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1、土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,第8章 影响线,本章导读 基本要求 理解影响线的概念；掌握作影响线的静力法，会用机动法作静定梁的影响线；会利用影响线求固定荷载作用下结构的内力和移动荷载作用下结构的最大内力；了解利用机动法作连续梁内力的影响线；了解简支梁的内力包络图和连续梁的内力包络图。 重点 影响线的概念；静力法和机动法绘制影响线；利用影响线求固定荷载作用下结构的内力和移动荷载作用下结构的最大内力。 难点 用机动法绘制影响线；利用影响线求移动荷载作用下结构的最大（或最小）内力。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.1 移动荷载及影响线的概念,土木工程专业系列教材
2、结构力学 出版社 科技分社,1)移动荷载及其简化 1. 移动荷载：荷载的大小和方向保持不变，但作用点在结构上移动。 2. 移动荷载的简化 荷载性质的简化：移动动荷载移动静荷载，即可利用静力平衡方程求解。 静荷载结果动力系数=动荷载结果 荷载大小的简化：从各种形式的移动荷载中抽取出一典型荷载，即单位荷载（FP=1）进行讨论。 2)影响线的定义 一个方向不变的单位荷载FP=1沿结构移动时，表示某一截面某指定量值（反力、内力或位移）变化规律的图线，称为该量值的影响线。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,例：考虑一单位集中荷载FP=1在悬臂梁AB上移动时，截面A处的弯矩变化情况。,M A
3、影响线,MA = FPx = x,集中荷载FP1和FP2作用下，引起的MA为 ：,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,3)移动荷载作用下结构设计的思路 选择控制截面 一般将结构若干等分，如图所示。 分别绘各控制截面的M、FQ影响线。 利用影响线求实际移动荷载作用下各控制截面的Mmax、FQmax。 作内力包络图。 设计用M、FQ 内力包络图中的最大值。必要时乘以动力系数。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.2 静力法作静定梁的影响线,静力法作影响线的步骤 建立坐标系，x轴沿杆轴方向； 将FP=1置于x处； 由平衡方程求量值S的影响线方程S=S(x)； 由S=S(x
4、)作图，即得量值S的影响线。 符号规定 支反力向上为正；弯矩下侧受拉为正；剪力顺时针方向为正。 S为正时绘于基线上方，为负时绘于基线下方。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.2.1简支梁的影响线,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.2.2伸臂梁的影响线,(l1xll2 ),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,伸臂梁的支反力和AB跨内任一截面的弯矩、剪力影响线时，可将AB简支梁的相应影响线延长至伸臂段的自由端处即得。,伸臂段上任一指定截面D的弯矩MD和剪力FQD的影响线：,即只有当FP=1作用于该截面以外的伸臂段上时，才对弯矩和剪力产生影响。,土木工
5、程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.2.3影响线与内力图的区别,竖标,荷载,横坐标,量纲,符号,通过下列几点比较其区别:,(a) MC影响线,(b) M图,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,例8.1 作图示结构的FQ1、M2、FRA和M3的影响线。设FP=1在CD上移动。,解 （1）作FQ1的影响线 FP=1在1以右时，FQ1=0；FP=1在1以左时，FQ1= 1。FQ1的影响线如图b所示。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,M2=x (- x ）,M2的影响线如图(d)所示。,（2）作M2的影响线,取隔离体
6、并建立坐标系如图(c)所示。设M2以使左侧受拉为正。由M2=0得,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,作出FRA的影响线如图(e)所示。,坐标系如图(a)所示。由MB=0得,（3）作FRA的影响线,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,把FRA的影响线扩大 倍即得M3的影响线，如图(f)所示。,M3= FRA,（4）作M3的影响线,由于FP =1在上面梁CD上移动，而不在下面梁AB上移动， M3总是等于,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.3间接荷载作用下梁的影响线,间接荷载或称结点荷载：,下面以作主梁截面C的弯矩影响线为例，说明结点荷载作用下影响线的作法
7、。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,作出FP=1直接作用在主梁上时的MC影响线 。,作结点荷载作用下的MC影响线。,当荷载FP =1在纵梁上移动到结点上方时:,结点荷载作用下各结点处的影响线竖标与直接荷载作用下的影响线竖标相同。,当荷载FP =1在结点E、F之间的纵梁上移动时:,MC影响线是连接 、 顶点的直线。此结论适用于任意两相邻结间。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,作结点荷载接作用下的影响线的步骤：,保留相邻结点间为直线的部分，对相邻两结点间影响线为折线或间断的结间，用连接相邻两结点竖标顶点的直线来代替。,作直接荷载作用下所求量值的影响线。,作结间剪力F
8、QEF的影响线。,可由上述步骤作出。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,例8.2 作图a中主梁的MC、FQA左、FQD左的影响线。,解按上述步骤作 （虚线为直接荷载 作用下的影响线）。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.4机动法作静定梁的影响线,1)机动法原理：虚位移原理,即无论FP=1移动到梁上什么地方，FRB总等于FP=1作用处的竖向位移 除以常数 。,可令 =1，此时所得的梁上各点的竖向位移图就是FRB的影响线，如图(c)所示。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,2)机动法作某量值S影响线的步骤,解除与S相应的约束，代以正向约束力S。,使所得
9、机构沿S的正方向发生相应的单位虚位移，绘出的竖向位移图即为S的影响线。,基线以上的竖标取正号、以下的取负号。,例8.3 用机动法作图(a)所示简支梁的弯矩和剪力影响线。,解（1）弯矩MC的影响线,（2）剪力FQC的影响线,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,例8.4 用机动法作图a所示多跨静定梁的MK、MB、FQK、FQB左、FQB右的影响线。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.5利用影响线求量值,8.5.1一组集中荷载,一组集中荷载作用下,如图(a)所示，位置固定的集中荷载FP1、FP2、FP3引起的MC为,推广：
10、n个集中荷载作用下，引起的某量值S为,yi为FPi作用点处S影响线的竖标。,MC= FP1y1+ FP2y2+ FP3y3=,S=,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,作用在S影响线某一直线段上的一组荷载引起的S ，等于其合力引起的S值。,FP2y2+ FP3y3= FP2x2tana+ FP3x3tana =( FP2x2+ FP3x3)tana,=FR tana = FR,证明,如图a中，FP2、FP3引起的MC为,MC= FP2y2+ FP3y3=FR,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.5.2分布荷载,某分布荷载q(x)作用于AB杆段上，其引起的量值S为,若
11、q(x)= q（均布荷载），上式成为,A为影响线图形在受荷段内的正负面积的代数和。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,例8.5 利用影响线求图a所示梁在给定荷载作用下的FQC值。,解 作出FQC的影响线(图b),FQC= q1(A1+A2)+ q2(A3+A4)+ FPyD,FQC =20( ) +30( )+50 =32.5kN,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.6移动荷载最不利位置的确定,当实际荷载移动到某个位置，使结构某量值发生最大（或 最小）值，则此荷载位置称为该量值的最不利荷载位置。,最不利荷载位置一经确定，便可按上节所述方法求出量值 的最大（或最小）
12、值。,8.6.1单个移动集中荷载,由S=FPy可知，FP作用于S影响线的最大竖标处时将引起Smax，FP作用于影响线基线下方的最低点时将引起Smin。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.6.2任意断续布置的均布荷载,由S=qA知，当荷载q布满影响线所有正号区间时，引起Smax；当荷载q布满所有负号区间时，引起Smin。,8.6.3行列荷载,定距离成组移动的集中荷载,行列荷载作用下，在最不利位置时，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点。,行列荷载个数较少时，可用如下试算法确定最大量值Smax：,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,由S=SFPiyi可知，只要把数值大、
13、排列密的荷载放在影响线竖标较大的位置，并让其中一个荷载通过影响线的顶点（这可能有多种情况），分别算出S值，从中选出的最大值必定是Smax，所对应的荷载位置即为最不利荷载位置。,例8.6 图(a)所示为两台吊车的轮压和轮距，求吊车梁AB在截面C的最大剪力。,解先作出FQC的影响线,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,例8.7 试求K、C两截面的最大弯矩。FP1= FP2=195kN，FP3= FP4=118kN。,解作MK影响线,情况：MK=195(1.92+1.04)+1180.81=672.78kNm,情况：MK=1951.92+118(1.69+0.81)=669.4kNm,情
14、况：MK=1951.0+118(1.92+1.04)=554.28kNm,比较得，MKmax=672.78kNm，中荷载位置为MK的最不利荷载位置。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,作MC影响线,比较得，MCmax=1053. 7kNm，中荷载位置为MC的最不利荷载位置。,情况： MC=195(3.0+0.8)+118(2.425+0.225)=1053.7kNm,情况： MC =195(2.425+0.225) +118(3.0+0.8) =965.15kNm,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,行列荷载个数较多时，可分下列两步确定最不利荷载位置及Smax：,第1
15、步，求出使S达到极值时的荷载位置，称为临界荷载位置。,第2步，从临界荷载位置中选出最不利荷载位置，也就是从S的极值中选出Smax。,(1)影响线为折线形时的临界荷载位置,图中各直线段（倾角ai以逆时针为正）影响线中与荷载的合力FRi对应的竖标为 ，则有,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,当荷载移动Dx（设向右为正）时， 的增量为,则S的增量为,使S成为极大值的条件：荷载向左或向右移动Dx，DS0，即,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,使S成为极大值的条件：荷载向左或向右移动Dx，DS 0，即,(b),由式(a)、(b)知，要使S成为极值，当荷载向左、右移动微小距离D
16、x时， 必须变号。,要使 变号（或者由零变为非零），必须使FRi改变数值。只有某一集中荷载（称为临界荷载FPcr）作用于影响线的顶点时才有可能，此时的荷载位置称为临界荷载位置。,使S成为极大值的条件：荷载向左或向右移动Dx，DS 0，即,(a),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(2)影响线为三角形时的临界荷载位置,图中，FPcr作用于顶点上。若要求S的极大值，由式(a)得,将 代入上式，得：,即临界荷载位置的特点为：有一个集中荷载FPcr作用在影响线的顶点，将FPcr计入哪一边（左边或右边），则哪一边荷载的平均集度就大些。,注意：若S影响线为直角三角形（或有突变），则上述判别式
17、(a) 、 (b) 、 (c) 均不再适用。,(c),土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,例8.8 试求图a所示简支吊车梁在吊车垂直荷载作用下支座B的最大反力。已知FP1= FP2=478.5kN，FP3= FP4=324.5kN。,解 作出FRB的影响线如图(b)所示。,当FP2在B点左、右侧时(图b)，有,故知FP2为一临界荷载，此时,FRB=478.5(0.125+1)+324.50.758=784.3kN,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,当FP3在B点左、右侧时(图c),有,故知FP3也是一临界荷载，此时,FRB=478.50.758+324.5(1+0.2
18、)=752.1kN,比较可知，FP2在B点时为最不利荷载位置。此时有FRBmax=784.3kN。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.7机动法作连续梁的影响线,1)原理：功的互等定理,即：只要把图(c)中的挠度图缩小d倍，就得到反力FR2的影响线。,解除与FR2相应的约束后，在该反力正向产生单位位移时的挠度图，即为FR2的影响线。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,2)步骤,撤去与量值S相应的约束，代以正向约束力S。 令S沿其正向发生（单位）位移，勾画一条满足约束条件的平滑挠曲线，它就是S影响线的大致形状。 基线上方为正，下方为负。,注意，此法与用机动法作静定多
19、跨梁的影响线的区别： 静定多跨梁撤去一个约束后，结构变为具有一个自由度的几何可变体系，虚位移图是机构的位移图，所以影响线由直线段组成； 连续梁撤去一个约束后，一般仍为几何不变体系，其位移图是弹性体系变形图，因此连续梁的影响线是曲线图形。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,3)举例 作FR5、M3、 MK 、FQK、FQ2左、FQ2右影响线。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.8内力包络图,定义：在恒载和活载共同作用下各截面的最大 (或最小) 内力的连线称为内力包络图。,8.8.1简支梁的内力包络图（不计恒载）,绝对
20、最大弯矩一般比跨中截面的最大弯矩稍大一些(5%以内)。设计时常用跨中截面的最大弯矩近似代替之。,需要指出，弯矩包络图中用于截面设计的数值应为其中的最大值，该最大值称为绝对最大弯矩。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,8.8.2连续梁的内力包络图,1)均布活载的最不利分布,由公式S=qA知，只要将均布荷载q布满S影响线的所有正号或负号区间，就可求得S的最大或最小值。,MCmin、FQC左min、FQC右max的最不利荷载位置,MCmax、FQC左max、FQC右min的最不利荷载位置,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,MKmax的最不利荷载位置,MKmin的最不利荷载
21、位置,连续梁的弯矩影响线在各跨范围内符号相同。各截面弯矩的最不利荷载位置是在某些跨上整跨布满活载。所以各截面弯矩的最大值、最小值均可由某几跨单独布满活载时的弯矩叠加得到。,几个重要结论：,支座截面的最大负弯矩的最不利活载分布是两个相邻跨有活载，然后每隔一跨有活载。,跨中截面的最大弯矩的最不利活载布置是本跨布满活载，然后每隔一跨有活载。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,2)连续梁的弯矩包络图,利用第条结论，可以得到求作连续梁弯矩包络图工作量最少的方案(以图(a)所示连续梁为例)：,作出恒载g作用下的弯矩图(图(b)。,逐一作出各跨单独布满活载q时的弯矩图(见图(c)、(d)、(e
22、)，具体计算时可用力矩分配法或查静力计算手册。,将各截面的最大弯矩值用一曲线相连，最小弯矩值用另一曲线相连，此二曲线构成的封闭图形即为弯矩包络图(图(f)。,将各跨分为若干等分，对每一等分点处截面，把各活载弯矩图中此截面的所有正弯矩值加在一起，所有负弯矩值加在一起，再分别加上恒载作用下此截面的弯矩值，就得到此截面的最大和最小弯矩值。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,3 )连续梁的剪力包络图,【例8.9 】 作图a所示三跨连续梁的剪力包络图。恒载g=20kN/m，活载q=30kN/m。,【解】(1)作恒载作用下的剪力图(图a)。,(
23、2)作各跨分别布满活载时的剪力图(图b、c、d)。,(3)求支座两侧截面的最大、最小剪力值。,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(3)求支座两侧截面的最大、最小剪力值。,例如：,FQB左max= 48+2=46 kN FQB左min= 48+(686)= 122 kN FQB右max=40+(10+60)=110 kN FQB右min=40+(10)=30 kN,土木工程专业系列教材结构力学 出版社 科技分社,(4)用直线连接各跨两端的最大剪力，用另一直线连接各跨两端的最小剪力，即得近似的剪力包络图(图e)。,本章小结 （1）应深入理解影响线的定义，并分清内力影响线与内力图的区别
24、。内力影响线是单位集中荷载FP=1移动时，结构上某指定截面内力随荷载位置而变化的图形；而内力图则是固定荷载作用下，内力沿各截面的分布图形。 （2）作静定结构影响线的方法有静力法和机动法两种。 静力法是绘制静定结构影响线的最基本的方法，应正确和熟练地掌握。静力法求作结构内力(或反力)影响线的基本步骤与求固定荷载作用下结构的内力(或反力)相同，即：取隔离体，把所求内力(或反力)暴露出来，利用平衡方程求该内力(或反力)。所不同的是，单位荷载FP=1的作用位置x是变量，所求出的内力(或反力)是x的函数。把这个函数用图形表示出来，就是该内力(或反力)的影响线。 间接荷载作用下影响线的特点是，在相邻结点之
25、间为直线。利用这个特点，可以方便地绘制间接荷载作用下静定梁内力的影响线。 机动法的理论依据是虚功原理，把画影响线这个静力计算问题转化为画位移图的几何问题。步骤是：先在结构中撤去与量值S相应的约束，代以正方向的约束力S，此时原静定结构成为了一机构(几何可变体系)；令S沿其正方向发生单位位移，画出的机构位移图即为量值S的影响线。需要作静定梁、特别是静定多跨梁的影响线时，机动法尤其显得方便。 需要指出，无论用静力法或机动法作出的静定结构的影响线都是由直线段所组成的。,（3）影响线的应用有两个方面：一是利用影响线求量值，二是确定移动荷载的最不利位置。 在影响线概念的基础上，利用叠加原理，就可求出一组集中荷载或均布荷载作用下的影响量值。 确定移动荷载的最不利位置时应根据荷载和影响线图形的特点判定，与最大影响量值对应的荷载位置即为最不利荷载位置。 （4）超静定结构的影响线也可以用静力法绘制，但较繁琐。本章着重介绍了用机动法作连续梁的影响线形状图，其基本原理和步骤与用机动法作静定梁的影响线相同。只是连续梁撤去与量值S对应的约束后，通常仍为一结构（几何不变体系），其位移图为该结构的挠度图，是一曲线图。 （5）恒载与活载共同作用下各截面最大内力（或最小内力）的连线称为内力包络图，分弯矩包络图和剪力包络图两种。本章分别介绍了简支梁和连续梁内力包络图的作法。内力包络图在工程设计中是很有用处的。,