向时， 结合式(416)有,电感元件的伏安特性说明： 任一

18、瞬间， 电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变化率成正比， 而与该瞬间的电流无关。电感元件也称为动态元件， 它所在的电路称为动态电路。电感对直流起短路作用。 对式(417)进行积分可求出某一时刻电感的电流值。 任选初始时刻t 0后， t时刻的电流为,(417),当u、 i为非关联参考方向时， 有,若取t=0， 则,3. 电感元件的磁场能 关联参考方向下， 电感吸收的功率,电感电流从i(0)=0增大到i(t)时， 总共吸收的能量， 即t时刻电感的磁场能量,当电感的电流从某一值减小到零时， 释放的磁场能量也可按上式计算。 在动态电路中， 电感元件和外电路进行着磁场能与其它能相互转换， 本身不消耗能量

19、。 例 4.10 电感元件的电感L=100 mH， u和i的参考方向一致， i的波形如图4.16(a)所示， 试求各段时间元件两端的电压uL， 并作出uL的波形， 计算电感吸收的最大能量。 ,图 4.16 例4.10图,解 uL与i所给的参考方向一致， 各段感应电 压为,(1) 01 ms间，,(2) 14 ms 间, 电流不变化， 得 uL=0 (3) 45 ms 间，,uL的波形如图4.16(b)所示。 吸收的最大能量,作业 ：P（148149） 4.9 4.10 4.11 4.12,4.4 三种元件伏安特性的相量形式,4.4.1 电阻元件 1伏安特性 在图4.19(a)中， 设电流为,则

20、有,上式表明: 电阻两端电压u和电流i 为同频率同相位的正弦量， 它们之间关系如下,(421),i =0时的u和i 的波形如图4.20所示。 电阻上电压相量和电流相量的关系为,i =0时的u和i 的波形如图4.20所示。 电阻上电压相量和电流相量的关系为,图 4.19电阻元件的相量模型及相量图,根据式(422)画出电阻的相量模型如图4.19(b)所示， 相量图如图4.19(c)所示。 2. 功率 （1）瞬间功率 关联参考方向下电阻元件吸收的瞬时功率p=ui， 为了计算方便,图4.20电阻元件i、 u、 p波形,其波形如图4.20所示。,又称为有功功率， 其单位是瓦(W)或千瓦(kW) 例 4.

21、11 一电阻R=100 ， 通过的电流i(t)=1.41sin(t-30) A。 试求 (1) R两端电压U和u， (2) R消耗的功率P。 解 (1) 电流,（3）平均功率 平均功率定义为瞬时功率p在一个周期T内的平均值， 用大写字母P表示。 即,(423),电压,或利用相量关系求解,对应的正弦量,有效值,(2) R消耗的功率,或,4.4.2 电感元件 1伏安特性 在图4.21(a)中， 设通过电感元件的电流为 则有,上式表明电感两端电压u和电流i是同频率的正弦量， 电压超前电流90。 用XL表示L后， 电压和电流有效值关系为,即,图4.21电感元件的相量模型及相量图,(425),而,称为感

22、抗， 单位为欧姆。 感抗的倒数,(426),称为感纳， 单位为西门子(S)。 电感电流相量和电压相量的关系为,即,(427),由式 (427) 画出电感的相量模型如图4.21(b)， 相量图如图4.21(c)所示。 ,2. 功率 （1）瞬时功率 在关联参考方向下， 当 i =0时, 电感吸收的瞬时功率为,如图4.22所示。 最大值为UI或I2XL。 电感储存磁场能量,图 4.22 电感元件的i，u，p波形,（2）平均功率,磁场能量在最大值 和零之间周期性地变化, 总是大于零。 ,为了衡量电感与外部交换能量的规模， 引入无功功率QL，,(428),例 4.12 流过0.1 H电感的电流为 试求关

23、联参考方向下电感两端的电压u及无功功率， 磁场能量的最大值。 解 用相量关系求解 ,4.4.3 电容元件 1伏安特性 在图4.23(a)中， 设加在 电容两端的电压为,对应的正弦电压,无功功率,磁场能量的最大值,图 4.23 电容元件的相量模型及相量图,上式表明电容电流和端电压是同频率的正弦量， 电流超前电压90。 用XC表示1/C后， 电流和电压的关系为,或,(429),而,(430),容抗的倒数,(431),由式(432) 画出电容元件的相量模型如图4.23(b)所示， 相量图如图4.23(c)所示。 2. 功率 （1） 瞬时功率为,称为容纳, 单位是西门子(S), 电容电流相量和电压相量

24、的关系为,图 4.24 电容元件的u、 i、 p波形,如图4.24所示。 最大值为UI或I 2XC。 电容储存电场能量 ,电场能量在最大值 和0之间周期性地变 （2）平均功率,（3）无功功率,电容的无功功率的单位与电感的无功功率的单位相同。 例 4.13 流过0.5 F电容的电流i(t)= sin(100t30) A， 试求关联参考方向下， 电容的电压u， 无功功率和电场能量的最大值。 解 用相量关系求解,作业：P149 4.14 4.15,4.5 基尔霍夫定律的相量形式,4.5.1基尔霍夫节点电流定律的相量形式 根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系， 可以推出： 正弦电路中任一节点， 与

25、它相连接的各支路电流的相量代数和为零， 即 式(434)就是基尔霍夫节点电流定律的相量形式， 简称KCL的相量形式。 4.5.2回路电压定律的相量形式 同理可以推出正弦电路中， 任一闭合回路， 各段电压的相量代数和为零， 即,(434),(435),式(435)就是基尔霍夫回路电压定律的相量形式， 简称KVL的相量形式。,综上所述， 正弦电路的电流、 电压的瞬时值关系， 相量关系都满足KCL和KVL， 而有效值的关系一般不满足， 要由相量的关系决定。 因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去考虑。 例 4.14 正弦电路中， 与某一个节点相连的三个支路电流为 i 1、 i 2、 i 3。已

26、知i 1、 i 2流入， i 3流出 解 先写出i1和i2的相量(注意， i1的初相应为60+90=150),求i 3 。,i 3的相量为i 3， 由KCL得,作业：P112页 （1）,4.6 RLC 串 联 电 路,4.6.1 电压与电流的关系 1. 电压三角形 R、L、C串联电路的相量模型如图4.27(b)所示。电流的相量为参 考相量作出相量图， 如图4.28(a)所示， 图中设ULUC,图 4.27 RLC串联电路的相量,图 4.28 RLC串联电路的相量图,显然， 组成一个直角三角形， 称为电压三角形， 由电压三角形可得,U也可以写成相量形式， 即,(436),2. 阻抗三角形,其中X

27、=XLXC称为电抗， |Z| 和分别称为复阻抗的模和阻抗角， 其关系为,显然|Z|、 R、 X也组成一个直角三角形， 称为阻抗三角形， 与电压三角形相似。 设端口电压电流的相量分别为,(437),(438),由上式可得,4.6.2电路的三种性质 根据RLC串联电路的电抗 RLC串联电路有以下三种不同性质： (1) 当L1/C时， X0，0， ULUC。UX超前电流90， 端口电压超前电流；电路呈感性，相量图如图4.28(a)所示。 (2) 当L1/C时， X0， 0， ULUC，Ux滞后电流90， 端口电压滞后电流；电路呈容性， 相量图如图4.28(b)所示。 (3) 当L=1/C时， X=0

28、， =0， UL=UC。 Z=R。 端口电 压与电流同相， 电路呈阻性。这是一种特殊状态， 称为谐振，相 量图如图4.28(c)所示。 RL串联电路、 RC串联电路、 LC串联电路、 电阻元件、 电感,(439),元件、电容元件都可以看成RLC串联电路的特例。 R、L、C的复阻抗Z分别为R、 jXLjXC， 分别为0、90、 90， RL串联 RC串联 例 4.15 图 4.29(a)所示为RC串联移相电路, u为输入正弦电压, 以uC为输出电压。 已知， C=0.01F， u的频率为6000 Hz， 有效值为1 V。 欲使输出电压比输入电压滞后60，试问应选配多大的电阻R? 在此情况下， 输

29、出电压多大? 解 作出相量图， 如图4.29(b)所示。 容性电路的阻抗角为负值， 根据已知有,图 4.29 例 4.15图,即,在此情况下， 输出电压,作业：P115页 （1） （2） （3） P150页 4.22,4.7 RLC 并 联 电 路,图4.33 (a)所示为R、 L、 C并联电路。,4.7.1电压和电流的关系 R、L、C并联电路的相量模型如图4.33(b)所示， 由于是并联电路， 电压相同， 所以以电压相量为参考相量作出相量图如图4.34(b)所示。 图中设ICIL。 显然， 也组成一个直角三角形， 称为电流三角形。 由电流三角形可得,2. 导纳三角形 其中B=BCBL称为电纳

30、， |Y|和分别称为导纳的模和导纳角。 其关系为,I也可以写成相量形式， 即,(441) ,(442),设端口电流、 电压相量分别为,4.7.2电路的三种性质 根据RLC并联电路的电纳,(442),RLC并联电路有以下三种不同性质。 (1) 当C1/L时， B0, 0 , ICIL, 超前电压90， 端口电流超前电压。 电路呈容性， 相量图如图4.34(a)所示。,(2) 当C1/L时， B0, 0， I， 滞后电压90， 端口电流滞后电压。 (3) 当C=1/L时， B=0， =0， IC=IL。 IB=0， Y=G， I=IG， 端口电流与电压同相， 电路呈阻性， 如图4.34(c)所示。

31、 这也是一种特殊情况， 称为谐振。 R、 L、 C元件， RL并联电路， RC并联电路， LC并联电路都可以看成RLC并联电路的特例。 R、 L、 C三种元件的复导纳分别为G、 jBL、 jBC， 分别为0、90、 90。 ,RL并联电路 RC并联电路,4.7.3 复阻抗和导纳的等效互换 根据等效概念， 在端口电压、 电流相同的条件下， 复阻抗与导纳相互等效， 则串联电路与并联电路也相互等效， 其等效互换的关系为Z=1/Y或Y=1/Z。 根据上式可以推导出两种等效电路参数间的关系。 对于串联电路， 有,则,其中,是把R和X串联电路等效变换为,是把G和B并联电路等效变换 为串联电路时电阻和电抗的

32、计算公式。 ,并联电路时电导和电纳的计算公式。 对于并联电路， 有,其中,从以上可以看出,例 4.16 R、 L串联电路图4.35(a)所示。 0 ， .06 mH， =10 rad/s， 把它等效为图(c)所示的R、 L并联电路， 试求和L的大小。 ,解 图4.35(a)所示电路的等效并联电路如图4.35(c)所示， 对于图4.35(a)所示电路， 有,图 4.35 例4.16图,故有,对于图4.35(b)所示电路， 有Y=G+jBL ， 等效时应有 Y=Y的关系， 故,则,作业： P150页 4.25 4.26 4.27,4.8 用相量法分析正弦交流电路,相量法一般步骤为： (1) 作出相

33、量模型图 (2) 运用直流线性电路中所用的定律、 定理、 分析方法进行计 算。 直接计算的结果就是正弦量的相量值。 (3) 根据需要， 写出正弦量的解析式或计算出其它量。 4.8.1 复阻抗混联电路的分析计算 例 4.17 电路如图4.40(a)所示, uS(t)=40 sin3000t V, 求i、 iC、 iL。 ,图4.40 例.17图,解 写出已知正弦电压的相量 作相量模型, 如图4.40(b)所示。 其中， 电感元件和电容元件的复阻抗分别为,由各相量写出对应的正弦量,例 4.19 图4.42(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络， 端口正弦电压u的频率可以调节变化。 计算输出电压u

34、 2与端口电压u同相时u的频率0， 并计算U 2/U。 ,图4.42 例 4.19 图,解 RC串联部分和并联部分的复阻抗分别用和表示， 且,原电路的相量模型为1， 2的串联， 如图4.42(b)， 由分压关系得,由题意知， 与 同相时，Im ， 而,4.8.2用网孔电流法分析正弦电路 例4.20 图4.43所示电路中， 求各支路的电流,那么,则 且为最大值。,图4.43 例4.22 图,解 各支路电流 İ，İ，İ和网孔电流 a, b的参考方向如图中所示， 网孔方程为,4.8.3用代文宁定理分析正弦电路 例 4.21 用代文宁定理计算例4.20中R支路的电流 İ 3。 解 先将图 4.43 所

35、示的电路改画为图 4.44(a) 所示的电路， 由R 两端向左看进去， 是一个有源二端网络。 先求其开路电压,图4.44 例4.21图,再求输入复阻抗,计算电流 İ 3的等效电路如图4.44(b)所示， 则,4.8.4相量图法 作相量图时， 先确定参考相量。 对并联的电路， 可以电压为参考相量； 对串联电路， 可以电流为参考相量。 例 4.22 图4.45(a)所示电路的相量模型中， IL=I=10 A， U 1=U 2=200 V， 求XC。,图4.45 例4.22 图,解 由相量图可知,而,例 4.23 图4.46(a)所示的并联复阻抗电路中， U=20 V， Z 1=3+j4 。 开关S

36、合上前后 I 的有效值不变， 开关合上后的 与 同相。 试求Z 2。,图4.46 例4.23 图,解 根据题中所给条件， 以电压 为参考相量， 如图4.46(b)所示。 由Z 1=3+j4 可知， 负载Z 1为感性， 滞后 ， 1 =arctan（4/3）=53。 由此确定出 İ1的位置。 S合上前、 后， |İ | =| İ1|, 和 同相， 且 İ= İ1+ İ2， 所以 İ， İ及İ 组成一个等腰三角形， 两个底角为(18053)/2=63.5。 那么， 复阻抗Z 2的阻抗角 2 =63.5,由相量图可知,则,而,作业：P（150151）页 4.23 4.30 4.31 4.32,4.9

37、 正弦交流电路中的功率,4.9.1有功分量和无功分量 1. 电压的有功分量和无功分量 对于图4.49(a)所示的无源二端网络， 定义出关联参考方向下的复阻抗为,则,相量图如图4.49(b)所示。 与 同相的 a叫做电压的有功分量， 其模Ua=U cos就是二端网络等效电阻R上的电压， 它与电流的乘积 UaI=UI cos =P就是网络吸收的有功功率。 另一个与 相差90的叫 做电压的无功分量； 其模Ur=U sin就是网络的等效电抗X上的电压, 它与电流的乘积UrI=UI sin就是网络吸收的无功功率。,图 4.49 电压电流相量的分解,2. 电流的有功分量和无功分量 图4.49(a)所示的无

38、源网络， 还可定义出关联参考方向下的导纳为,则,相量图如图4.49(d)所示。 与 同相的 叫做电流的有功分量， 它就是流经二端网络等效电导的电流, 其模为 Ia=I cos， 它与电压的乘积 UIa= UIcos 就是网络吸收的有功功率。 另一个与 相差 90 的 叫做电流的无功分量， 是流经网络等效电纳B的电流， 其模 与电压的乘积UIr= UI sin=Q 就是网络吸收的无功功率。 4.9.2有功功率 无功功率 视在功率 由4.9.1节的分析可知, 二端网络端口电压、 电流有效值分别为U、 I， 关联参考方向下相位差为时， 吸收的有功功率, 即平均功率为,吸收的无功功率, 即交换能量的最

39、大速率,(444),(445),值有正有负， 所以是可正可负的代数量。 在电压、,电流关联考方向下， 按式 (445) 计算， 感性的无源二端网络吸收的无功功率为正值。 容性的无源二端网络吸收的无功率为负值。 正弦电路中的平均功率一般不等于电压、 电流有效值之积。 这个乘积UI表面上看起来虽然具有功率的形式， 但它既不代表有功功率， 也不代表无功功率。 我们把它称为网络的视在功率， 即,(446),S表示在电压U和电流I作用下， 电源可能提供的最大功率。 为了与平均功率相区别， 它的单位不用瓦， 而用伏安(VA)， 常用的单位还有千伏安(kVA)。 式(446)中的P、 Q、 S可组成一个直角

40、三角形， 它与电压三角形相似称其为功率三角形， 如图 4.50 所示。,图 4.50 功率三角形,4.9.3功率因数的提高 1功率因数的定义 式(444)中决定有功功率大小的参数cos称功率因数, 用表示, 其定义为,(447),功率因数的大小取决于电压与电流的相位差，故把角也称为功率因数角。 2功率因数的意义 功率因数是电力系统很重要的经济指标。 它关系到电源设备能否充分利用。 为提高电源设备的利用率， 减小线路压降及功率损耗， 应设法提高功率因数。 3提高功率因数的方法 提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器。 感性负载并联电容器后， 它们之间相互补偿， 进行一部分能量交换

41、， 减少了电源和负载间的能量交换.,感性负载提高功率因数的原理可用图4.51来说明。,图 4.51 提高功率因数的原理,作业：P（152153） 4.41 4.42 4.43,4.10 正弦交流电路中的最大功率,以如图 4.54 所示的电路相量模型为例， 分析在US、 ZS给定的条件下， 负载ZL获得最大功率的条件。 其中,由图可知， 电路中电流相量为,电流的有效值为,负载吸收的功率,图 4.54 有内阻抗的 交流电源,负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关, 下面分两种情况进行讨论。 1. 负载的电阻和电抗均可调节 从式(448)可见， 若RL保持不变， 只改变XL， 当XS+XL=0

42、 时， 即XL=XS， PL可以获得最大值， 这时,(448),再改变RL， 使P L获得最大值的条件是,即,得RL=RS， 因此， 负载获得最大功率的条件为,故,即,负载的阻抗与电源的内阻抗为共轭复数的这种关系称为共轭匹 配。 此时最大功率为,(449),(450),2负载为纯电阻,此时， ZL=RL， RL可变化。 这时式(448)中的XL=0， 即,(451),PL为最大值的条件是,例 4.24 在图 4.55 所示的正弦电路中， R和L为损耗电阻和电 感。 实为电源内阻参数。 已知 , R=5 ， L=50H。 RL=5 ， 试求其获得的功率。 当RL为多大时， 能获 得最大功率? 最

43、大功率等于多少? ,即,(452),(453),图 4.55 例 4.24 图,解 电源内阻抗为,设电压源的相量为,电路中的电流为,负载获得的功率为,当 时， 模匹配， 能获得最大功率， 即,作业： P152页 4.40 P131页 （2）,4.11 串联谐振,4.11.1 串联谐振的条件 图4.59所述电路中的阻抗为,由谐振的一般条件可得出串联谐振条件是,图 4.59 RLC串联电路,即,当电路L、 C一定时， 有,(454),或,0和f 0称为固有角频率,4.11.2 串联谐振的特点 1. 电路的阻抗最小 由于谐振时， X=0， 所以网络的复阻抗为一实数， 即 ,2. 电感电压和电容电压远

44、大于端口电压 串联谐振时， 网络的感抗和容抗相等， 为,只与网络的L、C有关， 叫做特性阻抗， 单位为()。 串联谐振时电感电压和电容电压的有效值相等， 为,与 反相而相互“抵消”， 所以网络的端口电压就等于电阻电压， 即,Q叫做网络的品质因数(与无功功率Q不要混淆)， 只和网络R、 L、 C的参数有关。 在电子工程中Q值一般在 10500 之间。 由于 Q 1时， U L0 =U C0 =QU U。 所以把串联谐振又叫电压谐振。 例 4.25 串联谐振电路中， U=25 mV， R=5 ， L=4 mH， C=160 pF。 (1) 求电路的f 0、 I 0、 、 Q和U C0 。 (2)

45、当端口电压不变， 频率变化10%时， 求电路中的电流和电压。 解 (1) 谐振频率,(2) 当端口电压频率增大10%时，,端口电流 特性阻抗 品质因数,感抗 容抗 阻抗的模,可见， 激励电压频率偏离谐振频率少许， 端口电流、 电容电压会迅速衰减。 4.11.3 串联谐振的谐振曲线 1频率特性曲线 RLC串联电路， 它的阻抗,电流 电容电压,它的幅频特性和相频特性分别为,相应的幅频特性曲线和相频特性曲线如图 4.60 所示。,图 4.60 串联谐振的频率特性曲线,2电流谐振曲线 电流的频率特性曲线又称 电流谐振曲线, 如图 4.61 所示,图 4.61 电流的谐振曲线,两个截止角频率的差值定义为

46、电路的通频带, 即,(455),当,时，可得,或,由上式解出,由于必须为正值， 因此,(456),Q还能量度电路的选择性， Q越大幅频特性曲线越尖锐， 选择性越好， 但通频带过窄, 所以Q值不是越大越好, 要取得合适, 二者要兼顾。 3通用谐振曲线 将式(455)可写成 ,品质因数为,(457),(458),以 为自变量， 以 为因变量、 以Q为参变量做的谐振曲线叫通用谐振曲线， 见图4.62。 由图可见， 较大的Q值对应较尖锐的谐振曲线， 因此Q越大， 选择性越好。,图 4.62 通用谐振曲线,作业：P153页 4.44,4.12 并联谐振,本节仅讨论实用中最常见的电感线圈与电容器并联的谐振电路。 其相量模型如图4.63(a)所示。 线圈的品质因数0/。,图 4.63 并联谐振电路,4.12.1 并联谐振条件 由图4.63(a)可知， 电路的导纳为,如果 ， 即 ， 0为实根。 所以只有 在 的情况下， 网络才可通过调节激励的频率达到谐振。 4.12.2并联谐振的特点 1网络的阻抗最大或接近最大 并联谐振时， 网络的导纳为实数， 即,(459),(460),由于在电子工程实际中总能满足Q1 ，0 很高 ，且 在0 附近变化，故有LR ，所以Y