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1、一、离散型随机变量的分布律,二、常见离散型随机变量的概率分布,三、小结,第二节 离散型随机变量 及其分布律,说明,一、离散型随机变量的分布律,定义,分布律的基本性质：,证,分布律的本质特征,本质特征的含义：,分布律的几种表示方法,解析式法,列表法,矩阵法,解,则有,例1,将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记 为正面出现的次数,求 的分布律,的取值为,故 的分布律为,例,解,其样本空间为,问,分布律有什么特点,？,全部和为1,所有样本点遍历一次,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.,1.两
2、点分布,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (0-1) 分布.,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0-1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,2.均匀分布,如果随机变量 X 的分布律为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是
3、相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.,(1) 重复独立试验,3.二项分布,(2) n 重伯努利试验,伯努利资料,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.,(3) 二项概率公式,且两两互不相容.,称这样的分布为二项分布.记为,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽
4、样可近似当作放回抽样来处理.,例2,解,图示概率分布,解,因此,例3,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例4,故所求概率为,4. 泊松分布,泊松资料,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分
5、布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,上面我们提到,泊松定理 设o是一个常数，n是任意正整数，设 =npn ，则对于任意一个固定的非负整数k，有,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，pn很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=npn的泊松分布,设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则,可利
6、用泊松定理计算,所求概率为,解,例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,
7、故有,即,例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,发生故障时不能及时维修”,故有,即有,按第二种方法,故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为,5. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X
8、是一个随机变量 , 求X 的分布律.,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.,解,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、小结,例 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一 件、一件地取产品.设每次抽取时, 所面对的各件 产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下, 分 别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律. (1)每次取出的产品经检定后又放回 这批产品中去在取下一件产品;(2)每 次取出的产品都不放回这批产品中; (3)每次取出一件产品后总以一件正 品放回这批产品中.,备份题,解,(1) X
9、所取的可能值是,(2) 若每次取出的产品都不放回这批产品中时,X 所取的可能值是,(3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中.,故 X 的分布律为,X 所取的可能值是,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,