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1、等腰三角形的性质 定理及其证明,甘肃省陇南市武都区两水中学 唐小平,等腰三角形,你知道什么是等腰三角形吗?,腰,腰,底边,底角,底角,顶 角, 学习 目标,会证明等腰三角形的性质定理。掌握等腰三角形的性质定理及推论1、推论2。 会用等腰三角形的性质定理及推论进行证明或计算。 体会几何证明的必要性，逐步渗透证明的基本方法：分析法和综合法。培养学生的联想能力，使学生体会到数学就在身边，增强学生应用数学的意识。,大胆猜测,等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现什么?,动手试一试,请同学们拿出准备好的等腰三角形纸片，你能用想到的方法验证一下吗？,演示折叠操作,A,B,C,已知：如图，在ABC中 ， A
2、B=AC， 求证：B=C。,求证：等腰三角形的两个底角相等。,一起探究,证明：作ADBC，垂足为D。,D,在RtADB和RtADC中，,AB=AC，,AD=AD，,RtADBRtADC，, B C。,证明：作ABC的中线AD，,D, BD=CD。,在ABD和ACD中，,ABAC，,ADAD，,BD=CD，, ABD ACD， ，, BC。 。,证明:, 12。,D,1,2,在ABD和ACD中，,作顶角的平分线AD.,ABAC，,12，,ADAD，, ABD ACD，, B C。,等腰三角形的两个底角相等,在ABC中，,ABAC，,B C。,（简写为“等边对等角”）,等腰三角形的性质定理：,A,
3、B,C,几何语言：,D,作顶角的平分线AD，,ABD ACD，,证到了,除了得到B=C外，,还可以得到：,BD=CD，,即AD是BC边上的中线；,即AD是BC边上的高。,ADB =ADC=90，,想一想,归纳：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。,也就是说， 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。,“三线合一”的操作,填空（根据等腰三角形性质定理及推论1） (1) AB=AC, _=_ ; (2) AB=AC, ADBC, _=_ , _ =_; (3) AB=AC, AD是中线， _ , _=_; (4) AB=AC, AD是角平分线
4、， _ , _=_.,BAD CAD,BD CD,AD BC,BAD CAD,AD BC,BD CD,B C,推论2： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60,议一议:,当等腰三角形变为等边 三角形时，又有何结论？,A,B,C,60,60,60,已知：如图,在ABC中, 点D,E在边BC上, AB=AC, BD=CE。 求证：AD=AE。,A,B,C,D,E,证明：AB=AC，,B C。,在ABD和ACE中，,ABAC，,ADAD，,B C，, ABD ACE，, AD=AE。,例题解析：,你还有其他方法吗？,小试锋芒：,1、填空： 在等腰三角形中， （1）已知顶角为40 ，则其余两个
5、角分别 为（ ）。 （2）已知一个底角为 40 ，则其余两个角分别 为（ ）。 （3）已知一个角为40 ，则其余两个角分别 为（ ）。 （4）已知一个角为100 ，则其余两个角分别 为（ ）。,70， 70,40， 100,70， 70或40， 100,40， 40,2、已知： ABC是等边三角形，D是BC的中点，求B 、 C 、BAD、 CAD的度数。,小试锋芒：,再显身手：,A,D,B,C,P,3、如图，在正方形ABCD中，PAD是等边三角形，则PBC的度数 是（ ）。,A 15,B 20,C 25,D 30,60,30,75,其实并不难（中考题赏析）：,4、如图所示，DEAB，垂足为E
6、， DFAC，垂足为F. 请你从下列三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确命题（只需写出一种情况）。,已知：DEAB，垂足为E ， DFAB，垂足为F，,=,=,；,求证：,=,证明：,（3）DE=DF。,（1）AB=AC；,（2）BD=CD；,（1.2）,（2.3）,（1.3）,小结,其实并不难（中考题赏析）,已知：DEAB，垂足为E ， DFAB，垂足为F，,=,=,；,求证：,=,证明：,AB,AC,BD,CD,DE,DF,返回,AB=AC，,在BED和CFD中，,BDCD，, BED CFD。, DE=DF。,B C。, DEAB， DFAB，,BED CFD=9
7、0。,B C ，,BED CFD，,其实并不难（中考题赏析）,=,求证：,=,证明：,返回,DE,DF,已知：DEAB，垂足为E ， DFAB，垂足为F，,=,；,AB,AC,BD,CD,AB=AC，, BDE CDF，, BD=CD。,B C。, DEAB， DFAB，,BED CFD=90。,在BED和CFD中，,B C，,BED CFD，,DEDF，,其实并不难（中考题赏析）,已知：DEAB，垂足为E ， DFAB，垂足为F，,=,=,；,求证：,=,证明：,返回,AB,AC,BD,CD,DE,DF,预习并完成此题,师生共同小结：,1、等腰三角形的性质定理及两个推论。,2、用文字语言叙述的命题的证明步骤:,（1）根据命题内容画图； （2）写出已知、求证； （3）推理证明结论。,3、等腰三角形中常作的辅助线:,顶角的平分线、底边上的高或底边上的中线。,可证明：两角相等，两线段相等， 两直线互相垂直。,课后思考：,已知：如图，在ABC中， AB=AC，O是ABC中内一点， 且OB=OC。 (1) BA0 和CAO有什么关系？ 为什么？ (2) AOBC吗？若不垂直，请 说明理由；若垂直，请加以证 明。,O,作业：,1、必做题： P.134页习题1、 2、4题 2、选做题： 习题5题,谢谢大家！,