能带论2.ppt

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1、一、何谓近自由电子近似（ Nearly Free Electron ）,在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子 的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是 它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。 （也称为弱周期场近似）。这个模型虽然简单，但却给出周 期场中运动电子本征态的一些最基本特点。,何谓近自由电子近似 定性描述 微扰计算,见黄昆书 4.2节 p157,6.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似,晶体中的电子感受到的一维晶格周期势场,见于Omar 书p197,见于Kittel 书 p118,二. 近自由

2、电子（NFE）模型的定性描述,在NFE 模型中，是以势场严格为零的 Schrdinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。 在一维情况下，空格子模型中的态函数和能量表达式为：,上式中的 0 表示是未受微扰的解。自由电子的能量和波矢 关系是抛物线，但考虑到平移对称性的要求，它被 Brillouin 区 边界截成多段，可以平移倒易基矢 的整数倍，以便让 任意两个等效点的能量相同。,空格模型的能量波矢关系：,自由电子的 k 取值范围是没有限制的，能量取值范围也是无限制的。,晶体中的波矢 k只能在第一Brillouin区内取值。能量可以

3、通过一个 k 值对应多个能量值来包容。,当考虑微弱的周期势场影响时，空格子能谱的明显变化 只发生在 Brillouin区区心和边界处，原先相互连接的，现在 分开了，出现了一个能隙，也就是说，在这些点上，能谱的 形状受到弱晶体势场的修正。（实际上，晶体势的作用是使 空格子模型中能带结构中的尖角变得平滑了。） 在区域的其它部分，能谱的形状受到的影响很小，基本 保持了空格子模型的抛物线形式。见下图。 所以说近自由电子近似下晶体电子的能级区分成为电子 可以占据的能带以及不能占据的禁带。,弱周期势场对能带的影响：,以上参照 Omar一书整理,空格模型的能量波矢关系：,Blakemore书p208-209

4、也有类似叙述。,弱周期势场对能带的影响：,能隙,Ashcroft 一书 p160 关于一维带隙的说明,自由电子能量波矢关系 Brillouin边界处的简并 弱周期势的影响 Brillouin边界处的分裂 扩展区形式 简约区形式 周期形式,周期性势场：,a为晶格常数,作Fourier展开：,其中, 势能平均值 视为常数,根据近自由电子模型，Un为微小量。,电子势能为实数，U(x)=U*(x)，得 Un*=U-n 。,三、微扰计算：考虑长度 的一维晶体,1. 非简并微扰,这里，单电子哈密顿量为：,零级近似,代表周期势场的起伏作为微扰项处理,分别对电子能量 E(k) 和波函数 (k) 展开,将以上各

5、展开式代入Schrdinger方程中，得,零级近似方程：,能量本征值：,相应的波函数：,正交归一性：,一级微扰方程：,令,代入上式,两边同左乘 并积分得,当 k = k 时，,当 k k 时，,由于一级微扰能量 Ek(1)0，所以还需用二级微扰方程来 求出二级微扰能量，方法同上。,补充：按照量子力学一般微扰理论的结果，本征值的一、二 级修正项为：,波函数的一级修正为：,以上见黄昆书 p158, 有类似的微扰推导,二级微扰能量：,这里,于是，求得电子的能量为,电子波函数为,其中,容易证明 uk(x) uk(x+a)，是以 a 为周期的周期函数。可见，将势能随位置变化的部分当作微扰而求出的近似波函

6、数的确满足Bloch定理。这种波函数由两部分组成：,第一部分是波数为k的行进平面波,第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波。,因子,是波数为kk+2n/a的散射波的振幅。,在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不相同，因而彼此相互抵消，周期场对行进平面波的影响不大，散射波中各成分的振幅均较小，可以用微扰法处理。 但是，如果由相邻原子所产生的散射波（即反射波）成分有相同的位相，如行进平面波的波长 2/k正好满足条件 2an 时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉。这时，周期场的影响就不能当作微扰了,当,时，,即,散射波中，这种成分的振幅

7、变得无限大，一级修正项,太大，微扰不适用了。由上式可求得,或,这实际上是 Bragg 反射条件 2asinn 在正入射情况 （ sin1 ）的结果。,2. 简并微扰,这正是布里渊区边界方程。也就是说，在布里渊区边界上,这时，这两个态的能量相等，为简并态。必须用简并微扰来处理。可以认为,和,互为行进波和反射波，因此零级近似的波函数是这两个波的线性组合。实际上，在 k和 k接近布里渊区边界时，即,时，散射波已经相当强了，因此，零级近似的波函数也必须写成,代入Schrdinger方程,得,由于,上式分别左乘k(0)*或k(0)* ，并积分得,解得,这里,方程组有非零解的条件，即久期方程为,(1),这

8、表示k和k离布里渊区边界还较远，因而 k 态和 k 态的能量还有较大的差别，这时将上式作Taylor展开得：,对应于Ek(0) Ek(0)的情况，上式的结果与前面所讨论的非简并微扰计算的结果相似，只不过当行进波为 k 态时，在所产生的散射波中只保留了 k 态的影响；而当行进波为 k 态时，只保留了 k 态的影响。即只考虑 k 和 k 在微扰中的相互影响，而将影响小的其他散射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较高的 k 态能量升高，而能量较低的 k 态的能量降低，,即微扰的结果使 k 态和 k 态的能量差进一步加大。,(2),这表示 k 和 k很接近布里渊区边界的情况，将E展开得,其中 为在布

9、里渊区边界处 自由电子的动能。,以上的结果表明，两个相互影响的态 k 和 k，微扰后的能量 分别为 E和 E，当 0时， k态的能量比 k 态高，微扰后 使 k 态的能量升高，而 k 态的能量降低。当 0时， 分别 以抛物线的方式趋于TnUn。,对于 0， k 态的能量比 k 态高，微扰的结果使k态的能量升高，而 k态的能量降低。,从以上的分析说明，由于周期场的微扰，E(k)函数将在布里渊区边界 k=n/a 处出现不连续，能量的突变为,这个能量突变称为能隙，即禁带宽度，这是周期场作用的结果。而在离布里渊区边界较远处，电子的能量近似等于自由电子的能量，且是 k 的连续函数，这时周期场对电子运动的

10、影响很小，电子的运动性质与自由电子基本相同。,Ek(0),Ek(0),E,E,Tn,Tn,见黄昆书 p166,近自由电子模型的主要结果： 见Kittel 8版p117,一、方程与微扰计算,方程：,势能函数的平均值,微小量,6.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似,零级近似：,微扰项：,可由自由电子求出零级近似的归一化波函数和能量本征值,与一维情况类似，一级微扰能量为,一级修正的波函数和二级微扰能量分别为,其中,当 k 离布里渊区边界较远时，由于周期场的影响而产生的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微扰。但是，在布里渊区边界面上或其附近时，即当k2(k+Gn)2时，这时相应的散射波成分的

11、振幅变得很大，不能当作小的微扰来处理，而要用简并微扰来处理。 零级近似的波函数由相互作用强的几个态的线性组合来组成，由此可解得在布里渊区边界面上简并分裂后的能量为,需要指出的是，在三维情况下，在布里渊区边界面上的一般位置，电子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作用强，其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成；而在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量多重简并的情况。对于 g 重简并，即有 g 个态的相互作用强，因而，其零级近似的波函数就需由这 g 个相互作用强的态的线性组合组成，由此解出简并分裂后的 g 个能量值。,kx,ky,二、布里渊区与能带,引入周期性边界条件后，在k空间中，

12、波矢k的取值不连续，k的取值密度为,V为晶体体积,而简约区的体积倒格子原胞体积 b,简约区中 k 的取值总数(k) bN晶体原胞数,每一个 k 确定一个电子能级，根据 Pauli 原理，每一个能级可以填充自旋相反的两个电子。因此，简约区中共可填充 2N 个电子。 由于每一个布里渊区的体积都等于倒格子原胞体积b，所以，每一个布里渊区都可以填充 2N 个电子。,1. En(k)函数的三种图象,在 k 空间中，电子能量 En(k) 函数有三种不同的表示方式，称为三种布里渊区图象。这三种表示方法是等价的，可根据所考虑问题的方便选择不同的表示方法。 若波矢量 k 在整个 k 空间中取值，这时每一个布里渊

13、区中有一个能带，第 n 个能带在第 n 个布里渊区中，这种表示法称为扩展的布里渊区图象。,若将波矢量 k 限制在简约区中，由于 k 和k+Gl所对应的平移算符本征值相同，也就是说，k 和 k+Gl标志的原胞间电子波函数的位相变化相同。在这个意义上，可以认为 k 和k+Gl是等价的。因此，可以将 k 限制在简约区中。但是,由于电子的能量分为若干个能带，如将所有能带都表示在简约区中，那么，对于一个简约波矢 k，就有若干个分立的能量值与之对应。我们用 n来区分不同的能带 En(k)。对于给定的能带 n， En(k)是 k的连续函数。,En(k)的这种表示法称为简约布里渊区图象。实际上，由于我们认为

14、k和 k+Gl 等价，因而， En(k)的简约布里渊区图象中的第 n 个能带，实际上是由扩展布里渊区图象中从第 n个布里渊区中平移一个倒格矢 Gl 而得来的。 由于认为 k 和 k+Gl 等价，因而可以认为 En(k)是 k空 间中以倒格矢Gl为周期的周期函数，即En(k) En(k Gl)。而简约布里渊区是倒易空间的原胞，以此原胞为重复单,元进行平移操作可以得到整个 k 空间，这些单元都是等价的。因此，对于同一能带有： En(k) En(k Gl),En(k) 的这种表示法称为周期布里渊区图象。,扩展布里渊区图象：不同的能带在k空间中不同的布里 渊区中给出； 简约布里渊区图象：所有能带都在简

15、约区中给出； 周期布里渊区图象：在每一个布里渊区中给出所有能带。,2. 能带重叠的条件,我们已证明，在布里渊区内部，电子能量是连续的（严格应为准连续），而在布里渊区边界上，电子能量不连续，会发生能量的突变。在一维情况下，布里渊区边界上能量的突变为：EEE2Un 这就是禁带的宽度（能隙）。,但在三维情况下，在布里渊区边界上电子能量的突变并不意味着能带间一定有禁带的存在，而且还可能发生能带与能带的交叠。这是由于在三维情况下，在布里渊区边界上沿不同的 k 方向上，电子能量的不连续可能出现的不同的能量范围。因此，在某些 k 方向上不允许有某些能量值，而在其他 k 方向上仍有可能允许有这种能量，所以，在

16、布里渊区边界面上能量的不连续并不一定意味着有禁带。这是三维情况与一维情况的一个重要区别。,能带交迭的示意图,小结：近自由电子近似的主要结果： 存在能带和禁带： 在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 EK0 作 为 k 的函数具有抛物线形式。由于周期势场的微扰，E（k）函数 将在 处断开，本征能量发生突变，出现能量间隔 2Vn，间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍 基本保持自由电子时的数值。周期势场的变化愈激烈，各傅里叶 系数也愈大，能量间隔也将更宽，周期势场中电子的能级形成能 带是能带论最基本和最重要的结果。,2. 第一（简约）Brillouin 区： 自由电子波矢 k 的取

17、值范围是没有限制的。而在周期势场 中，则被严格的限制在第一 Brillouin 区内。但从能量角度看， 可以将标志电子状态的波矢 k 分割为许多区域，在每个区域内 电子能级 E(k)随波矢 k 准连续变化并形成一个能带，波矢 k 的 这样一些区域就被称为 Brillouin 区，当波矢 k 被限制在第一 Brillouin 区时， E(k) 就成为 k 的多值函数，为了区别，按其能 量由低到高，分别标注为 E1(k) ,E2(k) E3(k), 。有时也可以 用周期布里渊区图式或扩展布里渊区图式绘出晶体中的能带。,3. 从理论上解释了导体和绝缘体的区别 按照能带模型，晶体中每个原子的传导电子数

18、就决定了晶 体是导体还是绝缘体，如果每个原子提供两个传导电子，刚够 填满第一能区的所有状态，或每个原子提供四个传导电子，刚够 填满第一、二能带，鉴于能隙的存在，当电子受到外加势场作用 时，就没有稍高的容许能态可以让它被激发而迁入，因此就没有 电流流动，这种晶体就是绝缘体，除非外加势场大到足以激发电 子使之跨过能隙而进入下一个能区的容许能态。相反，如果电子 只是在某个能区填充了部分能态，就会如同自由电子那样，可以 在势场作用下自由移动，成为导体。,然而在真实晶体中，情况并不像上述模型那样简单，由 于晶体是各向异性的，因此可能在某些方向上，矢量 kF 同能 区边界重合，另外一些方向上不重合，于是，就可能有某些 晶体的性质介于导体和绝缘体之间，比如半金属铋和锑。,6.2 电子在周期场的势能函数 （黄昆书 4.3 题）,其中 为常数 (1) 试画出此势能曲线，并求其平均值。 (2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙 宽度。,当：,本节习题,6.3 设有二维正方晶格，其晶格势场为： 按弱周期场 (近自由电子近似)处理，求出布里渊区角 处 的能隙。,（黄昆书 4.12题）,