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1、高等代数课件,陇南师范高等专科学校数学系 2008年制作,第七章 线性变换,7.1 线性变换的定义及性质 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换的矩阵 7.4 不变子空间 7.5 线性变换的本征值和本征向量,7.1 线性变换的定义及性质,假定V和W是数域F上的向量空间. 定义1 设是V到W的一个映射, 如果满足下列条件, 则称是一个从到的线性映射: (i) 对于任意, V, (+)= ()+ (); (ii) 对于任意aF, V, (a)=a(). 可将定义1中条件(i),(ii)换成下面一个条件: (iii) 对任意, V, 任意a, bF, (a+b)=a()+b(). 例 1 对于R2
2、中的每一个向量=(x1, x2)定义 ()=(x1, x1x2, x1+x2)R3, 则是一个线性映射. 例 2 令H是V3中经过原点的一个平面. 对于V3中的每一个向量, 令()表示在H上的正射影. 则是V3到V3的一个线性映射.,与向量空间同构 的定义比较,例 3 令A是数域F上的一们mn矩阵, 对n元列空间Fn中的每一 向量= 规定: ()=A. 则()是一个m元列向量, 即()Fn. 容 易证明是一个从Fn到Fm的线性映射. 例 4 令V和W是数域F上的两个向量空间. 对于V中的每一向量,令W的零向量与它对应. 容易看出这是V到W的一个线性映射, 称之 为零映射. 例 5 设V是数域F
3、上的向量空间. 取定F中的一个数k. 对于任意V,令()=k. 则是V到自身的一个线性映射. 称为V的一个位似. 例 6 取定数域F中的n个数a1, a2, , an. 对于Fn中的每一个向量=(x1, x2, , xn), 定义()=a1x1+a2x2+anxnF. 则是从Fn到F的一 个线性映射. 称为F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型. 例 7 Fx上的求导运算是Fx到自身的一个线性映射.,例 8 对每一f(x)Ca, b, 规定 . 则是Ca, b到自身的一个线性有映射. 线性映射把零向量映射为零向量. (a11+a22+ann)=a1(1)+a2(2)+an(n). 设是向量
4、空间V到W的一个线性映射. 如果VV ,则称W的子空间()| V是V在下的象, 记作 (V). 如果WW ,则称V的子空间| ()W是W在下的原象, 记作 1(V). 定理7.1.1 设是向量空间V到W的一个线性映射. V是V 的子空间, W是W的子空间. 则V在下的象是W的子空间, W在下的原象是V的子空间. 特别地, 向量空间V在下的象是W的子空间, 称其为的象, 记作 Im(). W的零子空间0在下的原象是V的子空间, 称其为的核, 记作 Ker(), 即Ker()=| ()=0.,定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ke
5、r()=0. 两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射.则合成映射:VW是U到W线性映射. 如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映射.,7.2 线性变换的运算,设V是数域F上的向量空间. V到自身的一个线性映射称为V的一 个线性变换. 用L(V)表示V的一切线性变换的集合. 零变换: V到自身的零映射称为V的零变换, 记作, 显然L(V). 单位变换: V到自身的恒等映射称为V的单位变换, 记作, 显然L(V). 负变换: L(V), 的负变换是指V到V的映射 : | (). 变换的加法: ,L(V), 定义V
6、到V的映射+为 +: | ()+ (). 容易说明+L(V). 称为变换+为变换与的和. 变换的减法: ,L(V), 定义变换与的差为=+(). 变换的纯量乘法: L(V), kF. 定义V到V的映射 k: | k(). 则kL(V), 称它为k与的积.,可以验证变换的加法与变换的纯量乘法满足下列规律: + =+ (+)+ =+(+) + = +()= k(+) = k+k (k+l) = k+l (kl) = k(l) 1 = 其中, , 是V到V的任意变换, k, l是F中的任意数. 因此: 定理7.2.1 L(V)对于变换的加法和纯量乘法构成数域F上的一个线性空间. 变换的乘法: ,L(
7、V), 则它们(作为映射)的合成L(V), 称之为与的积, 记作.,变换的乘法满足结合律. 对于正整数n, 规定n=. . 再规定0=. (表示单位变换). 另可将k简单地记为k, k是F中的一个数. 设 是Fx中的一个多项式, 是一个线性变换, 则 也是一个线性变换, 记作:,若 , A是一 个 n阶方阵, 则,7.3 线性变换的矩阵,一. 线性变换关于一个基的矩阵 二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系,一. 线性变换关于一个基的矩阵,设V是数域F上的向量空间, 1, 2, , n是V的一个基, 是V的一个线性变换. 则对们每一 j=1,2, ,n, (j )都可由1, 2, , n线性表示
8、. 设 其中, (a1j, a2j, anj, )是(j )关于基1, 2, , n的坐标 j=1,2, ,n,.它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵: n阶矩阵A叫线性变换关于基1, 2, , n的矩阵. 对于给定的线性变换和取定的基, 它是唯一确定的.,等式(1),将等式(1)写为矩阵的形式就是 (1), (2), , (n)=(1, 2, , n)A. 设= x11+x22+xnn是V的任一向量. 所以 因此, ()关于基1, 2, , n的坐标构成的列向量是: 由此我们得到: 定理7.3.1 设V是数域F上的向量空间, 1, 2, , n是V的一个基, 是V的一个线性变换,
9、 A是线性变换关于这个基的矩阵, 与()关于这个坐标分别是(x1,x2,xn)和(y1,y2,yn). 则有,例 1 设1, 2是V2的两个正交单位向量, 则它构成V2的一个基, 是将V2的每一个向量都旋转角的一个线性变换. 则有 因此关于基1, 2的矩阵是 设是中V2的一个向量, 它和()关于基 1, 2的坐标分别是(x1, x2 )和(y1, y2 ), 则 例 2 位似变换关于任意基的矩阵是 .特别地； 单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵, 零变换关于任意基的矩阵是零矩阵.,1,(2),2,(2),O,定理7.3.2 设V是数域F上的一个n维向量空间, 1, 2, , n是V的一个基,
10、那么对V中的任意n个向量 1, 2, , n, 恰有V的一个线性变换, 使得 (i)= i, i=1, 2, , n. 数域F上所有n阶矩阵的集合构成F的一个n2维向量空间, 记之 为Mn(F). 定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, 1, 2, , n是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基1, 2, , n的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构(保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法) 推论7.3.4 设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性
11、变换, 它关于某个基的矩阵是A. 则变换可逆当且仅当矩阵A可逆, 且1关于这个基的矩阵就是A1. (保持逆),二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系,设A, B是两个n阶矩阵, 如果存在n阶可逆矩阵T使得: B=T1AT则称矩阵A与B相似. 矩阵的相似关系是一种等价关系(即相似具有自反性, 对称性和传递性). 设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性变换, 它关于V的两个基1, 2, , n和1, 2, , n的矩阵分别是A, B. 则有 (1), (2), , (n)=(1, 2, , n)A, ( 1), (2), , (n)=(1, 2, , n)B. 再设T是从基1, 2, ,
12、 n到1, 2, , n的过渡矩阵: (1, 2, , n)=(1, 2, , n)T. 由此三式可得: (1, 2, , n)B=(1, 2, , n)T1AT. 所以 B=T1AT. 即: 同一线性变换关于两个基的矩阵是相似的. 反之, 两相似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.,7.4 不变子空间,设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 定义 设W是V的一个子空间, 如果(W)W, 则称W在线性变换之下不变, 或说W是的一个不变子空间. 例 1 V本身和零子空间V是任何变换的不变子空间. 例 2 的象Im()和核Ker()都是的不变子空间. 例 3 任何一个子空间都
13、是位似变换的不变子空间. 例 4 设L是V3中一条过程原点的直线, 是V3的一个以为轴的旋转变换. 那么L是的一个一维不变子空间, 过程原点与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间. 例 5 设Fx是F上的一元多项式所成的向量空间, Fnx是次数不超过n的多项式及零多项式所成的子空间. 则Fnx是求导变换的不变子空间.,设W是的一个不变子空间, 定义映射|W :WW为 |W ()=(). 则|W是W的一个线性变换, 称它为线性变换在W上的限制. 设W是的一个非平凡的不变子空间, 1, 2, , r是W的一个基, 把它扩充为V的一个基1, 2, , r , r+1, , n. 由于W在之下不变,
14、所以(1), (2), , (r)仍在W内, 它们可用W的基1, 2, , r线性表示. 因此 这表明关于这个基的矩阵是,|W关于W的基1, 2, , r 的矩阵,一个 (nr)r 阶零矩阵,如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1的基1, 2, , r 与W2的基r+1, , n组成V的一个基. 如果W1与W2是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是 例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组V3的一个基. 关于这个基的矩阵是,|W1关于W1的基1, 2, , r 的
15、矩阵,|W2关于W2的基r+1, 2, , n 的矩阵,应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, , Ws的直和, 且每一个都是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基的矩阵是 Ai是|Wi关于Wi的基的矩阵. 特别地, 当每一个子空间都是一维空间时, 这个矩阵就是一个对角矩阵.,7.5 线性变换的本征值和本征向量,设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 定义 1 设是数域F中的一个数. 如果存在V中的一个非零向量使得()=, 则称是的一个特征根, 称是的属于特征根的一 个特征向量. 例 1 设H是V3中一个过程原点的平面, 是把V3的每一个向量变成它在H上
16、的正射影的线性变换. 那么H中每一个非零向量都是的属于特征根1的特征向量, 而过原点与H垂直的直线上的每一个非零向量都是的属于特征根0的特征向量. 例 2 用D表示实数域上的可微分任意次的实函数所成的向量空间. : f(x)|f (x)是求导运算. 对每一实数都有, (ex)=ex. 因此每一实数都是的特征根, 而ex是的属于特征根的一个特征向量. 例 3 用Fx表示所有一元多项式构成的向量空间. 是把f(x)变为 xf(x)的线性变换. 对任何数都不存在多项式f(x)使 xf(x)=f(x), 因此没有特征根.,定义 2 设A=(aij)数域F上的一个n阶矩阵. 行列式 叫做矩阵A的特征多项
17、式. 相似矩阵有相同的特征多项式. 一个线性变换关于不同的基有不同的矩阵, 但是, 这些矩阵是相似的, 这些矩阵的特征多项式也就是相同的. 因此我们把一个线性变换的特征多项式定义为它关于任何一个基的矩阵的特征多项式, 记作f(x). 定理7.5.1 设是数域F上的n维向量空间V的一个线性变换. F是的一个特征根当且仅当是的特征多项式f(x)的一个根.,n阶矩阵A=(aij)的主对角线上的元素的和称为矩阵A的迹, 记作Tr(A). 在 fA(x)中最高次项xn的系数是1. 在 fA(x)中, xn1的系数是 Tr(A) . 在 fA(x)的常数项是A的行列式乘以(1)n. 例 4 计算 的特征多
18、项式. 矩阵A的特征多项式 fA(x)在复数域内的根叫做矩阵A的特征根. 设是矩阵A的一个特征根, 则齐次线性方程组 的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的一个特征向量.,设1, 2, n是矩阵A的全部特征根, 则 Tr(A)= 1+2+n , |A|= 12n. 设是数域F上的n维向量空间V的一个线性变换, 它关于基1, 2, , r的矩阵是A, 是A的特征根, 且F, 那么 是的特征根. 方程组 的非零解就是的属于 的一个特征向量关于基1, 2, , r的坐标. 例 5 设R上三维向量空间的线性变换关于 基1, 2, 3的矩阵是:. 求的特征根和相应的 特征向量. 例 6 求矩阵A的特征根和
19、相应的特征向量:,设是数域F上的n(n 0)维向量空间V的一个 线性变换. 如果存在V的一个基使关于这个基的 矩阵具有右面的形式, 则称可以对角化. 类似地 如果对于数域F上的一个矩阵A, 存在数域F上的 一个矩阵T, 使得T1AT具有右面的矩阵形式, 则称矩阵A可对角化. 定理7.6.1 设是数域F上的维向量空间V的一个线性变换. 如果1, 2, n是的属于不同特征根的特征向量, 那么1, 2, n线性无关. 推论7.6.2 设是数域F上的n(n 0)维向量空间V的一个线性变换. 如果的特征多项式 f (x)在F内有n个单根, 那么存在V的一个基, 使关于这个基的矩阵是对角形式.,推论7.6
20、.3 设A是数域F上的 n 阶矩阵. 如果A的特征多项式 fA (x)在F内有n个单根, 那么存在一个可逆矩阵T, 使 设是的一个特征根, 则V=| ()=Ker()是V的一个子空间, 称之为的属于特征根的特征子空间. 特征子空间是的不变子空间. 特征子空间V的维数不大于特征根的重数. 推论7.6.4 设是数域F上的n(n 0)维向量空间V的一个线性变换. 如果1, 2, tF是的互不相同的特征根, Vi是的属于特征根i的特征子空间, 那么这些子空间的和W= V1+V2+V t是直和, 且 W在之下不变.,定理7.6.4 设是数域F上的n(n 0)维向量空间V的一个线性变换. 可对角化的充要条
21、件是: (i) 的特征多项式的每一根都在F内; (ii) 对的特征多项式的每一根, 特征子空间V的维数都等于的重数. 推论7.6.4 设A是数域F上的n(n 0)阶矩阵. A可对角化的充要条件是: (i) A的特征根都在F内; (ii) 对A的每一特征根, 秩(IA)=ns, 其中s是的重数. 例 1 矩阵A= 不能对角化.,将矩阵A对角化的步骤(参考下一页图示): 求出矩阵A的所有特征根 如果A的特征根都在F内, 则对每一特征根, 求出方程组 的一个基础解系. 如果每一个特征根对应的方程组的基础解系中解的个数都等于这个特征根的重数, 则矩阵A可对角化. 以这些解向量为列做一个n阶矩阵T, 则TAT就是一个对角矩阵. 例 2 将下面的矩阵A对角化.,1,2, t,求特征根,求基础解系,求矩阵T, 以基础解系为 列, 同一根的解 必须是相邻的列,T1AT 对角线上根的 次序与T中列 向量对应的根 的次序相同, t的重数,2的重数,1的重数,