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1、第2章可靠性试验及数据处理方法,2.1 可靠性试验及分类 2.2 分布类型的假设检验 2.3 指数分布的分析法 2.4 正态及对数正态分布的分析法 2.5 威布尔分布的分析法,2.1 可靠性试验及分类,可靠性试验就是为了提高和证实产品的可靠性水平而进行的各种试验的总称,可靠性试验是为了获得统计数据，所用时间较长、所花的费用较大。但从提高和保证产品的质量角度来讲是值得的，费效比是较高的。 寿命试验是可靠性试验的重要组成部分，是评价、分析产品寿命可靠性特征量所进行的试验。下面列出几种寿命试验的分类,2.1 可靠性试验及分类,按试验场所分：现场试验和实验室试验两种。 现场试验是产品在使用条件下观测到
2、的寿命数据。最能说明产品的可靠性水平，是最终的客观标准。，收集现场数据重要。但会遇到很多困难，需要的时间较长、工作情况难以一致，要有详细的产品使用记录，很难获得比较准确的数据 实验室试验是模拟现场情况的试验。它将现场重要的应力条件搬到实验室，并加以人工控制。还可设法缩短试验时间以加速取得试验结果,2.1 可靠性试验及分类,按试验截止情况分：分为全数试验和截尾试验两种 全数试验是当试样全部失效才停止的试验 这种试验方式可获得较完整的试验数据，统计分析结果也较好。但这种试验所需时间较长，有时甚至难以实现,2.1 可靠性试验及分类,截尾试验又可分为定数和定时截尾试验两种 定数截尾试验就是试验到规定的
3、失效数即停止的试验 定时截尾试验就是试验到规定的时间，此时不管试样失效多少都停止的试验 根据试验中试样失效后是否用新试样替换继续试验，还可分为有替换和无替换两种,2.1 可靠性试验及分类,一般可归纳为如下四种试验： 有替换定时截尾寿命试验； 有替换定数截尾寿命试验； 无替换定时截尾寿命试验； 无替换定数截尾寿命试验。 全数寿命试验也可看成是截尾数是n的无替换定数截尾寿命试验。此外，尚有分组最小寿命试验、序贯寿命试验、有中止的寿命试验等,2.2 分布类型的假设检验,分布类型的判断有理论法和统计法两种 理论法是根据失效机理制定的数学模型或根据某种分布的性质推导出来的 例如，失效率为常数的寿命分布为
4、指数分布；失效由“最弱”环节决定的寿命分布为极值分布；受很多独立随机因素和的影响，且没有一个因素起主导作用，这种分布为正态分布等。 统计法是根据大量试验数据经统计求得的。很多同类性能在以往大量试验的基础上已经验证了其分布 例如，几何尺寸、材料性能、硬度等多服从正态分布；金属的疲劳寿命则服从对数正态分布或威布尔分布等,2.2 分布类型的假设检验,下面仅介绍统计法 在使用统计法时： 对分布不明的情况应做大样本的试验以判定其分布类型； 对已有经验参考的情况则可做较小样本的试验，假设其分布类型再进行相应的拟合性检验,下面给出通用的,检验法和K-S检验法。,2.2 分布类型的假设检验,检验法一般只用于大
5、样本,计算理论频数与实际频数间的差异，将检验统计量,的观测值与临界值,满足下列条件，接受原假设；否则，拒绝原假设,比较,2.2 分布类型的假设检验,式中 n样本大小 k分组数，按样本大小宜取 vi第组的实际频数， vi pi第组的理论频数（概率） m未知参数的数目 显著性水平,临界值，查附表2。,2.2 分布类型的假设检验,例2-1 220个某产品的失效时间记录列于表2-1中。试检验该产品的寿命是否服从指数分布。 表2-1 某产品失效时间的数据记录,2.2 分布类型的假设检验,解 假设该产品的寿命服从指数分布，参数未知。取组中值作为该组时间的代表值ti,则的点估计,h,1/h,2.2 分布类型
6、的假设检验,假设H0：,为了使用,首先按规定分组。由于每组中实际频数不宜少于5，故将前7段时间各作为一组，最后两段时间合为一组。总计组数k=8，正好在714范围内,检验法,2.2 分布类型的假设检验,表2-2 例2-1的列表计算,取显著性水平， 由 查附表2 由于 故拒绝原假设，既不能认为该产品的寿命服从指数分布。,2.2 分布类型的假设检验,2.2 分布类型的假设检验,K-S检验法（亦称d检验法）适用于小样本的情况,K-S检验法要求所检验的分布中不含未知参数。当指定分布中含有未知参数时，对某些分布应该用专门的临界值表,2.2 分布类型的假设检验,K-S检验法是将n个试验数据由小到大的次序排列
7、。根据假设的分布，计算每个数据对应的F0(xi)，将其与经验分布函数Fn(xi）相比较。其中，差的最大绝对值就是检验统计量Dn的观测值。将Dn与临界值Dn,比较。满足下列条件，接受原假设；否则，拒绝原假设,F0（x）原假设的分布函数；Fn（x）经验分布函数,2.2 分布类型的假设检验,临界值，查表2-3,2.2 分布类型的假设检验,例2-2 某合金9个试件测得的强度极限为453，436，429，419，405，416，432，423，440 N/mm2。检验该合金的强度极限是否服从均值=28 N/mm2，标准差=15 N/mm2的正态分布。,2.2 分布类型的假设检验,解 令该合金的强度极限b
8、=X，将数据按由小到大次序排列。假设X服从正态分布，分布函数,式中的,查附表1。计算结果见表2-4,由上述中计算结果知，Dn的观测值按式(2-2),2.2 分布类型的假设检验,取显著性水平=0.10，由表2-3查得,由于,故接受原假设，即认为该合金的强度极限服从=28 N/mm2，=15 N/mm2的正态分布,2.2 分布类型的假设检验,2.2 分布类型的假设检验,表2-3 K-S检验临界值表,n,2.2 分布类型的假设检验,回归分析法 回归分析法就是图解分析法的解析。 在直角坐标纸上描得几个试验点 （x1，y1），（x2，y2），（n，yn）， 如图2-1所示。按最小二乘原理确定直线,2.2
9、 分布类型的假设检验,它反映出试验点散布状态的一条最佳直线，称为回归直线。斜率,称为回归系数，截距,为常数项。,2.2 分布类型的假设检验,各试验点是否在一直线上，即是否具有线性相关的关系，可用相关系数检验法进行检验。相关系数,2.2 分布类型的假设检验,当,，则认为具有线性相关的关系。,是显著性水平为,时的相关系数起码值，见表2-5。查表时取自由度,对于可靠性分析中常用的概率分布，其分布函数与自变量之间一般在直角坐标上并不成线性关系，因此应先进行适当的变换。几种常用概率分布的变换关系列于表2-6中,2.2 分布类型的假设检验,表2-5 相关系数起码值,2.2 分布类型的假设检验,分布函数,2
10、.2 分布类型的假设检验,在使用回归分析法时，首先将试验获得的n个数据按由小到达的次序排列，即t1t2tn，取中位秩作为各试验点相应的分布函数，即,假设一种分布，按表2-6进行变换后即可用式（2-5）（2-11）进行计算。若相关系数检验通过则接受原假设。估计得B、A后再按表2-6中关系估计原分布函数的参数,2.2 分布类型的假设检验,例2-3 某合金材料在某应力水平做疲劳寿命试验，10个试件的疲劳寿命分别为211，229，272，276，295，303，332，354，382，409千次。试进行分布类型的判断并进行参数估计。 解 一般金属疲劳寿命多较好地服从对数正态分布，故先假设该材料疲劳寿命
11、服从对数正态分布。按表2-6,2.2 分布类型的假设检验,2.2 分布类型的假设检验,计算结果见表,相关系数检验：,2.2 分布类型的假设检验,由表2-5，当,查得,，故接受疲劳寿命服从对数正态分布的假设,2.2 分布类型的假设检验,估计分布参数和，由表2-6知：,2.3 指数分布的分析法,拟合性检验,这种检验法适用于截尾试验、全数试验和有中止的试验,计算检验统计量,满足下列条件则接受指数分布的假设，否则拒绝指数分布的假设,2.3 指数分布的分析法,总累积试验时间；,第（=1，2，）次失效时的累积试 验时间,t0指定的定时截尾时间 tr指定的定数截尾时间,显著性水平；,自由度为d的,分布的分位
12、数，查附表2,2.3 指数分布的分析法,总累积的试验时间,是所有投入试验的试样（包括失效的、中止的、截尾未失效的）试验到规定时间的试验时间总和。当开始投入n个试样同时试验，试验中有b个中止，中止时间为,（j=1，2，）；有r个失效，失效时间为i（i=1，2，r）。规定试验到t0停止试验，则试验总累积时间,2.3 指数分布的分析法,无替换：,有替换：,第k次失效时的累积试验时间,无替换：,有替换：,第k（k=1，2，r）个失效的时间,2.3 指数分布的分析法,例2-4 抽取某产品10个进行寿命试验，失效5个即停止试验。试验结果为：76，143，152，275，326 h。检验该产品寿命是否服从指
13、数分布。,解 假设该产品的寿命服从指数分布。这是无替换定数截尾、无中止的寿命试验。由式（2-15）的总累积试验时间,2.3 指数分布的分析法,第k次失效时的累积试验时间,2.3 指数分布的分析法,本例,取显著性水平=0.10，由附表2查得,满足,故接受原假设，即认为该产品的寿命服从指数分布。,2.3 指数分布的分析法,参数估计和可靠度估计,全数试验,截尾试验,式中,总累积试验时间 r观测失效数，当r=0进行的点估计时，建议取,。,2.3 指数分布的分析法,区间估计,单侧置信下限,双侧置信下限,双侧置信上限,2.3 指数分布的分析法,参数的区间估计,先由上表计算平均寿命的置信限,的置信下限,的置
14、信上限,可靠度的点估计,可靠度的置信下限,2.3 指数分布的分析法,例2-5 某产品寿命服从指数分布，抽取11个进行寿命试验。在试验到500 h式中止1个，900 h时失效1个，其它试样达到1000 h均未失效即停止试验。求平均寿命、失效率及工作到100 h时可靠度的点估计。若要求置信水平,求平均寿命的单侧置信下限、失效率的单侧置信上限及工作到100 h时可靠度的单测置信下限。,2.3 指数分布的分析法,解 这是n=11，失效数r=1，中止数b=2，截尾时间t0=1000 h的无替换定时截尾寿命试验,总累积试验时间,平均寿命的点估计,失效率的点估计,2.3 指数分布的分析法,t=100 h时可
15、靠度的点估计,由附表2查得,故平均寿命的单侧置信下限,失效率的单侧置信上限,t=100 h时可靠度的单侧置信下限,2.4 正态及对数正态分布的分析法,拟合性检验,假设,与K-S检验法类似，满足下列条件则接受原假设， 否则拒绝原假设,经验分布函数,2.4 正态及对数正态分布的分析法,临界值，查表,2.4 正态及对数正态分布的分析法,例2-6 对某钢材进行静强度试验，9个试件的强度极限按由小到大次序分别为625，650，656，659，661，662，663，668，672 N/mm2。检验该钢材强度极限是否服从正态分布。,2.4 正态及对数正态分布的分析法,解 假设该钢材的强度极限服从正态分布。
16、由于分布参数未知，故先进行估计,=13.69,2.4 正态及对数正态分布的分析法,假设：,列表计算,由计算结果知,取显著性水平=0.10,因为,故接受原假设，即认为该钢材的强度极限服从正态分布,2.4 正态及对数正态分布的分析法,完全样本的参数估计,点估计,区间估计,显著性水平，1为置信水平； n样本大小； 自由度。当标准差已知，sx用代替，则=；当标准差为点估计sx，则=n1；,2.4 正态及对数正态分布的分析法,自由度。当均值已知时，=n；当未知时，=n1。,若随机变量y服从对数正态分布，即YLn（，2），则lnYN（，2），故取,2.4 正态及对数正态分布的分析法,截尾寿命试验的参数估计
17、,极大似然估计,失效时间,2.4 正态及对数正态分布的分析法,式中,查表2-12。,2.4 正态及对数正态分布的分析法,最佳线性无偏估计,式中 n样本大小； r失效数； j寿命由小到大排列的次序； xj第j个寿命值；,的最佳线性无偏估计系数,的最佳线性无偏估计系数,2.4 正态及对数正态分布的分析法,简单线性无偏估计,式中 nkr,n系数查表2-14,E（Yr,n）系数，查表2-14,其余同前,2.4 正态及对数正态分布的分析法,可靠寿命和可靠度的估计,指定可靠度R，可靠寿命的点估计,指定寿命x的可靠度R的点估计,2.4 正态及对数正态分布的分析法,指定可靠度RL的可靠寿命置信下限,zR单侧置
18、信限系数，按指定的可靠度和置信水平由下式求取,z按指定的置信水平查表2-16,2.4 正态及对数正态分布的分析法,指定寿命xL的可靠度置信下限,式中,应该指出，这里的x并不限于寿命，也可以是服从正态分布的其它特性值，例如材料的机械强度等,2.4 正态及对数正态分布的分析法,表2-12 极大似然估计用表（正态及对数正态分布）,表2-13 最佳线性无偏估计用表（正态及对数正态分布）,2.4 正态及对数正态分布的分析法,表2-14 简单线性无偏估计用表（正态及对数正态分布）,2.4 正态及对数正态分布的分析法,表2-15 zR与可靠度R的关系（正态分布）,表2-16 不同置信水平时的z,2.4 正态
19、及对数正态分布的分析法,例2-8 某钢材的强度极限服从正态分布，11个试件测得的强度极限为608，622，630，638，642，648，652，660，673，688 N/mm2。求均值和标准差的点估计和置信水平=80的双侧置信限，失效概率为0.10时强度极限的点估计和置信水平为90的单侧置信下限。,2.4 正态及对数正态分布的分析法,解 本例为完全样本试验。 均值的点估计，按式（2-32）,标准差的点估计，按式（2-33）,2.4 正态及对数正态分布的分析法,均值的双侧置信限，按式（2-34）、（2-35），并由附表3查得,故得,2.4 正态及对数正态分布的分析法,标准差的双侧置信限，按式
20、（2-37）、（2-38），并由附表2查得,故得,2.4 正态及对数正态分布的分析法,失效概率F = 0.10的强度极限，可借用可靠寿命与可靠度的关系式。这时相当于R =1F = 0.90时的强度极限。点估计可用式（2-48）来求，并由R=0.90查表2-15得zR=1.28，故,2.4 正态及对数正态分布的分析法,失效概率F = 0.10，置信水平=90强度极限的单侧置信下限可用式（2-51）来求，并由R=1F=0.90查表2-16得zR= 2.01129，故,2.5 威布尔分布的分析法,拟合性检验,样本大小为n，截尾寿命试验得t1t2tr。 检验统计量观测值,式中,即取括号内整数部分,E(
21、zi)查表2-21、2-22中的E(zi，n),2.5 威布尔分布的分析法,满足下式条件则接受两参数威布尔分布的假设，否则拒绝两参数威布尔分布的假设,式中 显著性水平,自由度为1=2(r-r0-1)，2=2 r0的F分布的分位数，查附表4,2.5 威布尔分布的分析法,参数估计,矩法估计,样本均值,样本标准差,样本偏态系数,2.5 威布尔分布的分析法,根据kk值由表2-19查得形状参数k的点估计,同时可查得系数ka、kb，故,尺度参数b的点估计,位置参数a的点估计,2.5 威布尔分布的分析法,若位置参数a已知（例如两参数威布尔分布a=0），则求,根据kc值由表2-19查得形状参数k的点估计,同时
22、查得kb，再由式（2-60）求尺度参数b的点估计,2.5 威布尔分布的分析法,极大似然估计,2.5 威布尔分布的分析法,最佳线性无偏估计和简单线性无偏估计,先做如下变换：,原分布函数,令：,即,即,即,2.5 威布尔分布的分析法,则原分布函数变为,式中，参数和的最佳线性无偏估计,2.5 威布尔分布的分析法,当样本容量较大时，和用简单线性无偏估计。和的简单线性无偏估计,s，nkr,n，E(zr,n)查表2-21,2.5 威布尔分布的分析法,形状参数k的点估计按式（2-67），为得到k的无偏估计再加以修正得,式中 gr,n修偏系数，查表2-21、2-22,尺度参数的点估计,2.5 威布尔分布的分析
23、法,可靠度和可靠寿命的估计,指定寿命t时可靠度R的点估计,指定可靠度R时可靠寿命t(R)的点估计,2.5 威布尔分布的分析法,指定置信水平、可靠度的置信下限,对于全数试验的两参数威布尔分布，可按可靠度的极大似然点估计,查表2-23、2-24,对于截尾寿命试验，其可靠度的置信下限可查表2-25 2-27。,2.5 威布尔分布的分析法,可靠寿命的单侧置信下限,式中 gr,n，Br,n，VR查表2-22,2.5 威布尔分布的分析法,表2-19 威布尔分布形状参数和各参数点估计系数,2.5 威布尔分布的分析法,表2-20 最佳线性无偏估计系数（威布尔分布）,2.5 威布尔分布的分析法,表2-21 简单
24、线性无偏估计系数（威布尔分布）,2.5 威布尔分布的分析法,表2-22 最佳线性无偏估计和置信下限系数（威布尔分布）,2.5 威布尔分布的分析法,表2-23 R(t)的90下置信限 (威布尔分布),2.5 威布尔分布的分析法,表2-25 R(t)的90下置信限 (威布尔分布)（截尾试验）,2.5 威布尔分布的分析法,例2-12 某金属材料的疲劳寿命服从威布尔分布，15个试件的疲劳寿命分别为28300，35800，42200，47500，51200，57600，65000，66800，73600，81000，88000，98200，105000，115500，144500次。估计分布参数、N=4104次的可靠度及R=0.90时的可靠寿命。,2.5 威布尔分布的分析法,解 用矩法估计分布参数。按式（2-57）（2-59）求样本均值、样本标准差和样本偏态系数,2.5 威布尔分布的分析法,=0.60346,按kk由表2-19查得,kb=0.4544，ka=0.886。,2.5 威布尔分布的分析法,尺度参数b的点估计,因,故位置参数a的点估计,2.5 威布尔分布的分析法,N=4104时可靠度R的点估计,R=0.90时可靠寿命N(R)的点估计,