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1、第十章 电磁辐射及原理,主 要 内 容 电流元辐射、天线方向性、线天线、 面天线、天线阵、对偶原理、镜像原理、互易原理、惠更斯原理,1. 电流元辐射 2. 天线方向性 3. 对称天线辐射 4. 天线阵辐射 5. 电流环辐射,6. 对偶原理 7. 镜像原理 8. 互易原理 9. 惠更斯原理 10. 面天线辐射,1. 电流元辐射,一段载有均匀同相的时变电流的导线称为电流元，而且 d l，l ，l r。,均匀同相电流是指导线上各点电流的振幅相等，且相位相同。,电流元周围介质是无限大的均匀线性且各向同性的理想介质。,利用矢量磁位 A 计算辐射场。,式中,式中,分析天线的电辐射特性，使用球坐标系较为方便
2、。,矢量位 A 在球坐标系中的各分量为,因此,由 求得磁场强度各个分量为,由 ，或者 ，根据磁场强度算出电场强度为,可见，在球坐标系中，z 向电流元场强具有 ， 及 三个分量，而分量 。,电流元产生的电磁场为TM 波。,近区中的电磁场称为近区场，远区中的电磁场称为远区场。,在电磁场中，物体的几何尺寸无关紧要，重要的是物体的波长尺寸，即以波长度量的尺寸。,的区域称为近区； 的区域称为远区。,对于近区场。因 ， ，则低次项 可以忽略，且令 ，那么,近区场与静态场完全相同，无滞后现象，所以近区场称为似稳场。,电场与磁场的时间相位差为 ，复能流密度的实部为零。能量没有单向流动，完全被束缚在源的周围，因
3、此近区场又称为束缚场。,对于远区场。因 ， ，则高次项可以忽略，只剩下两个分量 和 ，得,式中 为周围介质的波阻抗。,电流元远区场的特点：, 传播方向为 r ，电场及磁场均与r 垂直，远区场为TEM波，电场与磁场的关系为 。, 电场与磁场同相，复能流密度仅有实部，能量不断向外辐射，所以远区场又称为辐射场。, 远区场强振幅与距离 r 一次方成反比，这种衰减不是介质的损耗引起的，而是球面波的自然扩散。, 远区场强振幅还与观察点所处的方位有关，这种特性称为天线的方向性。与方位角 及 有关的函数称为方向性因子，以 f (, ) 表示。,z 方向电流元具有轴对称特点，场强与方位角 无关，即 。,z 向电
4、流元在 = 0 的轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的 = 90方向上辐射最强。, 电场及磁场的方向与时间无关，远区场为线极化。当然，在不同的方向上极化方向不同。,除了上述线极化特性外，其余四种特性是一切尺寸有限的天线远区场的共性，即一切有限尺寸的天线，其远区场为TEM波，是一种辐射场，其场强振幅不仅与距离成反比，同时也与方向有关。,天线的极化特性和天线的类型有关。,接收天线的极化特性必须与被接收的电磁波的极化特性一致，称为极化匹配。,远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由于交换部分的场强振幅至少与距离r2 成反比，而辐射部分的场强振幅与距离 r 成反比，因此，远区中交换部分所占的比重很小，近区
5、中辐射部分可以忽略。,为了计算辐射功率Pr，可将远区中的复能流密度矢量的实部沿半径为r 的球面进行积分,式中,Sc 为远区中的复能流密度矢量。,即,即,得,式中电流I 为有效值。,若周围为真空，波阻抗 ，则辐射功率为,为了衡量辐射功率的大小，使用辐射电阻 Rr，其定义为,电流元的辐射电阻为,可见，电流元的波长尺寸越大，则辐射能力越强。,例 计算位于原点的 x 方向电流元的远区场。,则各球面坐标分量为,对于远区场仅需考虑与距离r 一次方成反比的分量。,远区场是向正 r 方向传播的TEM波。因此，电场强度 E 为,求得远区磁场强度为,可见，x 方向电流元的不同场分量的方向性因子不同，此结果与 z
6、方向电流元完全不同。,但是，并不意味着天线的辐射特性发生变化。,电流元在其轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的方向上辐射最强。,改变天线相对于坐标系的方位，其方向性因子的表示式随之改变。,2. 天线方向性,使用归一化方向性因子描述方向性比较方便。,式中， fm 为方向性因子的最大值。,归一化方向性因子的最大值 Fm= 1。,式中， 为最强辐射方向上的场强振幅。,其定义为,任何天线的辐射场振幅可用归一化方向性因子表示为,利用归一化方向性因子绘制天线的方向图。通常使用直角坐标系或极坐标系。,z 方向电流元的方向性因子 ， ， 。,若用极坐标系，在任何 等于常数的平面内，函数 的变化轨迹为两个圆。,在
7、 的平面内，以 为变量的函数的轨迹为一个圆。,将 等于常数的平面内的方向图围绕 z 轴旋转一周，即构成三维空间方向图。,计算机绘制的三维空间的立体方向图更能形象地描述天线辐射场强的空间分布。,辐射最强的方向称为主射方向，辐射为零的方向称为零射方向。具有主射方向的方向叶称为主叶，其余称为副叶。,场强为主射方向上场强振幅的 倍的两个方向之间的夹角称为半功率角，以 表示； 两个零射方向之间的夹角称为零功率角，以 表示。,当有向天线在主射方向上与无向天线在同一距离处获得相等场强时，无向天线所需的辐射功率 与有向天线的辐射功率 之比值称为方向性系数D ，,式中, 为有向天线主射方向上的场强振幅。 为无向
8、天线的场强振幅。,方向性愈强，D 值愈高。,方向性系数常以分贝表示。,即,即,已知有向天线的辐射功率为,式中, S 代表以天线为中心的闭合球面。,无向天线向周围空间均匀辐射，其辐射功率为,求得,已知电流元的 ，求得电流元的 。,实际天线具有损耗，输入功率PA大于辐射功率Pr。Pr与PA 之比称为天线的效率 ,天线的增益以G表示。增益是在相同的场强下，无向天线的输入功率PA0与有向天线的输入功率PA 之比,无向天线的效率 ，得,地球站的大型抛物面天线增益高达50dB以上。,即,即,3. 对称天线,对称天线是一根中心馈电，长度可与波长相比拟的载流导线。,电流分布以中点为对称，因此称为对称天线。,若
9、导线直径 d ，电流沿线分布可以近似认为具有正弦驻波特性。,两端开路，电流为零，形成电流驻波的波节。波腹Im的位置取决于对称天线的长度。,对称天线的半长为L，沿 z 轴放置，中点为原点，电流分布函数可以表示为,式中, Im 为电流驻波的波腹电流。,对称天线可以看成是由很多电流振幅不等但相位相同的电流元排成一条直线形成的。,利用电流元的远区场公式即可直接计算对称天线的辐射场。,已知电流元 产生的远区电场强度为,由于 ，可以认为组成对称天线的每个电流元对于观察点P 的指向是相同的,各个电流元在 P 点产生的远区电场方向相同，合成电场为各个电流元远区电场的标量和,即,即,考虑到 ，可以近似认为 。但
10、是相位因子中的 r 不能以r 代替 。,由于 ，可以认为,若周围为理想介质，那么远区辐射电场为,方向性因子为,可见，方向性因子仅为方位角 的函数。,半波天线,全波天线,例 根据辐射电阻及方向性系数的定义，计算半波天线的辐射电阻及方向性系数。,解 根据半波天线的远区电场公式，求得辐射功率为,若定义辐射电阻为 ，则,对称天线的电流分布是不均匀的，因此选取不同的电流作为参考电流，辐射电阻的数值将不同。常取波腹电流或输入端电流作为辐射电阻的参考电流，分别称为以波腹电流或输入端电流为参考的辐射电阻。,求得半波天线的D =1.64。,半波天线的输入端电流等于波腹电流，因此上述辐射电阻可以认为是以波腹电流或
11、输入端电流为参考的辐射电阻。,由,4. 天线阵辐射,由多个简单天线构成的复合天线称为天线阵。,调整单元天线的类型、数目、电流振幅及相位、取向及间隔，即可形成所需的方向性。,若各个单元天线的类型和取向均相同，且以相等的间隔 d 排列在一条直线上。各单元天线的电流振幅均为I ，但相位依次逐一滞后同一数值 ，那么，这种天线阵称为均匀直线式天线阵。,对于远区，若观察距离远大于天线阵的尺寸，可以认为各个单元天线对于观察点的取向是相同的。,因单元天线的取向一致，各个单元天线产生的远区场方向相同，天线阵的合成场等于各个单元天线场的标量和,第 i 个单元天线的辐射场可以表示为,式中,Ci决定于天线类型。对于均
12、匀直线式天线阵，因各单元天线类型相同，则 。,又因取向一致，故 。,即,求得 n 元天线阵的合成场强的振幅为,令,对于远区可以认为,则 n 元天线阵场强的振幅可以表示为,式中, 称为阵因子。,上述均匀直线式天线阵沿z轴放置，因此方向性因子仅为方位角 的函数。,若以 表示天线阵的方向性因子，则,式中, 为单元天线的方向性因子; 为阵因子。,方向图乘法规则,可见，阵因子与单元天线的数目n、间距 d 及相位差 有关。,已知阵因子为,适当地变更单元天线的数目、间距及电流相位，即可改变天线阵的方向性。,根据给定的方向性，确定天线阵的结构，这是天线阵的综合问题。,阵因子达到最大值的条件为,kdcos 为空
13、间相位差， 为时间相位差。因此，两者相等时，阵因子达到最大值。,阵因子达到最大值的角度 为,可见，阵因子的主射方向决定于单元天线之间的电流相位差及其间距。,连续地改变单元天线之间的电流相位差，即可连续地改变天线阵的主射方向，这就是相控阵天线的工作原理。,单元天线电流相位相同的天线阵称为同相阵。,由 ，得,可见，若不考虑单元天线的方向性，则主射方向垂直于天线阵的轴线，这种天线阵称为边射式天线阵。,若电流相位差 ，得,可见，若不考虑单元天线的方向性，则主射方向指向电流相位滞后的一端，这种天线阵称为端射式天线阵。,三种二元阵的方向图,根据方向图乘法规则即可理解这些二元阵方向图的形成原因。,例 由四个
14、相互平行的半波天线构成直线式四元天线阵。单元天线的间距为半波长，单元天线的电流同相，但电流振幅分别为 ， ，试求与单元天线垂直的平面内的方向性因子。,解 这是一个非均匀的直线式天线阵，不能直接应用前述的均匀直线式天线阵公式。,但是单元天线和可以分别分解为两个电流均为 I 的半波天线。,根据方向图乘法规则，上述四元天线阵在yz平面内的方向性因子等于均匀直线式三元同相阵的阵因子与二元同相阵的阵因子的乘积。,式中,即,该四元天线阵可以分解为两个均匀直线式三元同相阵。,两个三元阵又构成一个均匀直线式二元同相阵。,5. 电流环辐射,电流环是一个载有均匀同相时变电流的导线圆环，其圆环半径 a ， 且 a
15、r 。,设电流环周围空间为无限大的均匀线性且各向同性的介质。建立直角坐标系，令电流环的中心位于坐标原点，且电流环所在平面与 xy 平面一致。,因结构对称于z轴，电流环的场强与角度无关。为简单起见，令观察点P位于xz平面。,线电流产生的矢量位为,根据几何关系，近似求得,式中 为电流环的面积。,可见，电流环产生的电磁场为TE波。,由 ，求得电流环的磁场为,再由 ，求得电流环的电场为,方向性因子,可见，与z 向电流元的方向性因子完全一样。,电流环所在平面内辐射最强，垂直于电流环平面的z 轴方向为零。,对于远区场，因 ， 只剩下 及 两个分量.,电流环的辐射功率 和辐射电阻 分别为,电流元及电流环的场
16、强公式非常类似。,电流元H - 电流环E ; 电流元E - 电流环H,例 复合天线由电流元及电流环流构成。电流元的轴线垂直于电流环的平面。试求该复合天线的方向性因子及辐射场的极化特性。,解 令复合天线位于坐标原点，且电流元轴线与 z 轴一致。,电流环产生的远区电场为,电流元产生的远区电场为,合成远区电场为,若I1与I2的相位差为 ，则合成场为线极化。,因 ，两个电场分量相互垂直，振幅不等，相位相差 。,复合天线的方向性因子仍为 。,若 I1与 I2 相位相同，合成场为椭圆极化。,6. 对偶原理,电荷与电流是产生电磁场的惟一源。自然界中至今尚未发现任何磁荷与磁流存在。但是对于某些电磁场问题，引入
17、假想的磁荷与磁流是有益的。,引入磁荷与磁流后，麦克斯韦方程修改为,式中，J m(r) 为磁流密度； m(r) 为磁荷密度。,磁荷守恒定律为,现将电场及磁场分为两部分：一部分是由电荷及电流产生的电场 及磁场 ；另一部分是由磁荷及磁流产生的电场 及磁场 ，,由于麦克斯韦方程是线性的，它们分别满足的电磁场方程如下：,即,比较上述两组方程，获得以下对应关系：,这个对应关系称为对偶原理。,若已求出电荷及电流产生的电磁场，只要将其式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，获得的表示式即是具有相同分布特性的磁荷与磁流产生的电磁场。,那么， z 方向磁流元Ilm产生的远区场应为,已知 z 方向电流元 Il 的
18、远区场公式为,引入磁荷m 及磁流 Im 后，两个积分形式的麦克斯韦方程修改为,前述边界条件也必须加以修正,但仅涉及电场强度的切向分量和磁场强度的法向分量，,式中 为表面磁流密度； 为表面磁荷密度； 由媒质指向媒质，如下图所示。,即,已知磁导率的理想导磁体，其内部不可能存在任何电磁场，但其表面可以存在假想的表面磁荷与磁流。,那么，理想导磁体的边界条件为,7. 镜像原理,静态场的镜像原理同样也适用于求解时变电磁场的边值问题，但也仅能用于某些特殊的波源和边界。,设时变电流元Il位于无限大的理想导电平面附近，且垂直于该平面，如下图所示。,引入的镜像源必须保持原有的边界条件。,镜像电流元为 ，且令 ，
19、。,正弦时变电流与时变电荷的关系为 。时变电流元的电荷积累在电流元的两端，上端电荷 ，下端电荷 ，如下左图所示。,这些电荷及电流分别在边界上产生的电场强度，如上右图所示。,由于引入镜像源以后，整个空间变为均匀无限大的空间，因此可以通过矢量位 A 及标量位 计算场强。,式中,电流元 Il 产生的电场强度为,类似可以求得镜像电流元 产生的电场为,式中,对于边界平面上任一点,已设 ，故 。,又 ，水平分量相互抵消，合成电场 的方向垂直于边界平面，满足原有的边界条件。,由于镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同，这种镜像电流元称为正像。,类似可以证明位于无限大理想导电平面附近的水平电流元的镜像电流元为
20、负像。,镜像法的求解可归结为二元天线阵的求解。,对于实际地面，也可应用镜像原理。但是，由于地面为非理想导电体，严格分析表明，只有当天线的架空高度以及观察点离开地面的高度远大于波长时，且仅对于远区场的计算才可应用。,理想导电平面附近磁流元的镜像关系恰好与电流元情况完全相反，如下图所示。,上半空间任一点场强可以认为是直接波 E1 与来自地面反射波 E2 之合成，且认为 E1 与 E2 的方向一致。因此，合成场为直接波与反射波的标量和，即,由于地面处于天线的远区范围，天线的远区场具有TEM波性质，反射系数 R 可以近似看成是平面波在平面边界上的反射系数。,式中，R 为地面反射系数。,实际地面对天线的
21、影响归结为一个非均匀二元天线阵。,例 利用镜像原理，计算垂直接地的长度为l、电流为I 的电流元的辐射场强、辐射功率及辐射电阻。地面当作无限大的理想导电平面。,解 对于无限大的理想导电平面，垂直电流元的镜像为正像。因此，上半空间的场强等于长度为2l 的电流元产生的辐射场，,可见，场强振幅提高一倍。,即,接地的电流元仅向上半空间辐射，计算辐射功率时仅需沿上半球面进行积分，,对应的辐射电阻为,可见，辐射电阻也提高一倍。,中波广播电台使用的悬挂式垂直导线或自立式铁塔，可以看成是一种垂直接地天线。,对于中波波段，地面可近似当作导电体。天线附近的地面铺设导电网，以提高电导率。,即,磁棒天线接收信号时，磁棒
22、应与电磁波的到达方向垂直，而且磁棒必须水平放置。如果磁棒垂直于地面，接收效果显著变坏。,短波波段使用水平半波天线。由于架空高度能与波长达到同一量级，地面的影响归结为一个二元天线阵。,调整天线的架空高度，即可在铅垂面内形成具有一定仰角的主射方向，以便将电磁波射向地面上空的电离层，依靠电离层反射进行远距离传播。,8. 互易原理,设区域 V 内充满各向同性的线性介质，其中两组同频源 及 分别位于有限区域 Va 及 Vb 内。,两组源及其场满足的麦克斯韦方程分别为,由 ，麦克斯韦方程可以求得下面两个方程：,上两式分别称为互易原理的微分形式和积分形式。,互易原理描述了两组同频源及其场强之间的关系。因此，
23、若已知一组源与其场的关系，利用互易原理可以建立另一组源与其场的关系。,若闭合面S 仅包围源a 或源b，则分别得到下列结果：,若闭合面S不包括任何源，则上述面积分为零，,若闭合面S包括了全部源，则上述面积分也为零。,即,无论 S 的大小如何，只要 S 包围了全部源，它都等于右端对 的积分。,可见，前式左端的面积分应为常量。,为了求出这个常量，令S面无限地扩大至远区范围，由于远区场具有TEM波特性，即 。代入前式，则左端面积分被积函数中两项相互抵消，导致面积分为零，即上式成立。,称为洛伦兹互易定理。,既然上式成立，那么下式右端体积分为零，,或写为,此式称为卡森互易定理。,即,上述互易定理成立并不要
24、求空间是均匀的。可以证明，当V中局部区域内存在理想导电体或理想导磁体时，卡森互易定理应该仍然成立。,根据矢量混合积公式，可得,上两式中 及 均表示相应场强的切向分量。,那么，在远区闭合面S与理想导电体表面或理想导磁体表面包围的区域中，卡森互易定理仍然成立。,例 利用互易定理，证明位于有限尺寸的理想导电体表面附近的切向电流元没有辐射作用。,解,镜像法是否可用？,令电流元 与Ea 平行，在电流元 附近产生的电场为Eb ，应用卡森互易定理，得,故只可能 。,但是,考虑到电流元 Il = (JdS)l = JdV，求得,得 。,但 ，,9. 惠更斯原理,包围波源的闭合面上各点场都可作为二次波源，它们共
25、同决定面外场，这就是惠更斯原理。这些二次波源称为惠更斯元。,闭合面上全部ES , HS 共同决定闭合面外EP 及 HP 。,为了导出EP , HP 与ES , HS 之间的定量关系，令场点P位于闭合面S与S之间的无源区V中。,可以证明， 与 的关系式为,上式称为基尔霍夫公式。因为它是通过直角坐标分量利用标量格林定理导出的，故又称为标量绕射公式。,式中,自由空间格林函数。,还有其他公式描述惠更斯原理。,惠更斯原理意味电磁能量由波源到达场点的过程中电磁波传播占据一定的空间，而不是沿一条线传播。,闭合面上各点的惠更斯元对于空间某点场强的贡献有所不同，主要贡献来自于闭合面上面对场点的惠更斯源。,认为到
26、达场点的电磁能量仅沿一条线传播的观点即是几何光学的射线原理。,只有当波长为零时，传播轨迹才是一条曲线。因此，几何光学原理又称为几何光学近似。,10. 面天线辐射,三种天线都是通过一个平面口径向外辐射电磁能量，因此，这类天线称为面天线。,面天线的求解分为两步：首先求出口径场，然后根据口径场再求解空间场。前者称为面天线的内部问题，后者称为外部问题。,前已指出，任何描述惠更斯原理的数学公式中的积分表面必须是闭合的。对于有限口径场的辐射，一种补救的办法是同时考虑口径边缘电荷的辐射作用。但是对于主叶内的场强，忽略边缘电荷所产生的误差不大。,首先计算惠更斯元的辐射场。,惠更斯元的辐射场可以表示为,式中，S
27、 0 为 z = 0 处的惠更斯元。,对于远区场，可取,得,可见，方向性因子为 。,任意平面口径场可以归结为很多振幅不等，相位不同的惠更斯元的辐射场的合成。,若以 代表口径场的某一直角坐标分量，由于口径为平面，因此，各面元产生的远区场强方向一致，可以直接积分求得，,即,例 计算边长为2a 及2b 的均匀同相矩形口径场的辐射场强。,解,口径场的某一直角坐标分量为,式中 与坐标无关。,对于远区，可取,还可认为P点对于各个面元 均处于同一方位，即 ，故 ，且可取 。,则,可见，方向性因子为,实际中，仅需 及 两个主平面内的方向图。,求得,若 ，则两个主平面的方向图如下：,主叶半功率角20.5和零功率角20 分别近似为,方向性系数为,可见，口径的波长尺寸越大，主叶越窄，方向性系数越大。,式中,f (, 0),f (, ),若口径场振幅不均匀，但其相位相同或以口径中心为对称分布，主射方向仍然为正前方，但方向性系数降低。再考虑到天线的损耗，通常面天线的增益可以表示为,式中 称为口径利用系数。,口径场振幅的不均匀性，相位畸变，天线损耗以及馈源阻挡等均使 值下降。通常 左右。,地球站常用的30 m直径的抛物面天线 。若工作波长 ，则 。,