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1、一、“凑”微分法,例如：,形式上“凑”成能由不定 积分公式求出的积分!,简单替换,例1.,“凑”微分法:,设法凑成,积分公式,带回 x,实质上是一种简单换元积分法.,例2.,例3.,例4.,例5.,二、换元积分法,例6.,Theorem :,则,证明：,例7.,解：,例8.,解：,例9.,解：,例10.,解：,注：,“凑”微分法与换元积分法比较,“凑”微分法将函数替换为变量：,换元积分法将变量替换为函数：,注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.,例如：,注：积分方法以“化繁为简”为目的.,三、分部积分法,or,作不定积分运算, 即
2、得,or,称之为 分部积分公式.,注1. 不能直接求,改写,转化,解：,例11.,例12.,解：,例13.,例14. 求,解：,例15.,解：,联立, 解之得：,注2. 类似的, 下列函数,的不定积分常可用分部积分法可得.,注3. 使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时使用若 干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成 为求积分的方程式，解之可得所求积分；有时应特别注 意如下情形：,将不定积分视为一个数进行运算是错误的, 不定积分是 原函数的集合. 此时,使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式, 例如：,初等函数的导数仍是初等函数, 但求不定积分却不那么 简单, 有些不定积分不能
3、用初等函数来表示, 如,是非初等函数, 即,初等函数的原函数不一定是初等函数.,（多项式）,四、有理函数积分法,1. 代数的预备知识,设P(x)与Q(x)都是多项式, 则有理函数的一般形式是,例如：,根据代数分项分式定理, 有,方法一：将()式右端通分，得,方法二：,使用“赋值法”简化对待定系数的求解.,例16.,解：,比较两端分子的同次幂系数, 得,例16.,解：,2. 有理函数的不定积分,In fact,（分部积分法）,注2. 有理函数总存在初等函数的原函数.,注1.,例16.,解：,例17. 求,解：,例18. 求,解：,五、其他类型的不定积分,（一）简单无理函数的不定积分,原则：,简单
4、无理函数,变量替换,有理函数,符号 R (u, v) 表示以 u 和 v 为变量的有理函数.,积分,有理化,有理化求解.,例1.,解：,例2.,解：,例3.,解：,例4.,解：,分以下情况考虑：,此积分形式同：,或,例5.,解：,此积分形式同：,或,例6.,解：,（二）三角函数的不定积分,就有,这样就把积分有理化了. 从而三角函数 R(sinx,cosx) 存 在初等函数的原函数.,例7.,解：,例8.,解：,关于 R(sinx,cosx) 具有某种性质时的一些特殊变量替换：,例9.,解：,例10.,解：,例11.,解：,例12.,解：,a) 含有 sin2x 或 cos2x 的奇次幂，此时可
5、由(1)求之；,将被积函数化简, 其结果：,b) 含有sin2x 或 cos2x 的偶次幂，用上述三角公式化简, 化成含 sin4x 与 cos4x 的函数，依次类推.,例13.,解：,解：,利用三角函数的积化和差公式可解.,例14.,解：,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,1、三角函数有理式的积分,五、其它形式的不定积分,（万能置换公式）,例7 求积分,解,由万能置换公式,例8 求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公式,令,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,例9 求积分,解,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10 求积分,解 令,2. 简单无理函数的积分,例11 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,例12 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,六、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),合理选择 ，正确使用分部积分公式,