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1、 1.3 1.3 射影平面射影平面 一、实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型 1.3 1.3 射影平面射影平面 三、射影坐标变换 定义1.10 在射影平面上取定四点A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1), I(1,1,1), 规定无论如何选取A1, A2, A3, I 的齐次坐标, 总成立下列关 系式 (1.7 ) 则称这四点为平面上的一个原始的射影坐标系, 记作(A1A2A3 | I). 称 A1A2A3为坐标三点形，I为单位点. 点与直线在这坐标系下的坐标称 为原始坐标. 注2: 原始的射影坐标系确定的坐标映射即为定义1.9中的. 注1: (1.7)式
2、：选取A1, A2, A3, I的齐次坐标时, 必须满足 注3: 拓广平面上的笛氏齐次坐标系(A1A2A3|I)为一个原始的射 影坐标系. 1.3 1.3 射影平面射影平面 证明: 只要证对平面上任意一点X, (PQR|E)可惟一确定其点坐标 映射. 设X的原始坐标为(x1*, x2*, x3*), 则由线性代数知识以及式(1.8), 存在惟一向量类(x1, x2, x3)RP2, 满足 (1.9 ) 于是(1.9)惟一确定了点X在射影坐标系(P,Q,R|E)下的一个齐次射 影坐标(x1, x2, x3). 三、射影坐标变换 定理1.11 在射影平面上任意取定四点P, Q, R, E, 满足
3、(1) P, Q, R, E中任何三点不共线; (2) 规定选取这四点的原始坐标P(pi), Q(qi), R(ri), E(ei)时, 满足 (1.8 ) 则这四点构成一个射影坐标系(PQR|E). 称PQR为坐标三点形, E为 单位点. 注1 在(PQR|E)下, P,Q,R,E各有一组齐次坐标为P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1), E(1,1,1).因此(PQR|E)也可作为原始坐标系. 注2 因为P,Q,R不共线，所以| pi qi ri |0,即(1.9)式为非奇异线性 变换, 称为两种射影坐标之间的射影坐标变换. 注3 在拓广平面上, 笛氏齐次坐标是射影坐标的
4、特例. 从而1.2 讨论的结论全部在射影坐标下成立, 今后可不区分地使用 笛氏齐次坐标或齐次射影坐标. 注4 (1.10 ) 按坐标变换新、老坐标的书写习惯，(1.9)式改写为 这是传统的坐标变换的逆式，今后可直接使用. 1.3 1.3 射影平面射影平面 三、射影坐标变换 1.3 1.3 射影平面射影平面 四、实射影直线(一维实射影空间) 定义1.11 在射影直线上取定相异三点P, Q, E, 选取其笛氏齐次 坐标P(pi), Q(qi), E(ei)使得 则在射影直线上定义了以P, Q为基点, E为单位点的一个一维射影 坐标系, 记作(PQ|E). 射影直线上任意一点X(x1, x2, x3
5、)的齐次射影 坐标(, )由下式确定 注2: 定义1.11的一维射影坐标系是由二维射影坐标诱导的. 注1: 在射影坐标系(PQ|E)下, P, Q, E的坐标分别为(1,0), (0,1), (1,1). 一维笛氏齐次坐标也是一种一维射影坐标. 五、复射影平面、实-复射影平面 实射影平面 复射影平面 将实射影平面嵌入到复射影平面中(作为 其子空间)，即带有虚元素的实射影平面 实-复射影平面 注2: 实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以 有虚直线，过虚点可以有实直线. 注3: 两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭. 注1: 类似定义实直线与虚直线. 于是在实-复射影平面上
6、一个元 素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变. 1.3 1.3 射影平面射影平面 (3). 实直线上的点或为实点或 为成对出现的共轭虚点. (3) . 过实点的直线或为实直线 或为成对出现的共轭虚直线. (4). 两共轭虚点连线为实直线 . (4). 两共轭虚直线交点为实点. (5). 过一虚点有且仅有一条实 直线. (5). 在一条虚直线上有且仅有 一个实点. 注4: 在实-复射影平面上, 下列结论成立. (教材P.28) 1.3 1.3 射影平面射影平面 五、复射影平面、实-复射影平面 1.1 1.1 射影平面射影平面 六、图形的射影性质(射影不变性) 射影性质 射影不变性 射影
7、不变量 图形在中心射影下保持不变的 性质和数量 目前已知的射影性质： 射影不变性：点与直线的关联关系(结合性)；同素性； 结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变 射影不变量：有待探索. 目前所知几何量均不是射影不变的 同素性：点 点；直线 直线 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题 习题1.1 1. 如右图 2. 如下图 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题 习题1.1 3. 如右图 4. 设p与两平面交线x的交 点为X, 则p必定经过定点X. 5. 6. (4), (6), (10). 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题 习题1.2 1-1
8、4. 应该独立熟练完成. (如果有问题, 望利用答疑) 15. (略). 见本章Desargues定理的证明. 16. (作业). 运用本节的5对结论, 耐心计算即可. 17. 提示: 设定直线x2kx3=0上的动点为O(a, k, 1). 先计算Q, R的坐标得：Q(a, 0, 1), R(a, k, 0). 再求QR与A2A3的交点得：X(0, k, 1). 因为X的坐标与a无关, 所以X为定点. A1X的方程为：x2+kx3=0. 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题 习题1.2 18. lia+mib+nic共线不全为0的数p,q,r, 使得 (因为a,b,c不共线) (因
9、为p,q,r不全为0) 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题 习题1.2 19. 20. 求出这两个无穷远点的坐标, 写成(1, 0)的格式, 即可看出 垂直(斜率之积为1). 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题 习题1.2 20. 由非齐次关联关系Ux+Vy+1=0, 过原点的直线和在无穷远 直线上的点、原点和无穷远直线均没有非齐次方程！ 22, 23. 请自行完成. 习题1.3. 要求熟练掌握第3题的类型, 今后要用. 今日作业P.29: 3 The Class is over. Goodbye! 课件作者：南师大数科院周兴和 下周一再见！下周一再见！ 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题