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1、1.2 应用举例5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在ABC中，ABC=123 ，则abc等于（ ）A.12 B.123C.21 D.321解析：由已知得A=30,B=60,C=90，根据正弦定理可知有,abc=sin30sin60sin90=12.答案：A2.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、 的关系为（ ）A. B.+=90 C.= D.+=180解析：由仰角、俯角的定义可知=.答案：C3.在ABC中，a=2,b=3,c=4，则cosC=_，其形状是_.解析：由余弦定理得cosC=0,C是钝角，故其形状是钝角三角形.答案： 钝角三角形4.在ABC中，AB=12，ab=1，
2、则A=_,B=_, C=_.解析：由已知及正弦定理得，又B=2A，,cosA=,A=,B=,C=.答案： 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若三角形的三个角的比是123，最大的边是20，则这个三角形的面积为（ ）A. B.100 C.25 D.100解析：由已知得A=30,B=60,C=90，根据正弦定理可知有，abc=sin30sin60sin90=12，最小边为10.答案：A2.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A.90 B.120 C.135 D.150解析：本题只要先确定边长为7这边所对的内角，然后由三角形内角和定理，从而可求得最大角与最小角的和.设边长为7的
3、边对应的角为B，则cosB=，B=60A+C=120答案：B3.如右图，为测量障碍物两侧A、B间的距离，用a、b分别表示角A、B的对边，则下列给定四组数据中，测量时应当测的数据为（ ）A.a，b，A B.a，A，BC.b，A，B D.a，b，C解析：由正余弦定理及生活实际容易得知.答案：D4.甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A.分钟 B.分钟 C.21.5分钟 D.2.15分钟解析：AC2=(10-4t)2+(6t)2-2(10-4t)6tco
4、s120=28t2-20t+100=28(t-)2+故当t=小时，即t=60=分钟时，甲乙两船距离最近.答案：A5.已知一个平行四边形的两条邻边的长分别为2、3，且其中的一个内角为30，则这个平行四边形的面积为_.解析：本题可以围绕着平行四边形的面积公式来考虑，或者连结其对角线将原平行四边形分成两个全等的三角形，从而由三角形的面积公式来求得结果，S=23sin30=3.答案：36.一树干被台风吹断折成与地面成30角，树干底部与树尖着地处相距20米，求树干原来的高度.解析：根据题意画出如图示意图，问题转化到RtABC中，BC=20，B=30，tan30=,AC=BCtan30=20，AB=2AC
5、,AC+AB=3AC=(米).答案：即树干原来的高度为米.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.某人朝正东方向走了x km后，向右转150，再向前走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值是（ ）A. B.2 C.或2 D.3解析：由题意画出示意图，设出发点为A，则由已知可得AB=x千米，BC=3千米，ABC=180-150=30.AC=，.,sinCAB=.CAB=60或CAB=120.当CAB=60时，ACB=180-30-60=90.x=千米;当CAB=120，ACB=180-120-30=30.x=AC=千米.答案：C2.如右图，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a，
6、从C、D两点测得A点的仰角分别是、()，则A点离地面的高AB等于（ ）A. B.C. D.解析：在RtABC与RtADC中，tan=，tan=,BC=ABcot,BD=ABcot，DC=BD-BC=AB(cot-cot)=a，AB=.答案：B3.(2006高考全国卷，文12)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.20 cm2解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为cm2.答案：B4.如右图，已知|F1|=20 N，
7、|F2|=30 N,|F3|=40 N，三力互成120的角，求合力的大小.解：如下图，F1、F2的合力的大小|F|2=|F1|2+|F2|2-2|F1|F2|cos60=700 N.F26.46 N，合力的大小为|F3|-|F|=13.54 N.5.甲、乙两人去测大河两岸A、B两点的距离（如右图）.当他们到达A处时才发觉只带了测角仪，甲转身要回去拿工具.乙看见A处那根24米长的电杆，忙说：“不用去了，能测出来.”甲用疑惑的目光望着乙.你能帮甲想一个办法吗？解：在A点测得CAB，在C点测得BCA，然后可求得B=180-（CAB+BCA），根据正弦定理AB=AC,带入实验数据即可求得A、B两点的距
8、离.解：在ABC中，B=152-122=30，C=180-152+32=60，A=180-30-60=90，BC=，AC=.所以货轮与灯塔间的距离为354海里6.如右图，货轮在海上以35海里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152的方向航行为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32求此时货轮与灯塔之间的距离7.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长.求证：.证法一：由正弦定理得.证法二：由余弦定理得.8.甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是a海里
9、/小时，甲船沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇?解：设甲船在C处追上乙船，并设所用的时间为t时，由已知得ABC=120，BC=at，AC=.由正弦定理得即，sinBAC=，即BAC=30.甲船沿着北偏东30方向前进，才能最快与乙船相遇.9.在山坡上有一棵垂直的大树.试一试：不用爬树怎样可测出大树的高度.解：在山坡上有一棵垂直的大树，通过“标准步”及简易测角工具，计算出大树的高度，具体步骤为：（1）把每一步跨度基本相同的跨步方式称为标准步，每个人可用“标准步”走若干步（例如20步），反复几次，量出每次所走距离，并计算几次走动中每步的平均距离就能获得自己的“标准步”.（2）可用量角器加指针作为简
10、易测角工具.具体操作步骤：从大树底部A向下跨a步“标准步”到了B，用简易测角工具测得ABP=，再向上跨了b步“标准步”到了C(ab)，测得ACP=,该同学测出自己眼睛至脚底的高度大约是h cm，每步“标准步”跨度约为l cm,PA=这样就可知这棵大树的高度，PD=PAl+h.10.在一个正三角形中画一条分割线（可以是直线、折线或曲线），把这个正三角形的面积两等分（1）试设想各种画分割线的方法，并比较各条分割线的长短；（2）在你所画出的所有分割线中，哪一种最短？这是不是所有可能的分割线中最短的？证明你的结论.解：（1）图1、图2是容易想到的两种分法，分别计算分割线的长度（设正三角形的边长为1），
11、得AD=0.866 0(图1)；DE=0.707 1(图2).图3这种分割线是否一定比图2的分割线长？答案是肯定的，以下证明这一点如图3，设AD=m,AE=n,则mnsin60=,得mn=.于是DE2=m2+n2-2mncos60=m2+n2-mn2mn-mn=mn=.当且仅当m=n=时等号成立，这说明DEmin= 图4的情形一般被认为不可能是最短的，但计算验证一下又何妨？图4设AD=AE=AF=m，由条件得:2m2sin30=，故m2=于是DF2=2m2-2m2cos30=(2)m2=.因此，分割线的长为DF+EF=2DF=0.681 30.707 1.这是一个令人咋舌的结论，用圆弧来分割是否会最短呢?如图5，不难计算=0.673 4图5（2）图5中为最短的分割线，证明如下：如图6，将六个全等的正三角形拼成一个正六边形，六段分割线形成一个封闭的图形问题转化为：给定面积，画一个周长最短的封闭图形，显然圆的周长最短图68