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1、二次函数的图象和性质,二次函数y=a(xh)2的图象和性质.,当h0时,向左平移,当h0时,向右平移,y=ax2,y=a(xh)2,复习回顾,1.如何同y=-x2的图象得到y=-x2-3的图象。并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。,2.如何y=2x2的图象得到y=2(x-3)2的图象。并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象,复习导入,观察图象,回答问题,(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而
2、增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,我思考，我进步,把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢？,y=3(x-1)2 +2,我思考，我进步,探讨1、 二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看,二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,他们的形状是不是相同呢？,在同一坐标系中作出二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.,挑战记
3、忆,y=3(x-1)2,y=3x2,向右,y=3(x-1)2+2,向上,二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.,二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,
4、y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,2).,二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,2).,二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿
5、着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.,X=1,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象,y=3x2,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象,探讨2、二
6、次函数y=3(x-1)2-2的图象,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.,二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,-2).,二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右
7、平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,-2).,二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.,探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称
8、轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.,想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看,X=1,挑战记忆,y=3(x-1)2,y=3x2,向右,y=3(x-1)2+2,向上,y=3(x-1)2,y=3x2,向右,y=3(x-1)2-2,向下,我思考，我进步,探讨3、 在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x和 y=-3(x-1)2的图象,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-
9、3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.,二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标
10、分别是什 么?,y,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (1,2)和(1,-2).,二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么?,开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).,y,X=1,挑战记忆,y=3(x
11、-1)2,y=3x2,向右,y=3(x-1)2+2,向上,y=3(x-1)2,y=3x2,向右,y=3(x-1)2-2,向下,y=-3(x-1)2,y=-3x2,向右,y=-3(x-1)2+2,向上,y=-3(x-1)2,y=-3x2,向右,y=-3(x-1)2-2,向下,探讨4、二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,我思考，我进步,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.,二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象
12、可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,x=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2),二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,x=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);
13、增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2),二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).,先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,x=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2),二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作
14、是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).,先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,x=1,挑战记忆,y=3(x-1)2,y=3x2,向右,y=3(x-1)2+2,向上,y=3(x-1)2,y=3x2,向右,y=3(x-1)2-2,向下,y=-3(x-1)2,y=-3x2,向右,y=-3(x-1)2+2,向上,y=-3(x-1)2,y=-3x2,向右,y=-3(x-1)2-2,向下,y=-3(x+1)2,y=-3x2,y=-3
15、(x+1)2+2,y=-3(x+1)2,y=-3x2,向左,y=-3(x+1)2-2,向下,向上,向左,(1)二次函数y=3(x+1)2的图象可以把二次函数y=3x2的图象向左平移1个单位得到，它的对称轴是x=-1 (即x+1=0),顶点坐标是(-1,0),(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象可以把二次函数y=-3x2的图象先向右平移2个单位，再向向上平移4个单位得到，它的对称轴是x=2(即x-2=0)，顶点坐标是(2, 4),我知道了,y=a(x-h)+k与y=ax的关系,一般地, y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0
16、时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.,简单归纳,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的
17、右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:,2对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?,2.不同点: (1) 只是位置不同、顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单
18、位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.,1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时, 开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,y=a(x-h)+k与y=ax的关系,知识整理,1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.,2.填写下表:,课堂练习 1.抛物线y=0.5(x+2)23可以由抛物线 先向 平移2个
19、单位，在向下平移 个单位得到。 2.已知s= (x+1)23，当x为 时，s取最 值为 。 3.顶点坐标为(1,1)，且经过原点的抛物线的函数解析式是( ) y=(x+1)2+1 B. y= (x+1)2+1 C.y=(x1)2+1 D. y= (x1)2+1,y=0.5x2,左,3,1,大,3,D,4.已知一条抛物线的形状与开口方向都与抛物线y= x2相同，它的顶点在直线y=2x+1上，且经过这条直线与x轴的交点，求这条抛物线的解析式。,5.如何来求与坐标轴的交点？,求y=x2+2x-8与坐标轴的交点。,根据图象回答 何时y0?,考点训练,6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
20、（1）求解析式 （2）何时 y=3？ （3）根据图象回答： 当x 时，y0。,练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。,1) y=2(x+3)2+5 2) y=4(x-3)2+7 3) y=-3(x-1)2-2 4) y=-5(x+2)2-6,练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是( ) A y=-2x2-2 B y=2x2-2 C y=-1/2(x+2)2-2 D y=-5(x-2)2-6,C,牛刀小试,1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可设为( ) Ay=a(x+3)2+5 By=a(x-3)2+5 Cy=a(x-3)2-5 Dy=a(x+3)2-5 2.抛物
21、线c1的解析式为y=2(x-1)2+3抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称,请直接写出抛物线c2的解析式_ 3.二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图象的顶点必在( )上 A)直线y=-2x上 B)x轴上 C)y轴上 D)直线y=2x上 4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a0,b 为常数,点( ,y1) 点( ,y2)点(8,y3)在该抛物线上,试比较y1,y2,y3的大小,活学活用,你答对了吗? 1.B 2.y=-2(x-1)2-3 3.D 4. y3 y1 y2,延伸题,1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是_ 2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2 3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-1,4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_,重点把握,中考语录,中考是人生的第一个十字路口，车辆很多，但要勇敢地穿过去。,