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1、第五章 二次型,第一节 二次型,一 元二次型的概念,二 二次型的表示方法,三 二次型的矩阵及秩,一、元二次型,1、定义,的二次齐次多项式,含有个变量,称为二次型,或记为,注,当常数项为实数时，称为实二次型；,当常数项为复数时，称为复二次型,二、二次型的矩阵表示,定义,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形,定义,特别地，称,为二次型的规范形,、二次型 的和式表示,、二次型 的矩阵表示,则二次型 ,其中矩阵为对称矩阵.,令,任一二次型,三、二次型的矩阵及秩,对称矩阵,任一对称矩阵,二次型,一一对应,称为对称矩阵的二次型；,称为二次型的矩阵；,对称矩阵的秩称为二次型的秩,练习 写出下列二次型的对
2、称矩阵,3）复数域上的元二次型,例 1）实数域上的元二次型,2）实数域上的元二次型,第二节实二次型的标准形,设,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的 线性变换，将二次型化为标准形,记,记作,将其代入,有,若|C| 0，则称为非退化线性变换,注 二次型经过非退化线性变换仍为二次型,定义,设,为阶方阵，若存在阶可逆阵，使得,则称合同于,记为,反身性,对称性,传递性,性质,合同矩阵具有相同的秩.,与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.,等价,证明,即 为对称矩阵.,说明,一、配方法,例1 化二次型 为标准型，并求所用的线性变换。,例2 化二次型 为标准型，并求所用的线性变换。,一、正交变换法,用
3、正交变换化二次型为标准形的具体步骤,例2,例3,第三节正定二次型,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,一、惯性定理,定义,在实二次型 的标准形中：,注：由于实对称矩阵与实二次型之间的一一对应，可以类似地 定义实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数与符号差。,正平方项 的项数 p 称为 的正惯性指数；,负平方项 的项数 q 称为 的负惯性指数。 ( q = r - p ，其中 r 是二次型 的秩。)
4、,它们的差： p - q = p - ( r-p ) = 2 p - r 称为 的 符号差。,二、实二次型的规范形,设 是一个实系数二次型，经过适当 的非退化线性变换（包括改变 变量排列次序）， 总可使 变成如下的 标准形：,式中 ( i = 1, 2 , r ) ； r 是 的秩 。,由前面的讨论可知， r 和 p 是由二次型： 唯一确定的 。,由于在实数域中，正数 di 可以开平方，所以对 ( 6.3.6 ) 再作一次 非退化线性变换：,式（6.3.6）就变成：,式（6.3.7）称为实二次型 的规范型。,为正定二次型,为负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,证明,充分性,故,三、正
5、(负)定二次型的判别,必要性,故,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系,3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导,思考题,思考题解答,