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1、异面直线所成的角,一.定义:直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点 O ,分别引直线aa , b b。 我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做 异面直线a和b所成的角.,说明：1 a和b所成的角的大小与空间点的选取无关. 2 实质：把a和b平行移动使之相交,把抽象的空 间位置用平面内具体的角来体现. 3 范围:(0，,2.异面直线所成的角的求法:,例1：如图正方体AC1， 求异面直线AB1和CC1所成角的大小 求异面直线AB1和A1D所成角的大小,解: CC1/BB1 AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 在ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 异面直线AB1和C
2、C1所成的角是450 。,分析 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解,在面A1B1CD中， A1B1 CD A1D/B1C AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 在AB1C中，AB1和CC1所成的角是600 异面直线AB1和A1D所成的角是600 。,求角的步骤：,做（利用定义画平行线，移到同一平面） 证（简单论证）,3. 求（解平面图形，通常将角置于一个三角形中，利用平面几何知识解决）,求异面直线所成角的步骤有哪些？,想一想,正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点，如图，画出下面各题中指定的异面直线所成的角,A,B
3、,C,D,D1,B1,A,B,C,D,B1,A,B,D,B1,P,D1,D1,C,例2、长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,在A1C1E中，,由余弦定理得,A1C1与BD1所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的方体B1F，,在空间四边形S-ABC中，SABC且 SA=BC, E,
4、F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）,C,D,(A)300 (B)450 (C)600 (D)900,练习1,B,G,G,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法） （2）补形,小结：,1、求异面直线所成的角要认识到：空间的角可以用平面的 角来定义，体现了立体几何中的降维思想。,2、求角的方法：解平面图形（一般为三角形） 用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,90o,思考：,已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。,解：,如图，取A1B1的中点E, 连BE, 有BE A1M,取CC1的中点G,连BG. 有BG C1N,则EBG即为所求角。,BG=BE= a, F C1 = a,由余弦定理，,cosEBG=2/5,取EB1的中点F，连NF,有BENF,则FNC为所求角。,想一想：,还有其它定角的方法吗？,在EBG中,再见,