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一. 无穷积分的性质,2 无穷积分的收敛性质与判别,收敛的充要条件是:,性质,性质2,其中右边第一项为定积分.,注,性质说明：绝对收敛的级数自身一定收敛,我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛,性质3,但自身收敛的级数, 不一定绝对收敛,二. 比较判别法,1、定理11.2 （比较准则）,2、推论1,3、柯西判别法,推论2,推论3,则有:,(i)当,时,收敛;,(ii)当,时,发散.,定理11.3 (狄利克雷判别法),三. 狄利克雷达判别法与阿贝尔判别法,证:,由条件设,任给,由于,因此存在,当,时,有,又因,为单调函数,利用积分第二中值定理,对于任何,存在,使得,于是有,根据柯西准则:,收敛.,定理11.4 (阿贝尔判别法),例1,讨论,与,的收敛性.,解,(i),当,时,绝对收敛.,因为,而,当,时收敛,故由比较法则推知,收敛.,(ii),当,而,当,时单调趋于,故由狄利克雷判别法推知,当,时总是收敛的.,又由于,其中,满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而,是发散的,因此当,时该无穷积分不是绝对收敛的.,所以它是条件收敛的.,例2. 讨论下列无穷积分的收敛性，,解(1)：,根据柯西判别法,解()：,根据柯西判别法,例3,解,根据比较原则，,例4,解,根据极限判别法，所给反常积分发散,例5,解,根据极限判别法，所给反常积分发散,证,即,收敛.,例5,解,所以所给反常积分收敛.,