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1、第三章 小结与练习,一、维向量,、定义,个数 组成的有序数组,称为一个维向量，其中 称为第 个分量（坐标）.,记作,维向量写成一行称为行向量，,记作,维向量写成一列称为列向量，,、几种特殊向量,实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型， 向量相等.,注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,、矩阵与向量的关系,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,、向量组,、向量空间,设为维非空向量组，且满足,对加法封闭,对数乘封闭,那么就称集合为向量空间.,、向量的运算,向量的运算与采用矩阵的运算规律.,二、向量的线性相关性,1、基本概念,定义 给定向量组,，对于任
2、何一组数,，称向量,为向量组的,一个线性组合（Linear Combination）.,为组合的组合系数（Combination Coefficient）.,定义 设向量组,及向量有关系,则称为向量组的一个线性组合，或称可由向量组,线性表示（Linear Expression）.,称为在该线性组合下的组合系数.,定义 设两向量组,若向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，,则称向量组可以由向量组线性表示.,若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.,向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.,定义 设维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关（Linear
3、Dependent）.,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关（Linear Independent）.,即存在矩阵,三、向量组的秩,、极大线性无关组, 线性相关.,若满足：,设 是一个向量组，它的某一个部分组,、向量组的秩,向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩,记作：() 或, 线性无关；,则称 为的一个极大线性无关组.,、向量组的秩与矩阵的秩的关系,定义,矩阵,的列向量组的秩称为列秩，记为：,的行向量组的秩称为行秩，记为：,定理,结论, ，则 所在行（列）向量组线性无关., ，则的任行（列）向量组线性相关., ，且含有 的 ，则 .,定理,有相同的线性关系.,相同的线性关系
4、是指：,已知维列向量组,向量组,线性表示，且表达式的系数对应相同., 非奇次线性方程有解.,的极大线性无关组.,向量组可由线性表示，则, 若，则线性相关., 线性无关，则., () () ., 等价向量组必有同秩（反之则不然）, 存在矩阵,定理,如果向量组,线性相关，则可由唯一线性表示.,线性无关，而向量组,定理,设向量组,若线性相关,则向量组也线性相关；反之，若,向量组线性无关，则向量组也线性无关.,定理,设向量组,若线性无关，则向量组也线性无关；反之，若,向量组线性相关，则向量组也线性相关.,其中,1、设有矩阵 及 ，且 则,、设 是一组维向量，证明它们线性无关的充要条件是任一维向量能由它
5、们线性表示.,3、设可由 线性表示，证明：表达方法唯一 线性无关.,4、设向量组 能由向量组 线性表示为 ，其中为矩阵，且组线性无关.证明组线性无关的充分必要条件是(）.,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、向量组的相关性论证,四、基础解系的证法,五、解向量的证法,典 型 例 题,研究这类问题一般有两个方法,方法1 从定义出发,整理得线性方程组,一、向量组线性关系的判定,方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定,例 研究下列向量组的线性相关性,证明,证明,二、求向量组的秩,三、向量组的相关性论证,对已知的抽象向量组来推断 其它的向量组的相关性等。,例 证明与基础解系等价的线性无
6、关的向量组 也是基础解系,四、基础解系的证法,分析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组 的基础解 系，需要证明三个结论:,证明,注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,五、解向量的证法,证明,注意(1)本例是对非齐次线性方程组 的解 的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方 程组一定存在着 个线性无关的解，题中 (2)的证明表明了它的存在性,(3)对非齐次线性方程组 ，有时也把 如题中所给的 个解称为 的基础 解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时，才是方程组的解,(2)对齐次线性方程组，当 时， 有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性 表示,第四章 测试题,一、填空题(每小题5分，共40分),二、计算题,(每小题8分，共24分),三、证明题,(每小题8分，共24分),四、向量组 线性无关,问常数 满足 什么条件时,向量组 线性无关,(12分),测试题答案,