山东高考数学课件及世纪金榜答案7.ppt

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1、,第七节 正弦定理和余弦定理,1.在ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？ 提示:充要条件. 因为sinAsinB abAB.,1.在ABC中，A=60， 则B等于( ) (A)45或135 (B)135 (C)45 (D)30 【解析】选C.由正弦定理可得 即 又ab，A=60， 0B60，B=45.,2.在ABC中，a= ,b=1,c=2,则A等于（ ） （A）30 （B）45 （C）60 （D）75 【解析】选C. 又0A180，A=60.,3.在ABC中，a= ,b= ,cosC= ，则ABC的面积为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】选C.cosC= ，sinC=

2、 ，,4.在ABC中，B=60，b2=ac,则ABC的形状为_. 【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos60=ac, 即a2-2ac+c2=0,a=c. 又B=60，ABC为等边三角形. 答案:等边三角形,5.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a= 4bsinA,则cosB=_. 【解析】由a=4bsinA可得，2RsinA=42RsinBsinA R为ABC的外接圆半径. sinB= ，又ABC为锐角三角形. cosB= 答案:,在ABC中，设角A、B、C的对边长度分别为a、b、c. （1）三角形内角和定理 A+B+C=. (2)三角形中的诱导公式 sin(A

3、+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,(3)三角形中的边角关系 三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然； 三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （4）射影定理 a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.,(5)三个重要结论 ABC sinAsinBsinC. sinAsinBsinC=abc.,利用正、余弦定理解三角形 【例1】在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，试根据以下条件解三角形. (1) B=45. (2)a、b是方程 的两个根，且2cos(A+B)=1 求角C；求AB的长.,【审题指导】利用已知条件

4、解三角形主要是利用正弦定理与余弦定理，解题时要注意ABC解的情况.同时注意三角形中隐含条件的应用. 【自主解答】(1)方法一：B=4590且ab, ABC有两解. 由正弦定理得 A=60或A=120.,当A=60时，C=180-(A+B)=75， 当A=120时，C=180-(A+B)=15， 故A=60，C=75， 或 A=120，C=15， .,方法二：由b2=a2+c2-2accosB得 整理得 或 . 当 时，由ac知AC,即A为锐角.这时 A=60,从而C=75. 当 时，由cb知CB=45, 于是A90,这时 从而C=15，故A=60，C=75， 或 A=120，C=15， .,(

5、2) C=120. a、b是方程 的两个根， AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC =b2+a2-2abcos120=b2+a2+ab =(a+b)2-ab= =10, .,【规律方法】应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理. 同时，已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知a,b,A，则,【互动探究】若将本例（2）中2cos(A+B)=1改为c= ， 求角C. 【解析】由题意得，a+b= ，ab=2， 又0C180，C=120.,【变式训练】在ABC中，设a,b,c分别是角A，B，C的对

6、边，试根据以下已知条件解三角形. （1）a=2,b= ,c= + ； （2）a= ,b= ,C=15.,【解析】(1)由余弦定理的推论得 cosA= = A=30. 同理，cosB= = B=45，C=180-A-B=180-30-45=105.,(2) cos15=cos(45-30) =cos45cos30+sin45sin30= . c2=a2+b2-2abcosC =(2 )2+(2 )2-22 2 =8-4 =( - )2, c= - . 由正弦定理得sinA=,ab,AB. 又0A180,A必为锐角， A=45，从而得B=120.,利用正、余弦定理判断三角形形状 【例2】在ABC中

7、，若 ,试判断ABC的形状. 【审题指导】三角形形状的判断方法是首先边化角或角化边，再整理化简即可判断.,【自主解答】方法一：由 得， sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B或2A+2B=, 即A=B或A+B= . ABC是等腰三角形或直角三角形.,方法二：由已知得， ，即 acosA=bcosB， a2(b2+c2-a2) =b2(a2+c2-b2), c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)， (a2-b2)(a2+b2-c2)=0， a=b或a2+b2=c2, ABC是等腰三角形或直角三角形.,【规律方法】判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦

8、定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形.如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外，在变形过程中要注意A、B、C的范围对三角函数值的影响.,【变式训练】在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.,【解析】由已知得a2sin(A-B)-sin(A+B) =b2-sin(A+B)-sin(A-B), 2a2cosAsinB=2b2co

9、sBsinA. 由正弦定理，得 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA. sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0, sin2A=sin2B,由0A+B， 得2A=2B或2A=-2B, 即ABC是等腰三角形或直角三角形.,与三角形面积有关的问题 【例3】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，B= ,cosA= , （1）求sinC的值; （2）求ABC的面积.,【审题指导】ABC中求角的三角函数值，主要从已知条件出发利用正弦定理或余弦定理及诱导公式等求解，对于ABC的面积主要是面积公式的应用.,【自主解答】（1）因为角A，B，C为ABC的内角， 且B

10、= ,cosA= , 所以C= -A,sinA= . 于是,(2) 由（1）知 又因为 所以在ABC中，由正弦定理得 于是ABC的面积,【规律方法】1.利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化； 2.除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有 (p是周长的一半，即 ,r为内切圆半径）； (R为外接圆半径).,【变式训练】在ABC中，cosA= ,a,b,c分别是角A、B、 C的对边. （1）求tan2A； （2）若 ,求ABC的面积.,【解析】（1）cosA= ,A(0,), sinA= ,tanA= , （2）由 又B(0,),sinB= , sinC=sin(A+B)=sin

11、AcosB+cosAsinB= . 由正弦定理得 ABC的面积,应用正、余弦定理求解三角形问题 【例】有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体 如下：在ABC中，已知a= , , _ ,求角A. 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案为A=60， 试将条件补充完整，并写出详细的推导过程.,【审题指导】本题是探究条件的开放性问题，即由结论A=60探求应填的一条边长.首先由正弦定理求出三条边长，再逐一检验哪一个作条件可以推出结论，即综合应用正、余弦定理去求角A.,【规范解答】将A=60看作已知条件， 由 得cosB= ,B=45. 由 得 又C=75，得sinC=sin(30+45)=

12、 .,由 若已知条件为b= ，则由 sinA=60或120，不合题意. 若已知条件为 则b2=a2+c2-2accosB, 综上所述，破损处的已知条件为,【规律方法】1.正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用. 2.条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理.,【变式备选】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,求证：,【证明】将 代入式子右 边， 得右边= ,解三角形中解答题的答题技巧 【典例】(12分)(2010浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知 (1)求sinC的值. (2)当a=2，

13、2sinA=sinC时，求b及c的长. 【审题指导】本题是三角形中的常见题型，从已知的条件入手，利用二倍角公式、正弦和余弦定理求解即可.,【规范解答】(1)因为 及0C, 所以 4分 (2)当a=2,2sinA=sinC时由正弦定理 得c=4. 6分 由 及0C 得 8分 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得 解得 或 ,所以 或 12分,【失分警示】 在解答本题时有两点易造成失分： 一是利用倍角公式求sinC时不判断C的范围造成失分. 二是利用公式求cosC时易错解cosC的值，得一组解从而造成失分 解决三角形中边角问题时以下几点易造成失分： 1.对三角形中隐含条件不会或忘记应用.

14、 2.求角时忽略角的范围. 3.应用正、余弦定理时计算失误.,【变式训练】（2011临沂模拟）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C= ,其中C为锐角. （1）求sinC的值； （2）当a=2，2sinC= sinA时，求b及c的值.,【解析】（1）cos2C=1-2sin2C= , 0C ,sinC= .,(2)2sinC= sinA, sinA= sinC, 由正弦定理， 解得c= . 由sinC= ，0C 得cosC= . 又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得 5=4+b2- ,即3b2-8b-3=0 又b0，解得b=3. 故b=3,c= .,1.(

15、2010湖南高考）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若C=120,c= a,则（ ） （A）ab （B）ab （C）a=b （D）a与b的大小关系不能确定 【解析】选A.由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC， 又C=120， 2a2=a2+b2+ab， a2=b2+abb2，ab.,2.(2010湖北高考）在ABC中，a=15,b=10,A=60,则cosB=（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】选A.由正弦定理得 又ab，B60， cosB=,3.(2010北京高考）在ABC中，若b=1,c= ,C= , 则a=_ . 【解析】由余弦定理可得,c2=a

16、2+b2-2abcosC， ( )2=a2+12-2a1cos ， a2+a-2=0，(a+2)(a-1)=0， a=1. 答案:1,4.(2010山东高考）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c.若a= ,b=2,sinB+cosB= ,则角A的大小为_. 【解析】由sinB+cosB= ， 可得sin(B+ )=1，B= ， 由正弦定理得， AB，A= . 答案:,5.（2010广东高考）已知a,b,c分别是ABC的三个内角 A，B，C所对的边，若a=1,b= ，A+C=2B,则sinC=_. 【解题提示】由A+C=2B可求B，由正弦定理求A，再求C，进而求sinC. 【解析】

17、由A+C=2B，得B=60， 又 又AB=60，A=30. C=180-A-B=90，sinC=1. 答案：1,一、选择题（每小题4分，共20分） 1.已知ABC中，a=c=2,A=30，则b=( ) （A） （B） （C） （D） 【解析】选B.a=c=2,A=C=30,B=120. 由余弦定理可得,2.(2011烟台模拟）在ABC中,若sinAsinBsinC= 4 则ABC是( ) （A）直角三角形 （B）锐角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定,【解析】选C.根据已知 sinAsinBsinC= 4 ,由正弦定理可得， abc= 4 ， 设a= t，b=4t，c= t， 由余弦定理

18、可得 所以ABC是钝角三角形，故选C.,3.在ABC中，已知A=60, 为使此三角形只有一 个，a满足的条件是（ ） (A) (B)a=6 (C) 或a=6 (D) 或a=6 【解析】选C.三角形有唯一解时，即由a,b,A只能画唯一的 一个三角形（如图）.所以a=bsinA或ab,即a=6或,4.在ABC中， BC=3,则ABC的周长为（ ） （A） （B） （C） （D） 【解题提示】BC=3，即a=3， ， 把周长a+b+c转化为利用B表示的式子再化简即 可.,【解析】选D.BC=3，即a=3, 得,5.ABC中， AC=1，B=30，则ABC的面积等于 （ ） (A) (B) (C) 或

19、 (D) 或 【解析】选D. C=60或C=120. 当C=60时，A=90，SABC= , 当C=120时，A=30，SABC= . 即ABC的面积为 或 .,二、填空题(每小题4分，共12分) 6.在ABC中， 且ABC的面积S=asinC,则a+c的值为_. 【解析】由已知得, 即acosC+ccosA+a+c=3b. sinAcosC+sinCcosA+sinA+sinC=3sinB sin(A+C)+sinA+sinC=3sinB. sinA+sinC=2sinB. a+c=2b, 又 答案：4,7.(2011杭州模拟)设f(x)=a2x2-(a2-b2)x-4c2,其中a,b,c分

20、别为ABC中角A，B，C的对边，若f(2)=0,则角C的取值范围是_. 【解析】由f(2)=0得a2+b2=2c2, 又0C, 答案：,8.在直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(-1,0),C(1,0), 顶点B在椭圆 上，则 的值为_. 【解题提示】解答本题的关键是将所求式子利用正弦定理将角化为边的关系式,并借助三角形及椭圆的有关知识，求出相应的值. 【解析】设ABC的三边为a,b,c, 由题意得b=AC=2,a+c=BC+AB=4, 由正弦定理得 答案：2,三、解答题（每小题9分，共18分） 9.在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且 (1)求 的值； (2)若b=2，求

21、ABC面积的最大值. 【解题提示】（1）先由余弦定理求得cosB的值，再将所给式子降幂、变形，使之出现cosB,再代入求值； （2）用a和c表示面积，用基本不等式求最值.,【解析】（1）由已知条件及余弦定理得：,(2)b=2,a2+c2= ac+4. 又a2+c22ac,2ac ac+4,ac5, 当且仅当a=c时取等号. ABC面积的最大值为2.,【方法技巧】与三角形有关的最值、范围问题求解技巧. 由于三角形中的边都取正数，符合基本不等式的应用条件，所以在解决三角形中的最值和范围问题时，应首先考虑利用基本不等式求解.其次若是关于某边的一个函数关系式也可考虑二次函数配方或利用导数求解.,10.(2011泰州模拟）在ABC中，已知 设B=x,周长为y. (1)求函数y=f(x)的解析式和定义域； (2)求y的最大值.,【解析】（1）ABC的内角和A+B+C=，由A= ，B0,C0 得0B ,应用正弦定理，知 因为y=AB+BC+AC, 所以,(2)因为 所以，当 即 时，y取得最大值,【探究创新】 （10分）已知函数 (1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期; (2)设锐角ABC的三内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若 求b.,【解析】(1) 最小正周期 令 得 f(x)的减区间是 (kZ).,(2)由（1） 得： 又 即 故,Thank you!,