第章自动控制系统的数学模型.ppt

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1、1,第二章 控制系统的数学模型,引言 控制系统的微分方程（时域） 微分方程的建立 非线性微分方程的线性化 控制系统的传递函数（复域） Laplace变换 传递函数 控制系统的结构图 信号流图 脉冲响应函数,2,数学模型 是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。 对于同一个系统而言，数学模型不是唯一的。 数学模型的形式： 如果只需要反映系统静态关系，就可以用代数方程； 如果要表示系统输入和输出之间的动态关系，就可以用微分方程、偏微分方程或差分方程。 建立模型的方法：机理建模和实验建模。 系统 多个元部件通过某种方式组合在一起所构成的整体。 集中参数系统：变量仅仅是时间的函数。动态数学

2、模型通常是微分方程。 分布参数系统：变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数。动态数学模型通常是偏微分方程。,引言,3,线性系统:满足叠加原理（加和性f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)与齐次性f(kx)=kf(x)）的系统。 叠加原理说明两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。 非线性系统：不满足叠加原理的系统。,线性定常系统：线性微分方程的各项系数为常数。 线性时变系统：线性系统的微分方程的系数为时间的函数。 本章讨论的系统： 单输入单输出集中参数线性定常系统 可以线性化的非线性单输入单输出集中参数定常系统,引言,4,建立控制系统微分方程的一般步骤,在

3、建立系统微分方程模型时，应注意 各元件的信号传送的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级的单向传送； 前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。 最后化成标准形式：与输入量相关的写在方程右边，与输出量相关的写在方程左边，两端变量的导数项均按降幂排列。,系统原理方块图,简化,控制系统的微分方程,5,控制系统的微分方程,对任何线性定常系统，假如它的输出为c(t)，输入为r(t) ，则系统微分方程模型的一般形式如下：,有时将输出的0阶导数项的系数化为1。 对于实际的系统，nm，而且大多数系统nm。,6,试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。,首先确定输入和输出。

4、然后根据物理定律列写方程,质量块的运动,消去中间变量，化为标准形式,式中，T为时间常数，为阻尼比，K为比例系数。,f 阻尼系数 k 弹性系数,微分方程的建立 例,7,首先确定输入和输出。 设回路电流为i(t),由克希霍夫定律写出回路方程为：,消去中间变量 得到描述电路输入输出关系的微分方程为,R-L-C电路,与前面建立的弹簧-质量-阻尼器系统的微分方程比较，,二者的结构有相似之处，称为相似系统。,令RC=T2，L/R=T1，则,微分方程的建立 例,8,首先确定输入和输出。 设回路电流为i1(t) 、i2(t)，由克希霍夫定律写出回路方程为：,消去中间变量i1(t) 、i2(t)、uc1，得到描

5、述网络输入输出关系的微分方程为,令 T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则有,微分方程的建立 例,9,列写微分方程要注意： 确切反映系统的动态性能、遵循物理定律。 忽略次要因素，简化分析计算。 系统由几个储能元件就是几阶微分方程。,微分方程的建立 例,10,非线性微分方程的线性化,问题的提出 模型精度越高，模型就越复杂，通常会产生非线性。通常在建立模型时，会在模型精确性和可行性之间做出折衷考虑。 在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。 线性化的条件： 小偏差理论或小信号理论。在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点

6、，当变量在工作点附近作小范围的变化时，就满足这个条件。 在工作点附近存在各阶导数或偏导数。 线性化的方法：在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法。,11,非线性微分方程的线性化,设非线性函数y=f(x)如图所示，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，则在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：,如果偏差x=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为,K表示y=f(x)曲线在(x0, y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。,12,非线性微分方程的线性

7、化,在处理线性化问题时，需要注意以下几点： 上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。 在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。 线性化后的微分方程通常是增量方程，在实用上为了简便通常直接采用y和x来表示增量。 如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单值关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究。,13,非线性微分方程的线性化,不满足展开成泰勒级数的条件的非线性特性，不能应用“小偏差”线性化的概念

8、进行线性化的非线性特性叫做本质非线性。,14,Laplace变换,定义 设有函数f(t),t为实变量，s=+j为复变量。如果线性积分,存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换，称F(s)是f(t)的象函数，称f(t)是F(s)的原函数。变换后的函数是复变量s的函数，记作F(s)或Lf(t)即,在上式中，其积分下限为零，但严格说有0-和0+之分。 对于在t=0处连续或只有第一类间断点的函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是不一致的。 为了反映这些函数在0-，0+区间的表现，约定式中的积分下限为0-。,15,Laplace变换 例,例：求单位阶

9、跃函数1(t)的拉氏变换,单位阶跃函数的拉氏变换为,单位脉冲函数，记为,单位脉冲函数的拉氏变换为,16,常见的拉氏变换,17,Laplace变换的基本定理,线性定理 设F1(s)= Lf1(t),F2(s)= Lf2(t),a和b为常数，则有 Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)=aF1(s)+bF2(s) 微分定理,18,Laplace变换的基本定理,积分定理,位移定理,19,Laplace变换的基本定理,终值定理 若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且sF(s)在复平面右半部及除原点外的虚轴上解析，则有终值定理,终值定理只适用于,sF(s)在复平面右半部（包括虚轴上

10、)没有极点的情况。如,20,Laplace反变换,F(s)通常是复变量s的有理分式函数，一般形式为,拉普拉斯反变换：,式中各系数为实数，m、n为正数，可将F(s)写成因式分解的形式,对于F(s)含有极点的不同情况，展开成部分分式的形式也不同，下面分三种情况讨论。,21,Laplace反变换, F(s)只含有不相同的实极点,Ai是常数，它是s=pi的留数，可按下面方法求得,确定了待定系数Ai，就可求得F(s)的拉氏反变换：,22,Laplace反变换, F(s)包含共轭复数极点 方法一：仍可用上面单极点的处理方法来分解F(s)，只是Ai是复数。如果p1、p2是共轭复数极点，则A1、A2也是共轭复

11、数极点，则A1、A2只求一个即可。 方法二：,上面方程式一个复数方程，令两边实部与虚部分别相等，即可求得A1、A2 。,23,Laplace反变换, F(s)中包含有多重极点 若p1是F(s)的r重极点，其他极点互不相同，则,重极点对应的各项待定系数可分别由下式计算。,Laplace反变换 例,24,Laplace反变换 例,25,欧拉公式,26,Laplace反变换 例,Laplace反变换 例,27,28,用拉氏变换求解微分方程,用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤是： 对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成以s为变量的代数方程；注意初始条件的处理。 求解代数方程，得到输出变量

12、象函数的表达式； 将象函数展开成部分分式； 对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。,29,用拉氏变换求解微分方程 例,已知系统的微分方程为,【解】对微分方程进行拉氏变换得,30,用拉氏变换求解微分方程 例,用拉氏变换解微分方程,31,问题的提出 定义：线性定常系统的传递函数为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。 几点说明： 线性定常系统 不是线性定常的系统是否有传递函数？ 零初始条件的含义： 1、系统的输入在t0时才作用于系统。即在t=0-时系统输入及各项导数均为零。 2、输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在t=0-时输出及其所有导数项为零。 不满足零初始条件

13、的系统是否有传递函数？,传递函数,32,传递函数,式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai(i=1,2,n)和bj(j=1,2,.m)是与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值为0，即满足零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)=Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：,由定义得系统的传递函数为,设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：,33,传递函数 例,RLC无源网络的传递函数,其传递函数为：,在零初始条件下对上述方程中各项求拉氏变换，并令Ur(s)和Uc(s)分别为ur(t)和uc(t)的拉氏变换，则有：,

14、【解】由前面知RLC微分方程为,弹簧-质量-阻尼器系统,二者为相似系统，其传递函数为：,34,传递函数的表示形式,是分子多项式的零点，称为传递函数的零点；,为分母多项式的零点，称为传递函数的极点。,k称为根轨迹增益。,零极点形式：传递函数的分子多项式和分母多项式可经因式分解后可写成如下形式：,零极点分布图：传递函数的零极点分布图是在复数平面上表示传递函数的零点和极点。一般用表示零点。用表示极点。,传递函数的零极点完全取决于系统参数。 如果是复数，必共轭成对出现。,35,传递函数的表示形式,时间常数形式,式中一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点； i和Tj称为时间常数。 K称为

15、传递系数或放大系数，放大系数K和根轨迹增益k之间的关系为,36,传递函数分子的阶数m一般低于或等于分母的阶数n， nm(称为物理现实性条件)，且所有系数均为实数。 为什么mn不可实现？ 因为能量有限，系统具有惯性。 假设存在G(s)=s，则当输入信号为单位阶跃信号1(t)时，系统的输出c(t)=L-1C(s)= L-1s/s=(t)，即为单位脉冲函数。在现实世界是不可能的。 传递函数反映系统自身固有特性，与输入信号和初始条件无关。 传递函数与微分方程有相通性。将微分方程算符d/dt用复数s置换可以得到传递函数。反之亦然。,传递函数的性质,37,传递函数的性质,传递函数有一定的零、极点分布图与之

16、对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 不同的物理系统可能有相同的传递函数。而同一系统可有不同的传递函数。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系，如果是多输入多输出系统，就需要用传递函数矩阵表示。 局限性： 只适于线性定常系统的表达。 不反映初始状态的信息。 不反映系统内部的任何信息。,38,典型环节及其传递函数,比例环节传递函数,比例环节又称无惯性环节或放大环节。K为比例系数。,39,典型环节及其传递函数,积分环节传递函数,T为积分时间常数。,40,典型环节及其传递函数,振荡环节传递函数,n叫做无阻尼自然振荡频率。 叫做阻尼比。,延迟环节传递函数,叫做延迟时间

17、(又称死区时间)。 具有延迟环节的系统叫做延迟系统。,典型延迟环节主要出现在管道运输过程。,41,传递函数 例,已知电枢控制直流电动机系统的微分方程如下，求系统分别在两个输入作用下的的传递函数。,【解】该系统的输入有两个，电枢电压和负载转矩，输出为电机转速，因此需要求两个传递函数。 首先对方程两边求拉氏变换得,令负载转矩为0，则求得电枢电压和输出间的传递函数,令电枢电压为0，则求得负载转矩和输出间的传递函数,42,结构图的主要组成,综合点(比较点)：表示对两个以上的信号进行加减运算，“”表示相加，“”表示相减。“”可以省略不写。 注：进行相加或相减的量应具有相同的量纲单位。,结构图又称为方框图

18、，是每个元件的功能和信号流向的图解表示。 优点：可以直观地表明系统中信号的流动情况。 组成： 信号线：是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向。 分支点(引出点)：表示信号引出或测量的位置。,函数方块（环节）:方框表示对信号进行数学变换。方框中写入元部件或系统的传递函数。,43,结构图的绘制,步骤如下： 建立控制系统各元部件的微分方程，分清输入量、输出量，同时应考虑相邻元件之间是否有负载效应。 对各元件的的微分方程进行拉氏变换，并做出各元件的结构图。 按系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，系统的输入信号放在左端，输出放在右端。 注：从输入到输出一级一级列方程，方便作图。 注：同一

19、系统可以有不同的结构图。 注：如果两条信号线没有分支点的关系，但又无法避免的相交，则应如下作图：,44,结构图的绘制 例,则系统的传递函数,系统的结构图,45,结构图的绘制 例,uc,46,结构图的等效变换和简化,结构图的变换原则 等效原则 对结构图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出的数学关系保持不变。 结构图的基本组成形式 串联：,反馈：,并联：,47,结构图的等效变换-串联,串联连接的等效变换,n个传递函数依次串联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积。,48,结构图的等效变换-并联,并联连接的等效变换,n个传递函数并联的等效传递函数，等于n个传递函数的代数和。,49,结构图的等效变换

20、-反馈,反馈连接的等效变换,其中G(s)称为前向通道传递函数，H(s)称为反馈通道传递函数。,50,结构图的等效变换-综合点,综合点的前后移动,综合点间的移动：一般来说，两个相邻的比较点可以任意移动。,前除后乘,思考：什么情况下不可以交换？,51,结构图的等效变换-分支点,分支点前后移动,分支点间的移动：两个相邻的引出点间可以任意移动。 分支点与综合点间的移动：,注：引出点与综合点间一般不做移动。,前乘后除,52,结构图的等效变换 例,则系统的传递函数,53,结构图的等效变换 例,试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。,1、将G3(S)和G4(s)间的分支点后移到方框的输出端,

21、【解】,54,结构图的等效变换 例,2、接着将H3(s)和1/G4(s)的串联化简，并将G3(S)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈网络简化，其等效传递函数如下，,G34(S),H3(s) /G4(s),则,55,结构图的等效变换 例,3、然后将 组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为：,得到图为,4、最后将求得整个闭环系统传递函数为,56,结构图的等效变换 例,试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。,【解】 将分支点后移，将综合点前移，得到图为,分支点后移,综合点前移,57,结构图的等效变换 例,58,由结构图求传递函数,确定输入量与输出量，如果有多个输入量或多个输出量，则

22、应分别进行结构图的简化变换，求得各自的传递函数。 若结构图有交叉，注意综合点和分支点的相互关系。 对多回路结构，由内至外进行变换。 注意反馈回路的正负号。 如果结构图中每个回环的前向通道都有公共部分，而且反馈都是负反馈，则,59,由结构图求传递函数 例,求该系统的传递函数。,每个回环的前向通道都有公共部分G2(s) ，根据,60,由结构图求传递函数 例,求该系统的传递函数。,每个回环的前向通道都有公共部分G5(s)，根据,61,由结构图求传递函数 例,C1,从而得到传函,简化如下的图系统框图，并分别求出传递函数,由结构图求传递函数 练习,62,由结构图求传递函数 练习,63,由结构图求传递函数

23、 练习,64,令,求,由结构图求传递函数 练习,65,令,求,由结构图求传递函数 练习,66,令,求,由结构图求传递函数 练习,67,令,求,由结构图求传递函数 练习,68,69,R(s)与C(s)间的前向通道传递函数为G1(s)G2(s), N(s)与C(s)间的前向通道传递函数为G2(s). 反馈通道和反馈通道传递函数： R(s)与C(s)间的反馈通道传递函数为H(s), N(s)与C(s)间的反馈通道传递函数为G1(s)H(s). 开环传递函数：系统的前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积。 R(s)与C(s)和N(s)与C(s)的开环传递函数均为G1(s)G2(s)H(s) 注：开环

24、传递函数并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统在开环时的传递函数。,闭环系统的典型结构,前向通道和前向通道传递函数：,闭环控制系统的结构图与传递函数,70,有用输入下的传递函数, r(t)作用下系统的闭环传递函数 令扰动n(t)=0，这时系统结构图如图，,系统输出为,闭环传递函数为：,71,扰动作用下的传递函数, n(t)作用下系统的闭环传递函数 令r(t)=0，这时系统结构图如图，,系统输出为,闭环传递函数为：,系统总输出,72,闭环系统的偏差传递函数,偏差传递函数是在0初始条件下，把偏差作为输出来考察输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 r(t) 作用下的偏差传递函数,偏差是给定输入r(

25、t)与反馈信号b(t)之差，即e(t)= r(t)-b(t)或E(s)= R(s)-B(s)。,73,闭环系统的偏差传递函数,总偏差, n(t) 作用下的偏差传递函数,74,闭环系统的特征方程,称为特征方程的根，或称为闭环系统的极点。,称为闭环特征方程。 其一般形式如下：,令闭环系统传递函数的分母等于0,信流图是线性代数方程组的一种图形表达。 设:一组线性方程式如下： 信流图的表示形式,75,信号流图,76,信号流图,一、几个定义 输入节点:（或源节点）：只有输出支路的节点,如x1、x5。 输出节点:（或阱节点）：只有输入支路的节点,如x4。 混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点,如：x

26、2、x3。 传 输：两个节点之间的增益叫传输。如：x1x2之间的增 益为a，则传输也为a。 前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个节点只通 过一次的通路称为前向通路。如：x1x2x3x4 。,77,信号流图,前向通路总增益：前向通路上各支路增益的乘积 如：x1x2x3x4总增益abc。 回 路：通路的起点就是通路的终点，并且与其它节点相交不 多于一次的闭合通路叫回路。 回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。图中有两 个回 路，一个是x2x3x2，其回路增益为be， 另一个回 路是x2x2，又叫自回路，其增益为d。 不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。图中无。,78,二、信流图的性质

27、及运算法则 1、每一个节点表示一个变量，并可以把所有输入支路信号迭加再传送到每一个输出支路。 2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关 系。支路上的箭头方向表示信号的流向。 3、可以增加一个增益为1的传输且传输两端节点表示的变量相同。,信号流图,79,信号流图,80,因为 x2=ax1+cx3 x3=bx2 用代入法消去中间变量x2得到：,对图中的(d)作一简单推导：,信号流图,81,三、 控 制 系 统 的 信 号 流 程 图,结构图 信号流图,82,四、梅逊 (Mason)公式 输入与输出两个节点间的总传输（或叫总增益），可用下面的梅逊公式来求取： 式中：信号流图的特征式。 =1-(所有

28、不同回路增益之和)+(所有两个互不接触回路增益乘积之和)(所有三个互不接触 回路增益乘积之和)+ =1 第k条前向通路的增益； = r个互不接触回路中第m种可能组合的增益乘积； N 前向通道的总数； k 与第k条前向通道不接触的那部分信流图的；,信号流图,83,例1 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s） 解：画出该系统的信号流程图,信号流图,84,该系统中有四个独立的回路： L1 = -G4H1 L2 = -G2G7H2 L3 = -G6G4G5H2 L4 = -G2G3G4G5H2 互不接触的回路有一个L1 L2。所以，特征式 =1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2 该系

29、统的前向通道有三个： P1= G1G2G3G4G5 1=1 P2= G1L6G4G5 2=1 P3= G1G2G7 3=1-L1,信号流图,85,因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为,信号流图,86,例2：画出信号流图，并用梅逊公式求取传递函数C(s) / R(s)。 信流图：,注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信号要 用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。,信号流图,87,题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即 ： 前向通路只有一条，即 所以,88,脉冲响应函数,在初始条件为0时，线性定常系统对单位理想脉冲输入信号的时域响应函数，称为该系统的脉冲响应函数。,系统的脉冲响应函数等于系统传递函数的拉氏反变换。,例：已知系统的脉冲响应函数为,求系统的传递函数。,