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1、第一章 线性空间,学时：16学时。 教学手段： 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的： 基本内容：集合、映射的概念；线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、过渡矩阵的概念；基变换与坐标变换；线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和；线性空间的同构等概念。 教学目的： 1、掌握集合、映射的概念，线性空间的定义与简单性质。 2、理解维数、基与坐标的概念。了解基变换与坐标变换。 3、了解线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构等概念。 本章的重点和难点： 重点：线性空间的概念，子空间的和，基与维数，基及坐标变换公式。 难点：线性空间定义的抽
2、象性，线性相关和子空间的直和。,6.2 线性空间的定义与性质,一. 线性空间的定义,例1 平面（空间）解析几何中的典例：,例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例：,例3 Ca,b=f：a,b上连续实函数：,例4 （1）数域P是P上的线性空间； （2）数域C是R上的线性空间； （3）数域R非C上的线性空间.,例5 （1）数域P上一元多项式环Px； （2）Pxn=f(x)fn 0.,二. 基本性质,8条算律 基本法律依据（公理），以2个运算、8条算律为基础推导其它基本性质. 以下6条基本性质：,6.2 维数、基、坐标,一. 向量的线性相关（无关）,* 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.,二.
3、 维数、基、坐标,定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=. 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数. 例1 (1) V2：两相交矢量确定此平面 dimV2=2； V3：三相交矢量确定此空间 dimV3=3. (2) Pn =(a1,a2,an)|aiP,i=1,2,n是n维的，e1,e2,en是Pn的一个极大无关组. (3) Rx=f(x)|f(x)是实系数多项式. 当 f(x)=a0+anxn , 且k0+knxn=0时有k0=kn
4、=0成立，故 1,x,xn,是Rx的一个极大无关组 dimRx=. 本教材仅讨论无限维线性空间.,定义6 dimV= n，如果1，2，,n 线性无关，则称1 , 2 , ,n 为 V 的一组基（或一个基）； V，a11+ a22 + + ann , 称 a1, a2,an 为在基 1，2，,n 下的坐标，记为（a1, a2,an）. 基是 V 中一个极大无关组 V 中有多个基，但维数是唯一确定的； 对任意的V，可由基1，2，,n 唯一线性表示 （这即说：向量 在该基1，2，,n 下的坐标唯一确定）. 证明： 据维数及基的定义 ，1，2，,n 线性相关，即 存在不全为0的 b1,b2,bn ,使
5、 b11 + b22+ + bnn+ bn+1=0 bn+10 (否则，由1，2，,n线性无关将推出b1=b2=bn =0， 矛盾) = bn+1-1(-b1)1+ +(-bn)n)= a11+ a22 + + ann ,即可由基1，2，,n 线性表示.,设a11+ a22 + + ann b11+ b22 + + bnn (a1-b1)1+ (a2-b2)2 + +(an-bn)n 0 由基1，2，,n 线性无关可知 a i=b i (i=1,2,n), 即表示唯一. 基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画. 定理1 1,2,n 是 V 的基 1,
6、2,n 线性无关，且 对任意的V， 可由1,2,n 线性标出,6.3 基变换与坐标变换,* 问题的提出：,dimV=n ,例： V2=：始点为坐标原点的平面矢量,* 形式书写记号及其性质,* 形式记号的运算性质：,一 基变换公式,称如上公式为基 到基 的基变换公式； 称A为基 到基 的过渡矩阵,二. 坐标变换公式,命题2,坐标变换公式,矩阵表示,坐标旋转公式 （平面解析几何）,接前页,三. 过渡矩阵,5 线性子空间,一. 子空间的概念,1。定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间 1） ； 2） W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间. 寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的
7、充要条件是子空间研究的一个重要问题 定理2 V的非空子集W是V的子空间 证明： 必要性是显然的. 现证充分性. 据题设 W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1), 2), 5), 6), 7), 8). 取k = 0, 则k= 0= 0W； 取k = 1, 则k= (1)=W 即算律3), 4)成立 W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 据定义7即知W是V的子空间. 子空间本身就是一个线性空间 线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立 . 设W是V的子空间，则dimWdimV .,补充命题： 线性空间V的非空子集W是V的子空间 证明：必要性显然成立，现证充分性. 取a
8、 = b = 1, 据题设 取b = 0, 据题设 由定理2即知W是V的子空间. 实例： 例1-2 取V的子集0，则0是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间 子空间0和V统称为V的平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间. 例3 实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的子空间. 证明： 取任两实系数多项式 f(x) = anxn+ +a1x+a0, g(x) = bmxm+b1x+b0, 不妨设nm, 对任意实数c, d, cf(x)+dg(x) = (cbm+d0)xm+(cbn+dan)xn+(cb1+da1)x+(cb0+da0) 显然cf(x)+
9、dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间. ,例5 线性空间Pn中，齐次线性方程组 全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间. 证明： 用矩阵方程AX = 0表示该齐次线性方程组，则W =A= 0. 对任意的,W, a,bP, A(a+b) =a A+bA= 0 + 0 = 0, 故知 a+bW , 据补充命题可知，W是Pn的一个子空间. 补充例题： 过原点的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V3的子空间 证明： 过原点的直线上任意两个矢量的和，任意一个矢量的数乘均仍在该直线上, 故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间. 过原点的平
10、面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间. 这里之所以要求过原点，是为了保证 0= 0W成立.,例6 设1,2,rV (V是数域P上的线性空间), 则 L(1,2,r) = k11+k22+krr | kiP, i =1,2,r 是V的一个子空间.,证明： 1,2,r L(1,2,r) L(1,2,r) 是V的非空子集. 任取 =k11+k22+krr , = t11+t22+trr L(1,2,r) , 任取 a, bP, a+ b= (ak1+bt1)+ (akr+btr) L(1,2,r) L(1,2,r)是V的一个子空间. 例题证明给出如下性质：V的一个子空间若包含向量1,2,
11、r ，则包含1,2,r 的一切线性组合，即包含L(1,2,r)为其子空间. 例题结论引出如下概念：,补充定义：设1, 2, , rV (V是数域P上的线性空间), 称子空 间 L(1, 2, , r) 为 V 的由1, 2, , r 生成的的子空间； 而 1, 2, , r称为该生成子空间的生成元.,二. 子空间的性质,6.6 子空间的交与和,一. 子空间的交,定理5 V1，V2是V的子空间 V1V2是V的子空间 证明： 0 V1，V2 0 V1V2 V1V2是V的非空子集. 对任意的, V1V2 , V1，V2 对任意的a,bP , a+b V1，V2 a+b V1V2 , 即 V1V2 是
12、 V 的子空间 . 由于集合的交运算满足交换律，结合律 子空间的交满足交换律，结合律 线性空间V的s个子空间的交仍是V的子空间，并可表示为： V1V2Vs = . 一般讲，子空间的并 V1V2 不一定是V的子空间.,例： 二维平面V2中，W=x轴，V=y轴均为V的子空间. 如下图所示，向量1W，2V，但1+2却不在WV中.,二. 子空间的和 定义8 V1，V2是V 的子空间，V的如下子集V1+V 2称为V1与V2的和. V1+ V 2= 1+21V1，2V2,定理6 V1+V2是V的子空间.,三. 基本性质,V3 v1 V2,V3 v1 V2,V3 v1 V2,例1 三维几何空间V3中，V1：
13、过原点的直线；V2：过原点且与V1垂直的平面（如图），则V1V2=0，V1 + V2 =V3 .,例3 在线性空间V中，有以下公式成立：,L(1 , , s)+L(1 , , t)=L(1, ,s ,1 ,t),四.维数公式,定理7 设V1， V2 是V的子空间，则,dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 V2 ),V1 + V2,V1 1,n1-m,V1V2 V2 1 ,2,m 1, , n2-m,由维数公式可知，子空间和的维数要比维数的和小。例如：V3中，两张通过原点的不同平面之和是整个三维空间V3，而其维数之和是4，由此说明这两张平面的交是一维的直线
14、。,推论： dimV1 + dimV2 n；dimV=n, 则 V1V20 证明： 据题设及维数公式， dim(V1 + V2 )+dim(V1 V2 ) = dimV1 + dimV2 n. 因为 V1 +V2是V的子空间，故 dim(V1 +V2 )n dim(V1V2)0 V1V20. ,6.7 子空间的直和,一 子空间直和的概念,二. 子空间的直和的性质,三. 直和概念的推广及性质,6.8 线性空间的同构,一 线性空间同构的概念,定义1 设V，V/是数域P上的线性空间，：VV/称为同构映射，并记VV/ ，如果 1) 是V到V/的双射； 2) 对任意的,V，(+)=()+()； 3) 对任意的kP,V, (k)=k(). 2), 3)的意义是保持运算不变，即“和的像等于像的和；数乘的像等于像的数乘”。其几何意义如图示：,V V/ () () ()=()+(),P P k () k (k)= k(),二. 线性空间的性质,0 P P2 P n-1 Pn 线性空间全体,