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1、,一、函数的概念,第一节 函 数,二、函数的特性,三、反函数与复合函数,四、初等函数,五、建立函数关系举例,一、函数的概念,1 函数的定义,定义：设D是一个实数集，,如果按照某种 确定的法则（关系）f，都有惟一的一个实数 与之对应，,则称f为定义在D上的函数，记作,定义域,因变量,自变量,f ( D ) 称为值域。,函数的两个要素：定义域、对应法则,定义域的确定：,使表达式及实际问题都有意义的自变量集合,例1 求函数 的定义域。,解：要使函数有意义，须有,解得,故该函数的定义域为,函数图象:,对应法则的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,2 分段函数,分段函数是指在自变量的不同取值范围内，
2、 用不同表达式表示的函数。,如： 绝对值函数,定义域,值 域,又如：符号函数,以及取整函数,其中 表示不超过x 的最大整数。请大家画出它们的图形。,例2 已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,二、 函数的几种特性,设函数,且有区间,1 有界性,使,称,使,称,有界函数.,在 I 上有界.,为,为,如右图：,a,b,时,称,为I上的单调增函数 ;,称,为I 上的单调减函数 .,2 单调性,3 奇偶性,且有,若,则称 f (x)为偶函数;,若,则称 f (x)为奇函数.,4 周期性,且,如果,则称,为周期函数 ,称l为周期,最小正周期).,(一般指,1 反函数
3、的概念及性质,定义：设y=f（x）为定义在D上的函数， 其值域为A，若对于A中的每个数y，在数集D 中都有唯一的一个数x，使 f（x）=y，则x是y 的函数，此时称其为函数y=f（x）的反函数 ，记为,其定义域为A，值域为D。,x=f -1（y）,两者图形相同。,三、反函数与复合函数,（2）性质:,考查,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直,指数函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,如：,函数,由,复合而成。,函数,由,复合而成。,2 复合函数,但函数链,复合函数 .,例如, 函数链:,可定义复合函数,却不能构成,四 初等函数,1 基本初等函数,
4、幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数等六类函数统称基本初 等函数。,常值函数、,2 初等函数,由基本初等函数,经过有限次四则运算和,复合步骤所构成、,并可用一个式子表示的函数 ,称为初等函数 .,否则称为非初等函数 .,如：,可表为,故为初等函数.,再如前面介绍的复合函数、取整函数等均为非初等函数，他们的图象分别为：,并画出图象.,解:,此函数的定义域为,五、函数关系举例,例4 有一个长方形铁皮，相邻两边的长分别为a，b，从它的四个角截去相同的小方块,解：如图，,a,b,，折成一个无盖的盒子，求它的容积v与高x之间的函数关系。,x,则折成盒子,的高为x，,底面两边长分别为,x,a-2x，b-2x。,a-2x,b-2x,则容积为,20,10,15,解：,当 时，,电压u从0直线升到15，故易知此直线方程为,当 时，,电压u从15直线降至0，,此直线方程为,故易知,综上，u与t之间的函数关系为,最后，我们来介绍以后经常会用到的概 念,邻域,六、邻域,以 为中心，,长度为 的开区间,称为 的 邻域，,如图：,五、小结,定义域 对应法则,2. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,3. 初等函数的结构,1. 函数的定义及函数的二要素,