一概述.ppt

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1、静定结构的位移计算,一、概述,Displacement of Statically Determinate Structures,1、假设,线弹性 (Linear Elastic), 小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint),叠加原理适用（principle of superposition),2位移的种类, A , A C,（A结点的水平线位移，转角）,（结点C左右截面的相对转角）,1) 角位移 2) 线位移 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）,A B,A B,A,（A、B两点的相对位移=A+B）,（A截面的转角）,1) 荷载。由

2、于材料的应变而产生位移 2) 温度变化。热胀冷缩而产生位移 3) 支座移动。地基沉降 4) 材料的干缩、制造误差,3使结构产生位移的因素,1) 验算结构的刚度。刚度的大小是以变形或位移来度量的,4计算结构位移的目的,（架设桥梁要预先起拱）,3) 为分析超静定结构作准备。,2) 为制作、架设结构等提供依据,1）结构的变形或位移与其作用力成正比,5线弹性体系的特征,P1=1,K ,若单位力P1=1作用下产生的位移，则力P作用下在K处产生的位移为P,2）结构的变形或位移服从叠加原理,P1 P2 Pi Pn K ,=,式中，K i 表示Pi=1时在K处产生的位移。,P1,梁上再加荷载P2 ，则P1是恒

3、力，继续作功W2=P112,11,1. 虚功的概念,在W1中，位移11是由P1引起的，W1称为实功Real Work ； 在W2中，位移12是由P2引起的（也可由其它原因引起，例如，支座移动），W2称为虚功Virtual Work 。,变形体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所作的虚功总和W外，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形上所作的虚功的总和W变 。,2变形体系的虚功原理的表述,用公式表示为：W外=W变,须注意的是:作虚功的力与位移没有关系-位移不是由该力引起,虚功W2=P112,W外与W内的含义,考虑图示结构在支座移动及

4、荷载共同作用下A点的位移P,微段dW变=,W变=,W外=W变,这就是求位移的一般公式,3、荷载作用下位移具体计算公式,若计算结果为正，表示单位荷载所作虚功为正，故所求位移的实际指向与所假设的单位荷载P的指向相同，为负则相反。,4 、特殊情况,=,（2）静定体系仅发生支座移动时（此时，从而无W变）,（3）桁架结构,（4）梁和刚架结构（忽略轴向及剪切变形）,这就是刚体的虚功原理,（1）体系无支座移动时：,（5）组合结构,式中，对受弯杆只计算弯曲变形虚功。,4虚功原理的说明,1). 虚功原理适用于线弹性、 弹塑性、塑性，静定结构、超静定结构， 2). 适用于由荷载、温度变化、支座移动、制造误差、材料

5、收缩等情况。 3). 求位移时，需在拟求位移处作用与位移方向一致的单位力。,从公式中可见，计算位移时只须写出两套内力的表达式。 MP、NP、VP表示荷载作用下的内力。,5应用例题,求：1）C点的竖向位移 2）结点B的转角,解：,1）荷载作用下各杆的弯矩表达式（各杆坐标如图中所示）,x,x,BC杆：MP（X）=2X（规定上侧受拉为正），0X4,AB杆：MP（X）=8 （规定左侧受拉为正），0X4,B x x,*为求C点的竖向位移，在C点作用竖向单位力P=1,2）虚拟状态下各杆的弯矩表达式（各杆坐标同1）中规定）,则，,（正号表示位移方向与虚拟力方向一致，向下）,=,*为求结点B的转角，在结点B处

6、作用单位力矩M=1,BC杆：M（X）=0,AB杆：M（X）=1,（正号表示位移方向与虚拟力方向一致，顺时针）,x x,虚功原理表述：,虚功原理怎么表达？,1）要做虚功，必须保证力与位移（变形）没有关系,2）建立 2 个系统：1个力系统，一个位移系统,3）求位移时： 位移系统就利用问题产生的位移；力系统另外建立。,小结：,求C点的竖向位移,2、位移（变形）系统的建立,1、力系统的建立,荷载引起C点的位移为 支座位移为 0,满足：W外=W变,考虑虚设力系做虚功,对受弯杆件，忽略轴向变形与剪切变形,对桁架结构，,1图乘法解决的问题,2应用图乘法的条件,3图乘公式推导,=,=,=,就是图形相乘公式,=

7、,4应用公式（3）应注意的问题,2) yC必须取自沿的整个长度内是一直线变化的图形，是折线，要分段图乘。,3) 由于图乘过程中需计算图形的面积及形心，要熟记以下四个基本图形。,h =2Lh /3 5L/8 3L/8 标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载的半图）,h =Lh /3 L/4 3L/4 标准二次抛物线 （悬臂梁承受均布荷载）,4）梯形图形的处理,=,a,=,=,或,5）非标准二次抛物线的处理,EI=常数，求CV 及 截面D的转角D,=,+,3）求C竖向位移,+,4、求D截面的转角,练习题:作出变形图样子,关键点(截面)的位移估计,例2刚架的位移计算,EI=常数，求DH,2）图乘过程,

8、+,例题3,求铰D两侧杆端的相对转角,解：1、做荷载作用下的M图,2、做单位力作用下的弯矩图,3、图乘求位移,例题4,求D点竖向位移,解：1、做荷载作用下的M图,2、做单位力作用下的弯矩图,3、图乘求位移,练习题1,求D结点的转角,解：1、做荷载作用下的M图,2、做单位力作用下的弯矩图,3、图乘求位移,练习题2,求D水平位移,练习题3,求F点的水平位移,解：1、做荷载作用下的M图,20 kN/m,2、做单位力作用下的弯矩图,3、图乘求位移,例5组合结构的位移计算,已知，A=,求B点的水平位移BH,，,解：,2）图乘过程,=,图,-1 P=1 6 6,20 -80 480 160 MP图,D E

9、 B C A,CD杆图乘办法：,20 45 160,6,测试题,1、求A点的竖向位移,2、试作变形图,取整体为研究对象，VB=4kN，向上,B,C,D,、结点的转角判断,结点转角为逆时针，水平、竖向位移均为,要作变形图，一般要确定所有结点的位移,、悬臂端的位移、转角判断,、端的水平位移断,、点的竖向位移、转角,5、G点的竖向位移、转角,G,G,例5桁架结构的位移计算,A D 4 m B C 8 kN,64=24m,EA=常数，求：1）B点的竖向位移 2）CD杆的转角 3）AB、BC杆的相对转角ABC,2）计算B点的竖向位移时，在B点作用P=1，求出各杆的轴力,解：1）计算桁架在荷载作用下的各杆

10、内力NP,3）计算CD杆的转角时，,D,C,作用力偶，如图，计算各杆的轴力,4）计算AB、BC杆的相对转角ABC时，,例6具有弹簧支座（铰）结构的位移计算,已知，KM= 为弹簧铰B的刚度, KN= 为弹簧支座C的刚度。,求，C点的竖向位移,计算含弹簧约束的结构的位移时，与无弹簧约束的结构的位移计算方法相同，只是在位移计算公式右边增加虚拟状态的弹簧约束力在实际状态的弹簧约束位移上所作的虚变形功即可。,KM,KN,（向下）,注：,因而弯矩L要在荷载引起的变形上作虚功 。,1）虚拟力P=1作用于结构C点时，B处弹簧有弯矩L；,荷载作用下，B处弹簧有变形（转角） ，,3）上述两虚功正负号规定如下 力方

11、向与变形同向，取正号；反之，取负号。,2）同样，虚拟力P=1作用于结构C点时，C 处弹簧有约束反力1；,因而，约束反力1要在该伸长上作虚功,荷载作用下，C 处弹簧有伸长 ，,注：,注：,1,1,例7具有无限刚性杆结构位移的求法,无限刚性杆不产生变形，因而其变形虚功为零，计算位移时不考虑该杆,2）,=,（向下）,例8弹簧支座与二力杆（链杆）的等效关系。,图2中的链杆可等效为图1弹簧支座。,由虎克定律，对链杆：若受拉（压）力N，则其伸长（缩短）,由刚度的定义，链杆的抗拉（压）刚度K=,图1中的弹簧也是抗拉（压）装置，故，取,K=,那么，图1、图2其余杆的受力及变形就完全一样。,2. 制造误差因素也

12、不引起内力，但产生结构其它杆件（结构）的刚体位移。,体系变为机构（可变体系），A、B两点的位置自由，且没有结构内力。AB杆的长或短些，只是A、B两点距离的改变，不会引起内力。 同理，其余杆由于温度改变和制造误差因素都将不产生内力。,1. 静定结构由于温度改变不引起内力，只产生杆件的变形；,例如，桁架结构中，,如果没有AB杆？,3温度改变引起的杆件变形计算,取微元如图,高度线性变化（平截面假设）。,即，,即，,=,1) 等号右第一项：若虚力使微元体轴向受拉（压），温度t0又使该微元体伸长（缩短），则该项取正号；其它情况取负号。 2) 等号右第二项：若虚力使微元体下侧（上侧）受拉，温度 t2t1（

13、t2t1） 则，该项取正号，其余情况取负号。,注：等号右各项正负号的确定方法,例1图示刚架施工时混凝土的温度为300，冬季外侧温度为-200 ，内侧温度为100，各杆截面相同，均为矩形截面，截面高度为h ，材料的线膨胀系数为。杆长都是L，求刚架在冬季温度时B点的水平位移。,6计算例题,-500 -500 -200,1）外侧温度变化-500 ，内侧温度变化-200,，,2）t0=,解：,3）建立虚拟力状态如图。,A B,L L,4）,=,=,运用虚功原理，注意以下两方面,解：,1）变形状态 下弦各杆各缩短2cm，其余杆无变形,2）虚设力状态,在C结点作用单位力,+1/2 +1/2 +3/2 +3

14、/2 +1/2 +1/2,3）让虚力状态在变形状态上作虚功，满足：W外=W变 ，得：,（实际向上）,求出各杆轴力（关键是下弦各杆的轴力）,即，刚体的虚功原理,3计算例题,支座移动不引起结构内力（因而所有杆件不变形），只产生 结构位移,2.运用变形体的虚功原理时，变形虚功为零，因而计算公式为：,解：1）虚设力系，只需求支座反力,2）,例2AB杆温度升高t0，BC杆由于制造误差缩短。试求ABC的相对转角,B t0 t0 L A C,L L,解：,1）先计算温度改变时产生的角度变化,由于AB杆两侧温度相同，只产生轴向伸长，故，作如图的虚拟力,2）再计算制造误差产生的角度变化,3）叠加上述转角，得两种

15、情况共同作用下的角度变化,七、互等定理,力系统PI在由PJ引起的位移与变形上应用变形体的虚功原理,反之,力系统PJ在由PI引起的位移与变形上应用变形体的虚功原理,以上两式的右边相同，得功的互等定理：,3. 力与位移互等定理-力产生的力与位移产生的位移上作功,-由功的互等定理得来,例题：,已知图（a)示在500kN作用下各截面的竖向位移，求图（b）所示荷载作用下 b 截面的竖向位移。,静定结构位移计算小结,一、基本概念 1. 位移的种类 *角位移 *线位移 *相对位移（相对角位移，相对线位移）,2使结构产生位移的因素 *荷载。由于材料的应变而产生位移 *温度变化。热胀冷缩而产生位移 *支座移动。

16、地基沉降 *材料的干缩、制造误差,3计算结构位移的目的 *验算结构的刚度。 *为制作、架设结构等提供依据 *为分析超静定结构作准备,4线弹性体系的特征 *结构的变形、位移及内力与其作用力（荷载）成正比 *结构的变形或位移服从叠加原理,二、变形体的虚功原理,P1,梁上再加荷载P2 ，则P1是恒力，继续作功W2=P112,11,1. 虚功的概念,在W1中，位移11是由P1引起的，W1称为实功Real Work ； 在W2中，位移12是由P2引起的 ，W2称为虚功Virtual Work 。,2、变形体的虚功原理的表述,W外=W变,3、实现过程,1）、力系统的建立,2）、位移（变形）系统的建立,荷载引起C点的位移为 支座位移为 0,满足：W外=W变,考虑虚设力系做虚功,三、各类结构形式位移计算公式,1、桁架,2、组合结构,3、受弯杆件（通常为刚架）,=,用图乘法来计算积分,4、温度改变时的位移计算,特点：不引起结构内力，有变形,5、支座移动时的位移计算,刚体的虚功原理,特点：不引起结构内力，无变形,6、制造误差引起的位移计算,特点：只需计算有误差的构件的相应内力,测试题,求 A点的水平位移； C结点的转角。,