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1、2-4 刚体角动量和角动量守恒定律,一、 动量矩、冲量矩,定义：质点对点的角动量为,大小,1. 角动量（动量矩）,方向,质点对圆心的角动量大小,质点对圆心O 的角动量方向如图,刚体对转轴的角动量,由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 、 、，则该系统对该轴的角动量为：,二、 定轴转动刚体的角动量定理,刚体定轴转动定律：,对于系统还有,得角动量定理微分形式,2. 冲量矩,是矢量，是角动量变化的量度, 反映力矩对时间的累积效应,为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。,两边积分得,角动量定理：转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量。,说明,（2）非刚体，J
2、变化，,（3）SI单位制中：冲量矩（m N s），角动量（kgm2/S）,刚体绕轴转动时，若合外力矩,三 、角动量定理守恒定律,角动量守恒定律：当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变。,讨论：,（4）动量、角动量、机械能守恒三大定律在原子内部亦适用。,对同一轴，同一惯性系而言。可解决一些碰撞，质点和刚体碰撞等问题。 若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。,（3）可扩展为系统，,（5）平动和刚体定轴转动的公式有对应关系，便于类比记忆。,四 、举例,（1）,（2）,式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表
3、示向右摆。,第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O 的外力矩为零，所以系统的对O 轴的角动量守恒。我们用v 表示物体碰撞后的速度，则,例题1 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落
4、的过程。机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点，用表示棒这时的角速度,则,第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为,（3）,由匀减速直线运动的公式得,（4）,亦即,由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得,（5）,棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段相似，可由机械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，所求结果为,(6),例题2 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,解以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,以各量的数值代入得,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,