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1、一、特征值与特征向量,二、特征值与特征向量的求法,7.4 特征值与特征向量,三、特征子空间,四、特征多项式的有关性质,第七章 线性变换,从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当,的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是,一个对角矩阵?,引入,有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性,希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.,变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，,设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，,则称 为 的一个特征值，称 为 的属于特征值,一、特征值与特征向量,定义：,若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量,使得,的特征向量., 几何意义：特征向量经线性变换后方向保
2、持,由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，,注：, 若 是 的属于特征值 的特征向量，则,也是 的属于 的特征向量.,但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即,若 且 ，则,设 是V的一组基，,线性变换 在这组基下的矩阵为A.,下的坐标记为,二、特征值与特征向量的求法,分析：,设 是 的特征值，它的一个特征向量 在基,则 在基 下的坐标为,而 的坐标是,于是,又,从而,又,即 是线性方程组 的解，, 有非零解.,所以它的系数行列式,以上分析说明：,若 是 的特征值，则,反之，若 满足,则齐次线性方程组 有非零解.,若 是 一个非零解，,特征向量.,则向量 就是 的属于 的一个,设 是一个文
3、字，矩阵 称为,称为A的特征多项式.,1. 特征多项式的定义,A的特征矩阵，它的行列式,（ 是数域P上的一个n次多项式）, 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：, 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵，,而 是 的一个特征值，则 是特征多项式,的根，即,的一个特征值.,反之，若 是A的特征多项式的根，则 就是,（所以，特征值也称特征根.）,而相应的线性方程组 的非零解也就,称为A的属于这个特征值的特征向量.,i) 在V中任取一组基 写出 在这组基下,就是 的全部特征值.,ii) 求A的特征多项式 在P上的全部根它们,2. 求特征值与特征向量的一般步骤,的矩阵A .,iii) 把
4、所求得的特征值逐个代入方程组,的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.),并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值,则,就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.,而,（其中， 不全为零）,就是 的属于 的全部特征向量.,如果特征值 对应方程组的基础解系为：,对 皆有,所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.,例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下,的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是,故数乘法变换K的特征值只有数k，且,解：A的特征多项式,例2.设线性变换 在基 下的矩阵是,求 特征值与特征向量.,故 的特征值为： （二重）,把 代入齐次方程组 得,即,它的一
5、个基础解系为：,因此，属于 的两个线性无关的特征向量为,而属于 的全部特征向量为,不全为零,因此，属于5的一个线性无关的特征向量为,把 代入齐次方程组 得,解得它的一个基础解系为：,而属于5的全部特征向量为,三、特征子空间,定义：,再添上零向量所成的集合，即,设 为n维线性空间V的线性变换， 为,的一个特征值，令 为 的属于 的全部特征向量,注：,的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于 的,若 在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则,即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组,(*),全部线性无关的特征向量就是 的一组基.,四、特征多项式的有关性质,1. 设 则A的特征多项式,由多项式根与系
6、数的关系还可得, A的全体特征值的积,称之为A的迹,记作trA.,证:设 则存在可逆矩阵X，使得,2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式.,于是，,注：, 有相同特征多项式的矩阵未必相似.,成是矩阵A的特征值与特征向量.,它们的特征多项式都是 ，但A、B不相似.,多项式；而线性变换 的特征值与特征向量有时也说,因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换 的特征, 由定理6线性变换 的特征值与基的选择无关.,如,设 为A的特征多项式, 则,证: 设 是 的伴随矩阵，则,3. 哈密尔顿凯莱（HamiltonCaylay）定理,都是的多项式，且其次数不超过n1.,又 的元素是 的各个代数余子式，它们,因此， 可写成,其中， 都是 的数字矩阵.,再设,比较、两式，得,以 依次右乘的第一式、第二式、,、第n式、第n1式，得,把的n1个式子加起来，即得,4. 设 为有限维线性空间V的线性变换， 是,的特征多项式，则,例3. 设 求,解：A的特征多项式,用 去除 得,哈密尔吨凯莱定理,练习1：已知 为A的一个特征值，则,（1） 必有一个特征值为 ;,（2） 必有一个特征值为 ;,（3）A可逆时， 必有一个特征值为 ;,（4）A可逆时， 必有一个特征值为 .,（5） 则 必有一个特征值为 .,行列式 .,练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、1、2，,则矩阵 的特征值为： ，,