蒙特卡罗方法解粒子输运问题.ppt

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1、2.4 蒙特卡罗方法解粒子输运问题,屏蔽问题模型 直接模拟方法 简单加权法 统计估计法 指数变换法 蒙特卡罗方法的效率,2.4 蒙特卡罗方法解辐射屏蔽问题,辐射(光子和中子)屏蔽问题是蒙特卡罗方法最早广泛应用的领域之一。本章主要从物理直观出发,说明蒙特卡罗方法解决这类粒子输运问题的基本方法和技巧。而这些方法和技巧对于诸如辐射传播、多次散射和通量计算等一般粒子输运问题都是适用的。,屏蔽问题模型,在反应堆工程和辐射的测量与应用中,常常要用一些吸收材料做成屏蔽物挡住光子或中子。我们所关心的是经过屏蔽后射线的强度及其能量分布,这就是屏蔽问题。 当屏蔽物的形状复杂,散射各向异性,材料介质不均匀 , 核反

2、应截面与能量、位置有关时,难以用数值方法求解,用蒙特卡罗方法能够得到满意的结果。,粒子的输运问题带有明显的随机性质,粒子的输运过程是一个随机过程。粒子的运动规律是根据大量粒子的运动状况总结出来的,是一种统计规律。蒙特卡罗模拟,实际上就是模拟相当数量的粒子在介质中运动的状况,使粒子运动的统计规律得以重现。不过,这种模拟不是用实验方法,而是利用数值方法和技巧,即利用随机数来实现的。,屏蔽问题模型,为方便起见,选用平板屏蔽模型,在厚度为 a,长、宽无限的平板左侧放置一个强度已知,具有已知能量、方向分布的辐射源 S 。求粒子穿透屏蔽概率(穿透率)及其能量、方向分布。穿透率就是由源发出的平均一个粒子穿透

3、屏蔽的数目。 同时,假定粒子在两次碰撞之间按直线运动 , 且粒子之间的相互作用可以忽略。,屏蔽问题模型,直接模拟方法,直接模拟方法就是直接从物理问题出发,模拟粒子的真实物理过程。 状态参数与状态序列 模拟运动过程 记录结果,粒子在介质中的运动的状态,可用一组参数来描述,称之为状态参数。它通常包括:粒子的空间位置 r, 能量 E 和运动方向,以 S( r , E , ) 表示。 有时还需要其他的参数,如粒子的 时间 t 和附带的权重W ,这时状态参数 为 S( r , E , , t ,W ) 。 状态参数 通常要根据所求问题的类型和所用的方法来确定。 对于无限平板几何,取 S( z , E ,

4、 cos) 其中 z 为粒子的位置坐标,为粒子的运动方向与 Z 轴的夹角。 对于球对称几何 , 取 S( r , E , cos) 其中 r 表示粒子所在位置到球心的距离,为粒子的运动方向与其所在位置的径向夹角。,状态参数与状态序列,粒子第 m 次碰撞后的状态参数为 或 它表示一个由源发出的粒子,在介质中经过 m 次碰撞后的状态,其中 rm :粒子在第 m 次碰撞点的位置 Em :粒子第 m 次碰撞后的能量 m:粒子第 m 次碰撞后的运动方向 tm :粒子到第 m 次碰撞时所经历的时间 Wm :粒子第 m 次碰撞后的权重 有时,也可选为粒子进入第 m 次碰撞时的状态参数。,状态参数与状态序列,

5、一个由源发出的粒子在介质中运动,经过若干次碰撞后,直到其运动历史结束(如逃出系统或被吸收等)。假定粒子在两次碰撞之间按直线运动,其运动方向与能量均不改变,则粒子在介质中的运动过程可用以下碰撞点的状态序列 描述: S0 ,S1 ,SM-1 ,SM 或者更详细些 , 用 来描述。这里 S0 为粒子由源出发的状态,称为初态,SM 为粒子的终止状态。M 称为粒子运动的链长。 这样的序列称为粒子随机运动的历史,模拟一个粒子的运动过程,就变成确定状态序列的问题。,状态参数与状态序列,为简单起见,这里以中子穿透均匀平板的模型来说明,这时状态参数 取 S( z , E , cos)。 模拟的步骤如下: (1)

6、 确定初始状态 S0 : 确定粒子的初始状态,实际上就是要从中子源的空间位置、能量和方向分布中抽样。设源分布为 则分别从各自的分布中抽样确定初始状态。 对于平板情况, 抽样得到 z00。,模拟运动过程,(2) 确定下一个碰撞点 : 已知状态Sm-1,要确定状态Sm,首先要确定下一个碰撞点的位置 zm。在相邻两次碰撞之间,中子的输运长度 l 服从如下分布: 对于平板模型,l 服从分布: 其中,t 为介质的中子宏观总截面, 积分 称为粒子输运的自由程数, 系统的大小通常就是用系统的自由程数表示的。,模拟运动过程,显然,粒子输运的自由程数服从指数分布, 因此从 f ( l ) 中抽样确定 l,就是要

7、从积分方程 中解出 l。 对于单一介质 则下一个碰撞点的位置 如果 zma,则中子穿透屏蔽,若 zm0, 则中子被反射出屏蔽。这两种情况,均视为中子历史终止。,模拟运动过程,(3) 确定被碰撞的原子核 : 通常介质由几种原子核组成,中子与核碰撞时,要确定与哪一种核碰撞。设介质由A、B、C 三种原子核组成,其核密度分别为NA、NB、NC,则介质的宏观总截面为: 其中 分别为核A、B、C 的宏观总截面。其定义如下: 分别表示()核的宏观总截面、核密度和微观总截面。,模拟运动过程,由于中子截面表示中子与核碰撞可能性的大小,因此,很自然地,中子与A、B、C 核发生碰撞的几率分别为: 利用离散型随机变量

8、的抽样方法,确定碰撞核种类:,模拟运动过程,(4) 确定碰撞类型 : 确定了碰撞的核(比如B核)后,就要进一步确定碰撞类型。中子与核的反应类型有弹性散射、非弹性散射、(n,2n)反应,裂变和俘获等,它们的微观截面分别为 则有 各种反应发生的几率分别为,模拟运动过程,利用离散型随机变量的抽样方法,确定反应类型。 在屏蔽问题中,中子与核反应常只有弹性散射和吸收两种类型,吸收截面为: 这时,总截面为: 发生弹性散射的几率为: 若 ,则为弹性散射;否则为吸收,发生吸收反应意味着中子的历史终止。,模拟运动过程,(5) 确定碰撞后的能量与运动方向: 如果中子被碰撞核吸收,则其输运历史结束。如果发生弹性散射

9、,需要确定散射后中子的能量和运动方向。中子能量 Em 为: A是碰撞核的质量与中子质量之比,一般就取元素的原子量;C 为质心系中中子散射前后方向间的夹角,即偏转角。 可从质心系中弹性散射角分布 fC(C) 中抽样产生。实验室系散射角L的余弦L为:,模拟运动过程,如果给出实验室系散射角余弦分布 fL(L),可直接从 fL(L)中抽取L,此时能量Em与L的关系式为: 确定了实验室系散射角L后, 再使用球面三角公式 确定cosm : 其中为在0,2上均匀分布的方位角。,模拟运动过程,至此,由Sm-1完全可以确定Sm。 因此,当中子由源出发后,即S0确定后,重复步骤 (2)(5),直到中子游动历史终止

10、。于是得到了一个中子的随机游动历史 S0 ,S1 ,SM-1 ,SM,即 也就是模拟了一个由源发出的中子的运动过程。,模拟运动过程,以上模拟过程可分为两大步:第一步确定粒子的初始状态S0,第二步由状态Sm-1来确定状态Sm。这第二步又分为两个过程:第一个过程是确定碰撞点位置zm,称为输运过程;第二个过程是确定碰撞后粒子的能量及运动方向,称为碰撞过程。对于中子而言,碰撞过程是先确定散射角,进而确定能量和运动方向;而对于光子,碰撞过程是先确定能量,再确定散射角以及运动方向。重复这两个过程,直至粒子的历史终止。 这种模拟过程,是解任何类型的粒子输运问题所共有的,它是蒙特卡罗方法解题的基本手段。,模拟

11、运动过程,在获得中子的随机游动历史后,我们要对所要计算的物理量进行估计。对于屏蔽问题,我们要计算中子的穿透率。考察每个中子的随机游动历史,它可能穿透屏蔽(zMa),可能被屏蔽发射回来(zM0),或者被吸收。设第 n 个中子对穿透的贡献为n ,则 如果我们共跟踪了N 个中子,则穿透屏蔽的中子数为:,记录结果,则穿透屏蔽概率的近似值为: 它是穿透率的一个无偏估计。 我们称这种直观地模拟过程和估计方法为直接模 拟方法。在置信水平 10.95 时, 的误差为: 其中 为n的均方差,由于n是一个服从二项分布的随机变量,所以 或,记录结果,为得到中子穿透屏蔽的能量、角分布,将能量、角度范围分成若干个间隔:

12、 其中Emax,Emin分别表示能量的上、下限,对于穿透屏蔽的中子按其能量、方向分间隔记录。设一穿透屏蔽的中子能量为EM,其运动方向与Z轴夹角为M,若能量EM属于第 i 个能量间隔Ei,角度M属于第 j 个角度间隔j,则分别在第 i 个能量计数器及第 j 个角度计数器中加 “1“。,记录结果,跟踪 N 个中子后,则 分别为穿透中子的能量分布和角分布。其中N1,i 和 N2,i 分别为第 i 个能量和第 j 个角度间隔的穿透中 子数。归一后分别为:,记录结果,简单加权法,从模拟物理过程来说,直接模拟法是最简单、也是最基本的方法。但是,在直接模拟法中,不管中子在屏蔽中经过多少次碰撞,只要在介质中被

13、吸收,对穿透的贡献就为零;因此在所跟踪的粒子中绝大部分都对穿透没有贡献。而在许多屏蔽问题中,穿透率的数量级在10-6到10-8。进一步,如果我们要求穿透率达相对误差小于1,即 那么,N 要大到惊人的数量级1010到1012。显然,这时用直接模拟法计算不是很有效。,屏蔽物一般是由吸收强的介质组成,因此在每次碰撞时,粒子很有可能被吸收而停止跟踪。现在改变 模拟方法,在判断碰撞类型 时,可以认为粒子 的 部分是弹性散射,而其余部 分被吸收,即人为地把中子分成两部分,一部分弹性散射,一部分吸收。弹性散射这部分继续跟踪;吸收部分则停止跟踪。也就是说,我们利用中子权重的变化来反应继续弹性散射的部分。这就是

14、简单加权法的基本思想。,简单加权法,显然,在加权法中中子的权重W 已成为中子状态参数的组成部分。这时,中子历史成为: 对源中子,取W0=1。经过碰撞中子权重的变化为: 因子 称为尚存因子。,简单加权法,这时,第 n 个中子对穿透的贡献为: 如果我们共跟踪了N个中子,则穿透率P的无偏估计为: 类似地,可以得到穿透中子的能量分布和角分布。只不过在对各计数器进行的加 “1“ 操作改为加WM。,简单加权法,简单加权法的方差估计为: 与直接模拟法相比,有 注意到n1,有 这表明简单加权法的方差小于直接模拟法的方差。这是因为加权法比直接模拟法减少了一次随机抽样。,简单加权法的方差,加权法的思想在蒙特卡罗方

15、法中用途很广泛。例如,对于具有中子增殖反应,如裂变,(n,2n),(n,3n) 反应的中子输运问题,一个中子与核发生碰撞后,根据反应的类型会产生不同数量的次级中子,每个次级中子又会产生新的次级中子,这样链锁反应 下去,使得用直接模拟法模拟每一个中子是非常困难的。这种情况可以利用加权法来处理。,权重方法的其它应用,中子与核发生碰撞 后,产生的次级中子平均数为: 这里f 为裂变次级中子数。于是,碰撞后的权重为: 而决定碰撞类型的几率分别为: 其中 加权法的思想,还可以应用到连续分布情况和偏倚抽样的问题,权重方法的其它应用,统计估计法,加权法虽然改进了直接模拟法,但它同样只关心中子是否穿透屏蔽这一信

16、息,因此对每一个中子历史的信息利用得很不充分。统计估计法能够较多地利用中子的历史信息,因而能得到更好的结果。,一个中子,可能在介质内不发生碰撞而直接穿透屏蔽,也可能在介质内发生一次碰撞后再穿透屏蔽,或经过二次碰撞穿透屏蔽,等等, 这些事件是互不相 容的,因此穿透概 率P 可表示为: 其中Pm 是中子恰好经过 m 次碰撞而穿透屏蔽的概率。这表明,可以用求 Pm (m=0,1, ) 的方法得到P。这样,中子对穿透概率的贡献就不只限于末次碰撞了。,统计估计法,设中子的历史为: 根据该中子的历史,我们可以估计出中子恰好经 过 m 次碰撞后,穿透屏蔽的部分 显然,具有初态 S0( 0, E0, cos0

17、,W0 ) 的中子,未经碰撞直接穿透的部分是:,统计估计法,类似地,在经过了第 m 次碰撞后的中子具有状态 Sm( zm, Em, cosm,Wm ) ,其可能穿透的部分,正好是一个中子恰好经过 m 次碰撞穿透的部分: 这里的这种估计技巧,由于是对每次碰撞后的状态,求其后未经碰撞直接穿透的贡献,因此该方法也称为最后自由飞行估计。,统计估计法,于是得到该中子对穿透的贡献: 如果我们共跟踪了N个中子,则穿透率P的估计为: 其方差估计为:,统计估计法,在直接模拟方法中,相对误差为 其中 为与置信水平 1相应的量。 如果构造一个新的概率模型,使得该模型的穿透率P*与原模型的穿透率P之间存在关系: 使用

18、直接模拟方法 , 相对误差为,指数变换法,如果令*,即 这意味着,达到同样的相对误差,跟踪粒子的数目缩小 K 倍,从而减少 K 倍的计算量。指数变换法就是构造一个新的概率模型的一个有效方法。,指数变换法,构造如下伪过程:宏观总截面为 散射截面仍为el(E)。其中 Emin、Emax 分别为能量的下限和上限,为粒子的运动方向与 Z 轴的夹角。可以证明这个伪过程的穿透概率P* 与原过程的穿透概率P之间有如下关系 : 显然, 。因伪过程与原过程的结果相差 e 指数,所以该方法称为指数变换法。,指数变换法,分析一下伪过程的定义 , 可以明显看出P*增大的原因。当 cos=1 时,粒子运动方向与 Z 轴

19、方向一致,其截面最小,粒子沿 Z 轴方向输运的距离较远;而当 cos=1 时,粒子运动方向背向 Z 轴方向,这时其截面最大,粒子向后输运的距离较短。因此,截面变换的结果是加强了粒子向前运动的能力,因而使穿透概率增大。 伪过程的构造与几何形状及所考虑的问题有关。比如,对球形几何,使用指数变换法求穿透概率时 , 所构造的宏观总截面与平板屏蔽的情况不同,粒子的模拟方法也较复杂。,指数变换法,蒙特卡罗方法的效率,衡量一种蒙特卡罗技巧的好坏,除了看其方差大小外,还要看其所需费用(计算时间)多少,即从该技巧的效率 Ef(方差与费用乘积的倒数)全面考虑: 其中2 为方差,T 为所需费用。Ef 大时,所用方法的效率高;否则,效率低。 在一般情况下,有些方法虽然减小了方差,却增加了费用。例如,加权法、统计估计法虽然较直接模拟方法减小了方差,却使每个粒子的运动链长增加,或记录贡献的计算时间增加。因 此,不能认为方差小的方法一定好,要从方法的效率全面考虑。在有些情况下,直接模拟方法仍然是一个被广泛使用的方法。,

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