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1、10.2 一阶微分方程,10.2.1 可分离变量的微分方程,的方程称为可分离变量 的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,形如,例1 求微分方程,解,分离变量,两端积分,例2. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例3. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例 求解微分方程的通解,例. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任
2、意常数 ),所求通解:,解,分离变量法得,所求通解为,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,积分,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,10.2.2 齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,得,可分离变量的方程,1.定义,例4 求解微分方程,微分方程的通解为,解,例5 求解微分方程,解,微分方程的解为,( h, k 为待,*可化为齐次方程的方程：,作变换,原方程化为,令, 解出 h , k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为
3、,令,(可分离变量方程),注: 上述方法可适用于下述更一般的方程,例4. 求解,解:,令,得,再令 YX u , 得,令,积分得,代回原变量, 得原方程的通解:,得 C = 1 ,故所求特解为,思考: 若方程改为,如何求解?,提示:,一阶线性微分方程的标准形式:,上面方程称为齐次的.,上面方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,10.2.3 一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1. 一阶线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,由分离变量法,2. 一阶线性非齐次方程,讨论,两边积分,即非齐次方程通解形式,对照,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,一阶线性非齐次微
4、分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例6,第一步，求相应的齐次方程的通解,解,例6,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,解,例7,例8,解,方程化为,其中,所以,例9 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,即,所求曲线为,例3. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可变形为,所求通解为,*伯努利 ( Bernoulli )方程:,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法
5、:,(线性方程),伯努利,例4. 求方程,的通解.,解: 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,思考与练习:,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,利用变量代换求微分方程的解：,解,代入原方程,原方程的通解为,例11 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,（一阶线性微分方程）,小结:,1.可分离变量的微分方程:,分离变量法,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,可分离变量的微分方程解法：,3.线性非齐次方程,2.齐次方程,齐次方程的解法,线性非齐次方程的解法,思
6、考题,1.求解微分方程,2.方程,是否为齐次方程?,思考题解答,为所求解.,2.方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,例 解方程,例 求方程,1. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,线性方程,利用公式可求出,思考练习题:, 求解微分方程常用的方法之一是通过变量代换将给定的微分方程化成可求解的形式。,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,