学案1函数与方程思想.ppt

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1、1.函数与方程的转化，函数问题转化为方程解决(如 函数求值域中的法),方程问题转化为函数解决(如 方程解的个数可转化为两个函数图象的交点个数). 2.函数与不等式的相互转化，对于函数y=f(x)当y0 时就转化为不等式f(x)0,借助函数图象和性质可解 决有关问题.,学案1 函数与方程思想,3.数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用 函数的观点去处理数列问题十分重要. 4.函数f(x)=(a+bx)n (nN*)与二项式定理密切相关, 利用这个函数,用赋值法和比较法可以解决与二项式 定理有关的诸多问题及求和的问题. 5.解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位 置关系问题，需通过二

2、元方程组才能解决. 6.立体几何中的有关线段、角、面积的计算,经常需 用到方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空 间向量后，立体几何与函数方程之间的关系就能较 为密切.,1.设函数f(x)=x3+x,则对任意实数a,b,“a+b0”是 “f(a)+f(b)0”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为函数f(x)=x3+x,所以f(x)在R上是递增的奇 函数，又a+b0,所以a-b,则f(a)f(-b)=-f(b), 所以f(a)+f(b)0，且每一步都是可逆的.故选A.,A,2.已知|a|=2,|b|=1, 为a与b的夹

3、角,则关于x的方程 x2+|a|x+ab=0有实数根的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 因方程x2+|a|x+ab=0有实数根, 所以=|a|2-4ab=4(1-2 )0，,C,3.对任意a-1,1,若函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值 恒为正,则x的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(-,1)(3,+) C.(1,2) D.(-,1)(2,+) 解析 因为函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒为正,可 看成关于a的一次函数,不妨令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4, x1或x3.x(-,1)(3,+).,B,4.已知等差数列an的前n项和满足S7=

4、S16,则S23=_. 解析 由题意可设Sn=An2+Bn， 所以72A+7B=162A+16B，即23A+B=0， 所以S23=232A+23B=23(23A+B)=0.,0,题型一 运用函数与方程思想解决函数、方程和不 等式的有关问题 【例1】对于满足0p4的一切实数，不等式 x2+px4x+p-3恒成立，试求x的取值范围. 解 不等式x2+px4x+p-3恒成立， 即(x-1)p+x2-4x+30恒成立， 构造函数f(p)=(x-1)p+x2-4x+3. 当x=1时，f(p)=0，不满足f(p)0. f(p)表示p的一次函数, p0,4,函数f(x)的图象是一条线段,要使f(p)0在0,

5、4上 恒成立， 解得x-1或x3, 所以x的取值范围是(-,-1)(3,+). 【探究拓展】本题看上去是一个不等式的问题,但是 经过等价转化,确定适合的变量和参数,从而揭示函 数关系,使问题更加明朗化,因此我们把它转化为一 个简单的一次函数,并借助函数图象建立一个关于x 的不等式组,从而求得x的取值范围.,变式训练1 设不等式2x-1m(x2-1)对满足|m|2的 一切实数m的取值都成立，求x的取值范围. 解 设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),此为关于m的一次函 数或常函数. 即2x-1m(x2-1)对|m|2的一切m都成立. 所以x的取值范围是,题型二 运用函数思想证明不等式问题 【

6、例2】若x(0,+),求证： 证明 当t(1,+)时,f(t)0,所以函数f(t)在区间(1, +)上是增函数,则有f(t)f(1)=0, 即t-1ln t., 当t(1,+)时,g(t)0,所以函数g(t)在区间 (1,+)上是增函数，,【探究拓展】在解决值的大小比较问题时，往往通 过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解 决，这是一种重要的思想方法.利用导数解决不 等式问题时，一般要先根据欲证不等式的结构形 式及特点，构造相应的函数借助导数研究函数的 单调性，从而使问题迅速解决.,变式训练2 证明 令x=1,2,n-1时,代入上式,将所得不等式两边相 加,得,题型三 利用函数思想解决数列

7、问题 【例3】已知 设f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于 一切大于1的正整数n，不等式 解 由f(n)=S2n+1-Sn+1,得,f(n)f(n-1)f(3)f(2) (nN*,n2). 要使对于一切大于1的正整数n,原不等式恒成立, 设y=logm(m-1)2,则y0.,【探究拓展】在解答这类问题时,应首先确定f(n)的 表达式,而f(n)是一个不可求和的的数列,直接求f(n) 的最小值是不可能的,进而研究f(n)的单调性可知, f(n)是单调递增所以f(n)min=f(2),结合不等式恒成 立,进一步利用函数与方程思想使问题得以解决.,变式训练3 已知f(x)

8、是定义在正整数集N*上的函 数，当x为奇数时，f(x+1)-f(x)=1；当x为偶数时， f(x+1)-f(x)=3,且满足f(1)+f(2)=5. （1）求证：f(2n-1) (nN*)是等差数列； （2）求f(x)的解析式. （1）证明 由于nN*，则2n为偶数，2n-1为奇数， 由题意得， 两式相加得，f(2n+1)-f(2n-1)=4, 所以f(2n-1) (nN*)是以4为公差的等差数列.,(2)解 所以f(2n-1)=f(1)+(n-1)4=2(2n-1), 因此当x为奇数时，f(x)=2x, 又因为当x为奇数时，f(x+1)-f(x)=1, 所以f(x+1)=2x+1=2(x+1

9、)-1, 故当x为偶数时，f(x)=2x-1.,题型四 运用函数与方程思想解决立体几何问题 【例4】三棱锥SABC,SA=x,其余所有棱长均为2,它 的体积为V, (1)求V=f(x)的表达式; (2)当x为何值时,V有最大值？并求出最大值. 解 (1)取BC的中点D,连接SD、 AD,SDBC,ADBC, 所以BC平面SAD,取SA的中点 E,连接ED,因为SD=AD= ,所以DESA,【探究拓展】 在解答立体几何中的“运动问题”、 “最值问题”等问题时,常常借助函数思想来解决, 建立目标函数后,运用函数的方法来解决.,变式训练4 正三角形ABC的边长为a，直线 DEBC,交AB,AC于点D

10、,E,现将 ADE沿DE折起成60的二面角， 求DE在何位置时，折起后点A到 BC的距离最短，最短距离是多少. 解 取BC的中点M,连接AM交DE于N,则AMDE， 沿DE折起时,如图所示,ANDE， MNDE,则ANM是二面角 ADEM的平面角，即 ANM=60，且AMBC， 则线段AM的长为所求，,设AN=x，则MN= 在AMN中， AM2=AN2+MN2-2ANMNcos 60 所以当x= 时，即DE为ABC的中位线时，AM最短，且最短距离为 .,【考题再现】 (2008天津)设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR),其中 a、bR. (1)当a= 时,讨论函数f(x)的单调性；

11、 (2)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值围； (3)若对于任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1 上恒成立,求b的取值范围.,【解题示范】 解 (1)f(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4). f(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2). 2分 令f(x)=0,解得 x1=0, x2= ,x3=2. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 所以f(x)在(0, ),(2,+)内是增函数, 在（-,0),( ,2)内是减函数. 5分,（2）f(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是方程 4x2+3ax+4=0的根. 为使f

12、(x)仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+40恒成 立，即有=9a2-640. 6分 解此不等式，得 这时，f(0)=b是唯一极值. 因此满足条件的a的取值范围是 . 8分,(3)由条件a-2,2可知=9a2-640, 从而4x2+3ax+40恒成立. 当x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0. 因此函数f(x)在-1,1上的最大值是f(1)与f(-1)两者 中的较大者. 10分 为使对任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1上 恒成立，当且仅当 所以b-4, 13分 因此满足条件的b的取值范围是(-,-4. 14分,1.函数与方程思想方法的应用，主要体现在根据问题 的需要构造辅助函

13、数，从而将所给问题转化为构造 的辅助函数的性质,如单调性、周期性、奇偶性、正 负性、图象的交点个数、最值等. 2.要用好函数与方程思想解决问题,必须熟练掌握一 次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数 函数、三角函数等基本初等函数的图象与性质等具 体特征,合理运用图象与性质. 3.在解答非函数、方程问题时,要注意对题中各量的,观察分析,会用函数和变量来思考,学会转化已知与未 知的关系.在解题时,用函数思想作指导就需把字母看 作变量,把代数式看做函数,利用函数性质作工具进行 分析,解决问题.用方程思想作指导就需要把含字母的 等式看作方程,研究方程根有什么要求.,一、选择题 1.已知正数x,y

14、满足xy=x+9y+7,则xy的最小值为 ( ) A.32 B.43 C.49 D.60 解析 因为xy=x+9y+7,所以,C,2.已知关于x的方程sin2x+cos x+k=0有实数解,则实数 k 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析 原方程可化为cos2x-cos x=k+1,C,3.不等式f(x)=ax2-x-c0的解集为x|-2x1,则 函数y=f(-x)的图象为 ( ) 解析 因为不等式f(x)=ax2-x-c0的解集为x|-2 x1,所以a0,则函数f(x)=ax2-x-c的图象与x轴的 交点分别为(-2,0),(1,0),又函数y=f(-x)的图象与 函数y=f(

15、x)的图象 关于y轴对称,故选D.,D,4.已知实数x,y满足3x+5y3-y+5-x,则下面式子成立的 是 ( ) A.x+y0 B.x+y0 C.x-y0 D.x-y0 解析 设函数 则 是定义域上的增函数， 而3x+5y3-y+5-x, 可化为 即x-y,x+y0.,A,5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (x,yR),f(1)=2,则f(-3)等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201 =f(0)+f(1),f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1 =f

16、(-1)+f(1)-2,f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1 =f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1 =f(-3)+f(1)-6, f(-3)=6.,C,6.设f(x)是连续的偶函数,且当x0时是单调函数,则 满足 的所有x之和为 ( ) A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析 因为f(x)是连续的偶函数，且x0时是单调函 数,由偶函数的性质可知若f(x)=f( ),只有两种 情况:x= ;x+ =0. 由知x2+3x-3=0,故两根之和为x1+x2=-3. 由知x2+5x+3=

17、0,故其两根之和为x3+x4=-5. 因此满足条件的所有x之和为-8 .,C,二、填空题 7.已知（3x2+2x+1）2=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3 +a4(x+1)4,则a1+a2+a3+a4=_. 解析 令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4=1 令x=-1,得a0=4. 由可得a1+a2+a3+a4=-3.,-3,8.若函数 ,abc0.则下式正确的是 _. 解析 所以g(x)是减函数，因为abc0, 所以g(a)g(b)g(c)，,9.方程(x+1)2-1= 在-1,+)上的解为 _. 解析 原方程可化为x(x+2)= ,两边平方整理 得,(x+2)(x

18、3+2x2-1)=0,所以(x+2)(x+1)(x2+x-1)=0的 解为x1=-2,x2=-1, ,所以方 程在-1,+)的解为 (经检验x=-1不满足题 意),10.三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直, PC=1,PA=x,PB=y,且x+y=4,则该三棱锥取得最大体 积时,顶点P到底面的距离为_. 解析 由题意知VPABC= 此时 x=y=2;如图,易知:PA=PB=2, 作CDAB于D,且点D是AB的中 点,PQCD于Q,则线段PQ的长为所求,因CD=,三、解答题 11.已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b为常数,且a0)满 足条件：f(x-1)=f(3-x)且方

19、程f(x)=2x有相等实根. (1)求函数f(x)的解析式; (2)是否存在实数m,n(mn),使f(x)的定义域和值域 分别为m,n和4m,4n,如果存在,求出m,n的值,如 果不存在,说明理由. 解 (1)方程ax2+bx-2x=0有等根, =(b-2)2=0,得b=2, 由f(x-1)=f(3-x)知此函数图象的对称轴方程为x=1.,(2) f(x)=-(x-1)2+11,4n1,即n . 而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1， 当n 时,f(x)在m,n上为增函数. 若满足题设条件的m,n存在, 解得m=0或-2,n=0或-2,又mn , m=-2,n=0,这时定义域为-2,0，

20、值域为-8,0. 由以上知满足条件的m,n存在,m=-2,n=0.,12.已知实数a,b,c满足:a+b+c=2,abc=4. (1)求a,b,c中的最大者的最小值; (2)求|a|+|b|+|c|的最小值. 解 (1)不妨设a是a,b,c中的最大值, 即ab,ac. 由题设条件可知,a0,b+c=2-a, 于是b,c是关于x的一元二次方程 (a2+4)(a-4)0,a4.又当a=4,b=c=-1时满足题设 条件:a+b+c=2,abc=4,b+c=-2，0bc1.,a的最小值为4. 因此a,b,c中的最大者的最小值为4. (2)abc0,a,b,c全大于0或一正两负. 若a,b,c全大于0,则由a+b+c=2知,a,b,c中的最大者 小于2,与(1)的结论矛盾. 若a,b,c为一正两负,设a0,b0,c0, 则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2. 由(1)知,a4,2a-26. 又当a=4,b=c=-1时,a,b,c符合题设条件, 且不等式成立. |a|+|b|+|c|的最小值为6.,返回,