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1、一、可分离变量的微分方程,10.2 一阶微分方程的分离变量法,称为一阶微分方程.,可分离变量的微分方程.,例1 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？,可分离变量方程求解步骤:,第一步，分离变量,第二步，对上式两端分别积分：,得到通解,两端分别积分,两端分别积分,于是原方程的通解为,两端分别积分,解 分离变量：,故初值问题的特解为,解 这是可分离变量方程，分离变量：,两端分别积分：,整理得：,故所求的通解为,都是方程的解，而且 包含在通解中， 但 不包含在通解中。,例6 某公司t年净资产有W(t)(百万元),并且资产本身以每年5%的速度连续增长,同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工
2、工资. (1) 给出描述净资产W(t)的微分方程; (2) 求解方程,假设初始净资产为W0; (3) 讨论在 三种情况下,W(t)变化的特点.,解 (1) 利用平衡法，即由 净资产增长速度 资产本身增长速度职工工资支付速度 得到所求微分方程,(2) 分离变量，得,两端分别积分：,整理得：,(3) 由通解表达式 可知， 当 百万元时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产； 当 百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在600百万元不变； 当 百万元时，公司净资产将按指数不断增大.,二、齐次方程,称为n次齐次方程.,2.定义,1.定义,的微分方程称为齐次方程.,3.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,例7 求微分方程 的通解,解 把原方程化为,得通解为,整理得,例8 求微分方程 的通解， 并解其初值问题,解 把原方程化为,得通解为,代入初值条件,故所求初值问题的解为,解 所给方程为齐次方程，整理得,三、可化为齐次方程的方程,为齐次方程,1.定义,2.解法,否则为非齐次方程.,两边积分,得,整理得,分离变量得,两边积分得,