空气动力学基础-第2章.ppt

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1、第 2 章 流体运动学和动力学基础,2.1 描述流体运动的方法 2.2 流体微团运动的分析 2.3 理想流体运动微分方程组 2.3.1 连续方程 2.3.2 Euler运动微分方程组 2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 2.3.4 Bernoulli方程的应用 2.4 流体运动积分方程组 2.4.1 Lagrange型积分方程 2.4.2 Reynolds输运方程 2.4.3 Euler型积分方程 2.5 环量与涡,2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的

2、运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。 1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法） 在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（引出迹线的概念）,2.1 描述流体运动的方法,用如下方程描述质点（a,b,c）所经历的轨迹： x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t) 其中，a,b,c 为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，一般可用质点的初始坐标表示; t 表示时间。 a.b.c.t 称为拉格朗日变数。 a.b.c 给定，表示指定质点的轨迹。 t 给定，表示在给定时刻不同质

3、点的空间位置。 上式就是质点（a,b,c）的轨迹参数方程，三式消去得轨迹 (警察抓小偷的方法),2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法,因为质点的坐标位置是时间 t 的函数，对于给定的流体质点（a，b，c） ，速度表达式是： 流体质点的加速度为：,2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法,这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。,流体质点的其它物理量也都是 a,b,c,t 的函数。例如流体质点（a,b,c）的温度可表为T(a,b,c,t),2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法） 欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不

4、同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。 在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。 在固定空间点很容易记录流过的不同质点的速度：,2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法,其中，x,y,z 为空间点的坐标。t 表示时间。 x.y.z.t 称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。 x.y.z 给定，t 变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。 t 给定， x.y.z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。 (守株待兔，看门房式的工作方法),2.1.

5、1 拉格朗日方法与欧拉方法,上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为欧拉法。,请注意，x,y,z,t 是四个独立变数。如果不另外赋以意义，则不能有 这类的表达式。,应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度 。,2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法,一个速度场,即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场:,一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。

6、这都包括在流场的概念之内。,2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法,如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场，否则为非定常场，例如，定常速度场的表达为：,2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法,欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下4图来定性描述引起各处速度变化的原因：第1图表示流体质点从A流到B速度不变；第2图表示A点与B点因水位下降引起速度同时减小；第3图表示流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加；第4图表示流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体

7、质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。,用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要强调两点。第一，A（x，y，z）点上 t 瞬时的流体微团的速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。第二，原在 A 点的微团经t 后到了 B 点，若 B 点的速度与 A点的不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化 。, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,设在 t 瞬时，位于A（x，y，z）点的一个微团具有速度u，v，w。经t 时间后，该微团移到,令：,经t 之后，u 变成 u+u:,将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，得

8、,此式右侧第一项是微团在（x，y，z）处其速度随时间的变化率，即当地加速度。后三项是由于微团流向速度不相同的邻点而出现的速度变化率，即迁移加速度 。 注意上式并非全导数的表达（在高数中当复合函数只是一个自变量 t 的函数时才有全导数），因为在欧拉观点下 x、y、z 等与时间 t 无关，不能写出 dx/dt 的表达。, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,算子：,往往用 这样一个符号来表示。这个导数称为随流体运动的导数，或称随体导数、实质导数或物质导数。,从而上述加速度可以写成：,同理：, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四个独立变量（x,y,z,t）

9、的函数：, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,将上三式分别乘 再相加可得加速度表达的向量式：,其中，哈密顿算子：,随体导数算子： 除可作用于速度外，对流场中其它变量也成立。,如对于压强 p，有：,虽然，由于在欧拉观点下，x,y,z,t 是四个独立变量，一般不能写出 dx/dt 的表达，因此上述表达并非数学上的全导数。但在物理上上式仍然表示质点压强在运动过程中的时间变化率，只是在场的观点下将这个变化率写为当地变化率和迁移变化率称为随体导数。, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,因此欧拉法与拉格朗日方法表示的加速度实质上是一致的，据此我们也可以利用拉格朗日观点下对流体质点求全导数得到质点的加速度后

10、，再转化为欧拉法的加速度表达。 例如在拉格朗日观点下沿轨迹线对质点速度求全导数得流体质点的加速度为：, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,欧拉法表示的流场速度和加速度实质上显然是指该瞬时恰好通过该点的流体质点所具有的速度和加速度：,代入即得欧拉法下的加速度表达,在不引起误会的条件下，也有将随体导数 表为 的。随体导数与全导数实质上是瞬时统一的，前者采用场的表示方法，后者采用质点运动学的表示方法。,由于拉格朗日法与欧拉法下的速度关系为：, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际流动，u=u（y）。当地加速度和迁移加速度都是零。,迁移加速度中的任何一项都是

11、速度分量与同一方向的导数之乘积， 或称沿速度方向的导数。因此只有上述两项都不为零才可能存在迁移加速度，因此也将 称为对流导数。, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,根据上述分析可得出以下各图中欧拉法的加速度表达式。, 2.1.2 欧拉法的加速度表达式,人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。在某一瞬间看流场的话，从某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微小的距离到达邻点，再按邻点在同一瞬间的速度指向再画一个微小距离，一直画下去便得一条曲线。这条某瞬时的空间曲线，其切线都和该点的微团速度指向相一致。这样的空间曲线称为流线，这样的线可以画无数条。,2.1.3 流线、流管、流面与流量,时间 t

12、固定,或流线上的切线切线方向数与速度方向数对应成比例，表为微分的关系则有,此式称为流线微分方程。,设流线上位移向量： 又设速度向量：,流线与速度方向相切即：,2.1.3 流线、流管、流面与流量,流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质： （1）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。 （2）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。,2.1.3 流线、流管、流面与流量,（3）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，流线只能是一条光滑的曲线。也

13、就是，在同一时刻，一点处只能通过一条流线。 （4）在奇点和零速度点例外。,2.1.3 流线、流管、流面与流量,当给定速度场 u, v, w 时，迹线微分方程可写为：,还可以写为：,这与流线微分方程在形式上相同，但是二者有很大区别。在流线微分方程中 t 是固定不变的参数，积分时 t 当常数看，而在迹线微分方程中 t 是自变量，积分时 t 为变量，仅在定常流情况下上述二微分方程的积分才相等，此时流线与迹线重合。,2.1.3 流线、流管、流面与流量,迹线：同一流体质点走过的轨迹 脉线（染色线）：对同一空间点连续染色后形成的染色线 流线：某瞬时由不同流体质点组成并与当地速度相切的一条空间曲线 时间线：

14、对横向的连续空间点按等时间间隔进行染色形成的染色线 联合时间线脉线：对横向的间隔空间点按等时间间隔进行染色形成的染色线,2.1.3 流线、流管、流面与流量,实验录像：迹线、脉线、时间线与流线的关系,例. 设有一个二维非定常流场其速度分布是 ： 求t=0时过（1，1）的流线和迹线。问定常时 结果如何？ 解： 1. 求流线，由流线方程（其中 t 固定当常数看） ： 积分得任一时刻 t 流线族为：,t=0时刻流线族为： （这也是定常流流线族）,2.1.3 流线、流管、流面与流量,过（1，1）流线：,2. 求迹线，由迹线方程（其中t为自变量）：,积分得迹线参数方程：,由初始条件定得c1=c2=1, 故

15、所求的迹线参数方程为：,2.1.3 流线、流管、流面与流量,当流动为定常时 再求迹线。 由迹线方程：,积分得：,由初始条件定得 c1=c2=1,故所求为：,消去 t 得：,可见定常时迹线与流线重合。,2.1.3 流线、流管、流面与流量,与流线密切相关的，还有流管和流面这样两个概念。 流管是由一系列相邻的流线围成的。经过一条有流量穿过的封闭围线的所有流线，如图，经过围线 ABCDA（非流线）的各条流线便围成一条流管。,图2-6 流管 （a）流线组成流管侧壁； （b）没有流量由流管侧壁流出,由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管

16、壁流进去。,2.1.3 流线、流管、流面与流量,流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面 。,流量是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上述流管中任意截面S的体积流量 、质量流量 和重量流量 可分别表为:,其中， 是速度向量， 是密度， 是微面积法线向量,2.1.3 流线、流管、流面与流量, 2.2 流体微团运动的分析, 2.2.1 流体微团的基本运动形式 在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为： 质点（无体积大小的空间点）: 只有平移运动 （平动）；

17、刚体（具有一定体积大小，但无变形）:除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）；,在流体力学中，研究对象是流体质点和不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。 变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括： （1）平动；（2）转动；（3）线变形运动；（4）角变形运动, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,平动,转动（角平分线转动）,线变形运动,角变形运动（角平分线不动）, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,为便于分析，在流场中任取一平面微团ABCD分析。根据台

18、劳级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,（1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度（u,v,w）。 （2）线变形速率 线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如对于AB边长，在微分时段内边长的增加量为：,由此得到 x 方向的线变形速率为：, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,同理，在y方向的线变形速率为： 平面微团的面积变化率为：, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,（3）角变形速率与旋转角速度 在微分时段内，AB与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为

19、（逆时针为正）：,AC边的偏转角度为（顺时针为负）：, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,解出可得：,平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示：,设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为，边线的纯角变形量为，则由几何关系可得：, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,定义平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为：,定义平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为：,上述定义实质是平面微团上两相互垂直线旋转角速度的平均值，即角平分线的旋转角速度。,上述定义实质是平面微团上两相互垂直线相对于角平分线的转角速度。

20、, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。,微团平动速度：,微团线变形速率：, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,微团角变形速率（剪切变形速率）：,流体微团旋转角速度：, 2.2.1 流体微团的基本运动形式,在 点处，速度为 ：,德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，考虑相距微量的任意两点 M0 和 M1，在 速度为 ：, 2.2.2 流体微团速度分解定理,右侧可按变形率及角

21、速度的形式改写为：,将相邻点速度分量台劳展开：, 2.2.2 流体微团速度分解定理,同理：,各式第一项和M0点速度相同是微团的整体移动速度。第二项是线变形率，第三、四项是角变形率；第五、六项是角速度。说明，微团运动包含移动，转动和变形 。, 2.2.2 流体微团速度分解定理, 2.2.2 流体微团速度分解定理,应该指出，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如： （1）对于均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运动。 （2）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。 （3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平动和转动，但无变形运动。,还应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微

22、团的速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是整体性定理；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不同。, 2.2.2 流体微团速度分解定理, 2.2.3 散度及其意义,三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量 的散度，符号为 ，即,散度在流动问题中的意义是微团的相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）。,为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面

23、体的三边原长分别是x, y, z，原来体积是（xyz），经过t 时间后三个边长分别变为：,则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为：, 2.2.3 散度及其意义,可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。,流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：,如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。, 2.2.3 散度及其意义, 2.2.4 旋度和位函数,微团的瞬时角速度 是上述三个方向角速度分量之和，这个值在向量分析里记为 ，或 ，称为 的旋度：,一个流场，如果各处的 基本上不等于零，

24、这种流场称为有旋流场，其流动称为有旋流。一个流场，如果各处的 都等于零，这种流场称为无旋流场，其流动称无旋流。,在数学分析里，上式是式 成为全微分的必要和充分条件,这样的划分在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一个 的条件。这个条件就是 ：, 2.2.4 旋度和位函数,现在既是无旋流，我们可令,代表这个全微分：,名为速度位或称位函数，为标量。,；,；,这就是说，位函数在某个方向的偏导数便等于速度在那个方向的分量，例如 ：,u,v,w 与 的关系是：, 2.2.4 旋度和位函数,位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于无旋流存在速度位，则沿一条连接A、B两点的曲线进行速度的线积分结果只与

25、二端点的 值之差有关而与积分路径无关：,一个无旋流场一旦知道了它的位函数 的具体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流速来。, 2.2.4 旋度和位函数,例. 设有一个二维流场其速度分布是 , 问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度位存在？流线方程是什么？微元如何变形？,可见流动是无旋的，应该有速度位函数存在。,解: 1. 计算z：, 2.2.4 旋度和位函数,积分得：,（此处积分常数取为零 ）,3. 求流线：由流线方程,2. 求：, 2.2.4 旋度和位函数,积分得,常数C取一系列的值，得流线是一系列双曲线。,4. 线变形率：由,及,，得：,5. 角变形率：,6. 散度：, 2.2.

26、4 旋度和位函数,考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不转动；x方向线段有拉伸，y方向线段缩短；尽管微团有线变形，但微团无角变形；此外由于散度为零，流动过程中矩形微团面积保持不变。,需要指出，一般并不是先有了速度后求，而是恰恰相反，先求出，然后再确定速度分布的 。, 2.2.4 旋度和位函数,连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此适应于理想流体和粘性流体。 以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。现在流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz 的矩形六面体，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时

27、间变化，被流体所通过，如下图:, 2.3 理想流体运动微分方程组,2.3.1 连续方程,假设六面体: 中心点坐标为：x，y，z 中心点三个分速：u，v，w 中心点密度： t 瞬时通过垂直于x 轴单位面积的流体流量为u ,称密流;,将密流当一个标量看，则各面中点的密流可由中心点台劳级数展开表达。在 dt 时段内，从ABCD面进入的流体质量为：, 2.3.1 连续方程,在dt 时段内，从ABCD面流出的流体质量为：, 2.3.1 连续方程,在 dt 时段内，x方向净流入微分六面体的流体质量为：,同理可得，在 dt 时段内，由 y, z方向净流入微分六面体的流体质量为：,由此可得，在 dt 时段内由

28、所有侧面流入到微分六面体的净流体总质量为：, 2.3.1 连续方程,根据质量守恒定律，在 dt 时段内从侧面净流入微分六面体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量：, 2.3.1 连续方程,由于是空间位置和时间的函数，在 dt 时段内，由于密度变化引起微分六面体质量的增加量为：,即：,上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程，即：, 2.3.1 连续方程,等于微元控制体上单位体积流出的质量流量的原因在于，因为有高斯公式：,（显然当密度不变时，可将散度 看成单位体积流出的体积流量）,连续方程 的物理意义是：流体微元控制体密度的局部增长率 与微元控制体单位体积

29、流出的质量流量 之和等于零。, 2.3.1 连续方程,连续方程 的物理意义是：流体微元的相对密度增加率与相对体积膨胀率之和为零。,对于不可压缩流体，连续方程变为：,不可压连续方程 的物理意义是：不可压缩流动流体微元的相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。, 2.3.1 连续方程,连续方程是流动首先应该满足的基本关系。 例如，速度场：,满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。,则不能够代表一个三维不可压缩流动。,而速度场：,此外，还可以根据某方向的速度分布和连续方程，确定出其他方向的速度分布。, 2.3.1 连续方程,例：设不可压缩流体在 xoy 平面内流动，速

30、度沿 x 轴方向的分量 u=Ax (A 为常数)，求速度在 y 轴方向的分量 v。 解：对于不可压缩流动，密度的随体导数 由微分形式连续方程：, 2.3.1 连续方程, 2.3.1 连续方程,如果流动非定常，上式中函数 f(x) 则应为 f(x，t)。而函数 f( ) 的形式可任取。因此 v 有无穷多个解。如果设 v 在 x 轴上的分布为0 即 f(x) 0 ，则：,反过来，c 的流体必然满足不可压条件 ，是不可压流体。,而均值的定义是0，即密度在空间上处处均匀，但不能保证随时间不变化，是哈密顿算子：,不可压、均值与密度为常数的关系*,这几个概念之间是有差别的,不可压 指的是每个质点的密度在流

31、动过程中不变，但是这个流体质点和那个流体质点的密度可以不同，即流体可以是非均值的，因此不可压缩流体的密度并不一定处处都是常数，例如定常变密度平行流动：,只有既为不可压缩流体，同时又是均值时密度才处处都是同一常数：由不可压： ，均值： 0，从而有 ，于是 c，即密度既不随时间变化也没有迁移变化。, 2.3.1 连续方程,在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体的流体来看，不计粘性力，表面力就没有切向力，仅只法向力（压力）一种，而彻体力是可以有的 。, 2.3.2 Euler运动微分方程组,欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。,

32、假设： 六面体体积：d=dxdydz 中心点坐标： x ,y ,z 中心点速度：u ,v, w 中心点加速度： 中心点压强：p 中心点密度： 中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx, fy, fz,微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶台劳展开表示, 如图为 x 方向彻体力，其他方向同理可得。, 2.3.2 Euler运动微分方程组,由于没有剪应力，并且其他面上的压力在 x 方向均无投影，从而x方向的表面力为：,x 方向的彻体力为：,根据牛顿定律：x 方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得, 2.3.2 Euler运动微分方程组,两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代入加速

33、度的表达，得,同理可以写出 y 和 z方向的表达：,这就是笛卡尔坐标系下理想流体的欧拉方程。, 2.3.2 Euler运动微分方程组,欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之间的关系。我们不妨把速度的变化和彻体力的存在看作是压强之所以有变化的原因 ，这两个使压强起变化的因素是彼此独立的，对于压强的作用是分开来计算的 。,对于如图的一维理想流动，利用牛顿定律很容易证明欧拉方程为：,欧拉方程的向量形式为：, 2.3.2 Euler运动微分方程组,理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加速度的迁移部分改写一下，把角速度配成显式：,式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：,

34、 2.3.2 Euler运动微分方程组,得到如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯兰姆方程”：,该方程的向量形式为 ，其中微团旋转角速度的2倍 也称为涡量 。,这个方程本质上仍是理想流体运动方程。其好处是在方程中显示了旋转角速度。便于分析无旋流动。, 2.3.2 Euler运动微分方程组,对于理想正压流体，在质量力有势条件下，假设为定常流动，有：, 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义,这样格罗米柯方程变为：,现在流场中，任取一条光滑曲线 dS，并将上式投影到曲线上，有：,如果上式右边项为零，有:,这样在曲线上，下式成立:,这就是Bernoulli积分（1738年），或伯努利方程

35、。上式表明，对于理想正压流体的定常流动，在质量力有势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能、压能和动能之和不变，即总机械能不变。, 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义,Bernoulli积分成立的条件是:,（1）沿着任意一条流线，Bernoulli积分成立。这是因为，在此情况下:,（2）沿着任意一条涡线，Bernoulli积分成立。这是因为，在此情况下:, 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义,（3）在以下条件下，Bernoulli积分与所取的曲线无关，在整个流场中积分常数不变，等于同一个常数。 (a) 静止流场: (b) 无旋流场，有势流动: (c)

36、流线与涡线重合，即螺旋流动: 可得： 即括号中标量在全流场保持为常数。, 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义,在不计质量力情况下，Bernoulli积分变为:,对于不可压缩流体:,如果质量力只有重力:,Bernoulli积分变为:, 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义,事实上沿流线的伯努利方程也可由一维流欧拉方程： 在定常 和重力场条件下 （其中 是 g 与 s 夹角的余弦），沿一维流线 s 方向积分得到。（补充习题）,伯努利方程各项具有能量的量纲，例如 代表单位质量流体的动能， 代表单位质量流体的势能， 代表单位质量流体的压力势能或流动功。, 2.3.3 Be

37、rnoulli积分方程及其物理意义,如果将一维流的伯努利方程写成高度的量纲，并且应用于重力不能忽略的液体，可用下图表示一维流伯努利方程的几何意义：,y：代表所论流体质点的高度称为高度水头 p/: 代表所论流体沿真空管上升的高度称为压力水头，上2项合称静力水头 V2/2g : 代表所论流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头 H : 代表沿一维流管每单位重量流体具有的总能量，称总水头。, 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义,表明：理想、定常、不可压、重力场中，沿一维流管的高度水头、压力水头和速度水头可以互相转化，总水头保持不变（注意静力学中静力水头线为水平线）,从12有：, 2.3

38、.3 Bernoulli积分方程及其物理意义,伯努利方程的实际例子：,收缩渠道及其测压管结构,收缩使流速增加，而流速增加处压强降低 (由于渠道上下游高度相同，故静压管的高度直接反映静压头), 2.3.4 Bernoulli方程应用,例. 求如图光滑容器中小孔的出流速度 V，假设小孔中心距自由面深为 h。,解. 由于是小孔出流，流动可以假设是定常的。假设不计粘性损失。,从而：,（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值 ， 其中 cv 叫做速度系数，实验表明 cv0.97）,沿小孔中心点处一根流线列伯努利方程，由于是小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度。, 2.3.4 Bernoul

39、li方程应用,测量低速气流的速度用的风速管就是根据上述原理设计并由上式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图：,总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压p0 ，而静压空处感受到的是静压，测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在一根U形测压计的两支上，看二者的差（p0- p）就行了。速度V用伯努利方程计算：,（在实际流动中由于有损失故左式还要乘上一个修正系数）,风速管的结构,氢气泡显示的来流在风速管头部滞止情况, 2.3.4 Bernoulli方程应用,直匀流对机翼的绕流,例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的静压 pp101200牛/米2，流速=100米

40、/秒。已知A，B，C三点的速度分别是VA=0，VB =150米/秒，VC=50米/秒，空气在海平面的=1.255千克/米3 。,假设流动无旋，求A、B、C三点的压强。,解: 流动是无旋的，伯努利常数全流场通用。根据远前方的条件得：, 2.3.4 Bernoulli方程应用,这就是通用于全流场的常数。,于是：, 2.3.4 Bernoulli方程应用,例: 有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，其V 正比于半径 r，即V=kr，如图。试证伯努利常数 C 是 r 的函数。,证: 先沿着流线写出伯努利方程,一种旋转流动,对半径取导数：, 2.3.4 Bernoulli方程应用,由于法向压力差必须平衡微

41、团的离心力，故有,左侧的第二项是AD面和BC面上的压力在 r向的投影。略去微量的高次项，得,代入,的式子，并将,代入，得：,一种旋转流动, 2.3.4 Bernoulli方程应用,V=kr 的速度分布就像刚体转动一样，可以证明这个流动是有旋流（=k） ，这个结果说明在有旋流场上，伯努利常数跨流线是要变的。,等角速度旋转容器中的流动是有旋的，跨流线总能量改变,涡量表显示等角速度旋转容器中的流动是有旋的, 2.3.4 Bernoulli方程应用,如果速度场是： 容易证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变的： 该流场实际上是一个无涡流场，能量方程积分常数不变。因为：, 2.3.4 Bernoull

42、i方程应用,旋涡的速度分布与压力分布的关系： 旋涡可以分为像刚体一样转动的涡核和被涡核诱导的速度场，从旋涡外至涡核中心，压强是一路降低的，其压强分布如图所示,涡核内为有旋流，跨流线不满足伯努利方程，沿径向速度越大压力越大,涡核外为无旋流，跨流线也满足伯努利方程，从而沿径向速度越小压力越大,右边的例子同时还说明了，转弯的流体不一定必然是有旋流, 2.3.4 Bernoulli方程应用,平行渠道中两股速度不同的流动是有旋的，跨流线总能量改变,平行渠道中的流动由于在法向存在速度梯度因而是有旋的，说明有旋流不一定要转弯,有旋流时跨流线伯努利常数（总能量）发生改变的其他例子：,上右图中，总静压管的结构及

43、其总压、静压和动压之间的关系如右图所示：静压管的高度表示静力水头 p/+y , 总压管的高度表示总水头 p0 /, 二者之差为动压头V2/2g, 2.3.4 Bernoulli方程应用, 2.4 流体运动的积分方程, 2.4.1 基本概念,流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此，我们必须解决三个方面的问题： （1）流体的运动学问题；（2）作用于流体上各种力的特征（如前述）；（3）控制流体运动的普遍规律（质量守恒、牛顿第二定律（动量守恒）、动量矩守恒、能量守恒等）；流体动力学方程是将这些描述物质运动的普遍规律，应用于流体运动的物理现象中，从而得到联系流体运动各物理量之间的关系式，这些关系式就是

44、流体动力学的基本方程。,1、系统(System) 定义：系统是指包含着确定不变物质的任何集合体，称为系统。在流体力学中，系统是指由任何确定流体质点组成的团体。,如果关系式是以微分形式给出称为微分方程（如前所述）。如果是以积分形式给出，称为流体动力学积分方程，在流体动力学积分方程中，具体包括： （1）质量方程；（2）动量方程；（3）动量矩方程；（4）能量方程, 2.4.1 基本概念,系统的基本特点： （1）系统边界随流体一起运动；（2）在系统的边界上没有质量的交换；（3）在系统的边界上受到外界的表面力；（4）在系统的边界上存在能量的交换。,例如，F=ma，F 指作用于系统上所有外力的合力。a 指

45、系统的平均加速度。系统对应于Lagrange观点，即以确定的流体质点系统作为研究对象，研究系统各物理量的关系。, 2.4.1 基本概念,2、控制体（Control Volume） 定义：被流体所流过，相对于某个坐标系而言，固定不变的任何体积称为控制体。控制体的边界，称为控制面。控制体是不变的，但占据控制体的流体质点随时间是变化的。控制体的形状可根据需要而定。, 2.4.1 基本概念,例如，F=ma，F指作用于控制体边界面上所有作用于流体上外力的合力。控制体对应Euler观点，研究控制体内流体各物理量的关系。,控制体的基本特点: （1）控制体的边界相对于坐标系而言是固定的；（2）在控制面上可以发

46、生质量交换，即流体可以流进、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力；（4）在控制面上存在能量的交换。, 2.4.1 基本概念,针对质量 m 确定的封闭系统，上述基本物理定律可以分别表述为： （1）质量方程： 表示：系统 中的质量 m 不随时间变化。 （2）动量方程： 表示：系统受外界作用的合外力等于系统的动量对时间的变化率。, 2.4.1 Lagrange型积分方程,（3）动量矩方程 表示：外界作用于系统上所有外力对某点力矩之和等于系统对同一点的动量矩对时间的变化率。,（4）能量方程 表示：单位时间内由外界传入系统的热量 与外界对系统所做的功 之和等于该系统的总能量 E

47、对时间的变化率。其中右端括号内为单位质量流体所含内能和动能。, 2.4.1 Lagrange型积分方程,上述积分方程称为拉格朗日型积分方程，其特点是：研究对象是质量确定的封闭系统，方程中均含有封闭系统中某物理量对时间的变化率。由于流体系统 的大小和形状均随时间而改变，长时间追踪系统有困难。此外要确切表达系统中物理量随时间的变化率也不容易。,有许多流体力学问题往往只关心物体附近确定区域内的速度、作用力等，并不关心具体流体系统的时间历程，拉格朗日型方程对于分析、研究流场来说并不方便，因此实用的是以控制体为研究对象的 Euler型积分方程。, 2.4.1 Lagrange型积分方程,下面我们考察如何将系统中的物理量 N （可以是质量、动量、动量矩、能量等等物理量）随时间的变化率 ，用关于控制体的描述方法表达出来。,所谓控制体分析方法，就是要把上述适用于流体系统的各物理定律用关于控制体的描述方法表达出来，而连系着系统分析方法和控制体方法之间的桥梁就是雷诺输运方程。, 2.4.2 Reynolds输运方程,则系统中的物理量N可以用下述体积分（三重积分）表示，其中是系统占据的空间：,显然，当 =1 时，N=m 代表系统的质量； 当 时， 代表系统的