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一、连通区域,二、格林公式,三、曲线积分与路径无关的条件,四、二元函数的全微分求积,第三节 格林公式及其应用,复连通区域,单连通区域,一、连通区域,二、格林公式,边界曲线 L 的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 总在观察者的左边.,证明:,同理可证,两式相加得,G,F,由(2)知,格林公式的实质 ：沟通了沿闭曲线的曲线积分与 二重积分之间的联系 .,格林公式也可以写成,解,（取正向的边界曲线）,引入辅助曲线：,解,则,应用格林公式, 有,解,由格林公式知,应用格林公式,得,(注意格林公式的条件),( 其中 l 的方向 取逆时针方向 ),利用格林公式计算平面图形的面积,解,三、曲线积分与路径无关的条件,证明,充分性由格林公式直接得证 .,下面证明条件(1)是必要的 .,用反证法 .,由格林公式及二重积分的性质有,这与假设相矛盾，即条件(1)是必要的.,所以,四、二元函数的全微分求积,证明,则必有,从而有,由定理的条件，有,即条件(2)是必要的 .,先证必要性.,再证充分性.,下面证明,由偏导数的定义，有,由(3)式，得,所以,由定积分中值定理，得,因此得到,同理可证,即条件(2)是充分的 .,解,所以原积分与路径无关，,原式=,解,由积分与路径无关可知,故,