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1、2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应；,3. 一阶电路的全响应（三要素法）。,1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；,下 页,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,重点,初始条件的确定,三要素法,含有动态元件电容或电感的电路称动态电路。,特点,1. 动态电路,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,例,过渡期为零,电阻电路,下 页,上 页,7.1 动态电路的方程及其初始条件,K未动作前，电路处于稳定状态,K 接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电
2、容电路,下 页,上 页,K 未动作前，电路处于稳定状态,K 动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态,第三个稳定状态,又有一过渡期,下 页,上 页,K 未动作前，电路处于稳定状态,K 接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路,电感电路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,有一过渡期,下 页,上 页,K 未动作前，电路处于稳定状态,K 断开瞬间,注意工程实际中的过电压过电流现象,下 页,上 页,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发生变化,换路,下 页,上 页,应用KV
3、L和电容的VCR得：,2. 一阶电路及其方程,下 页,上 页,一阶电路,（2）求解一阶微分方程,一阶电路的分析方法,（1）根据KVL、KCL和VCR建立一阶微分方程,下 页,上 页,应用KVL和电感的VCR得：,(1) t = 0与t = 0的概念,认为换路在 t = 0 时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3. 电路的初始条件,初始条件为 t = 0时u ，i 及其各阶导数的值,0,0,下 页,上 页,t = 0+时刻,当 i() 为有限值时,换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,(2) 电容的初始条件,结论,下 页,上 页,当u () 为有限值
4、时,(3) 电感的初始条件,t = 0+时刻,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，电感电流（磁链）换路前后保持不变。,结论,下 页,上 页,（4）换路定律,（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,注意,换路瞬间，若电容电流（或电感电压）保持为有限值，则电容电压（或电感电流）换路前后保持不变。,（2）换路定律反映了能量不能跃变。,下 页,上 页,5.电路初始值的确定,(2) 由换路定律,(1) 由0电路求 uC(0)或iL(0),(3) 由0等效电路求 iC(0),例1,求 iC(0+),电容开路,下 页,上 页,电容用电压源替代,iL(0)= iL(0) =2A,例 2,t =
5、0时闭合开关k , 求 uL(0),先求,由换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,下 页,上 页,求初始值的步骤:,1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2. 由换路定律得 uC(0) 和 iL(0)。,3. 画0等效电路。,4. 由0电路求所需各变量的0值。,b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a. 换路后的电路,（取0时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,下 页,上 页,iL(0) = iL(0) = IS,uC(0) = uC(0) = RIS,uL(0+)= RIS,求 iC(0+) , uL(0+),例3,解,由0电路得：,由0
6、电路得：,下 页,上 页,例4,求K 闭合瞬间各支路电流和电感电压,解,由0电路得：,由0电路得：,下 页,上 页,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。,1. RC电路的零输入响应,已知 uC (0)=U0,特征根,则,零输入响应,下 页,上 页,7.2 一阶电路的零输入响应,代入初始值 uC (0)=uC(0)=U0,A=U0,下 页,上 页,令 =RC , 称为一阶电路的时间常数,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：,连续函数,跃变,（2）响应与初始值成正比，其衰减快慢与RC 有关；,下 页,上 页,时间常数 的大小反映了电路过渡
7、过程时间的长短, = R C, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小,C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大,物理含义,下 页,上 页,工程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。, ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,时间常数 还可以用次切距来获得：,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,t,0 2 3 5,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,下 页,上 页,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。,设uC(0)=U0,电
8、容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,下 页,上 页,例,已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,下 页,上 页,2. RL电路的零输入响应,代入初始值 i(0) = I0,A= i(0)= I0,下 页,上 页,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L / R有关；,下 页,上 页,令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数。,L大 W =Li 2/ 2 起始能量大 R小 P =R i 2 放电过程消
9、耗能量小, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,物理含义,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = L / R,电流初值i(0)一定：,下 页,上 页,（3）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,下 页,上 页,iL (0) = iL(0) = 1 A,例1,t=0时 , 打开开关K，求uv。,电压表量程：50V,解,下 页,上 页,例2,t=0时 , 开关K由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,下 页,上 页,小结,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,一阶电
10、路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R R为换路后与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,下 页,上 页,动态元件初始能量为零，由t 0时电路中外施激励作用所产生的响应。,列方程：,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,1. RC电路的零状态响应,零状态响应,齐次方程通解,非齐次方 程特解,下 页,上 页,7.3 一阶电路的零状态响应,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uC (0)= US
11、 + A = 0,A= US,由初始条件 uC (0)=0 定积分常数 A,的通解,的特解,下 页,上 页,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：,从以上式子可以得出：,连续,跃变,稳态分量（强制分量）,暂态分量（自由分量）,+,下 页,上 页,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定； 大，充电慢， 小充电就快。,（3）响应与外加激励成线性关系；,（4）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,下 页,上 页,例,t =0时 , 开关K 闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电容电压和电
12、流，（2）uC80V时的充电时间t 。,解,(1) 这是一个RC电路零状态响应问题。,（2）设经过t1秒，uC80V,下 页,上 页,2. RL电路的零状态响应,已知 iL(0)=0，电路方程为：,下 页,上 页,例1,t =0时 ,开关K 打开，求t 0 后 iL、uL 的变化规律 。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路。,下 页,上 页,例2,t =0时 ,开关K打开，求t 0后iL、uL的及电流源的端电压u。,解,下 页,上 页,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,以RC电路为例，电路微分方程：,1. 全响应,全响应, A= U0 US,由起始值
13、定A,下 页,上 页,7.4 一阶电路的全响应,2. 全响应的两种分解方式,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),（1）全响应可以分解为暂态分量和稳态分量之和,下 页,上 页,（2）全响应可以分解为零状态响应和零输入响应之和,零输入响应,零状态响应,=,下 页,上 页,零状态响应,零输入响应,下 页,上 页,例1,t =0时 ,开关K打开，求t 0后的iL、uL,解,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,下 页,上 页,例2,t =0时 ,开关K闭合，求t 0后的iC、uC 及电流源两端的电压。,解,稳态分量：,全响应：,A=10,下 页,上 页,3. 三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模
14、型是一阶微分方程：,令 t = 0,其解答一般形式为：,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0等效电路求解,用t的稳态电路求解,用0等效电路求解,下 页,上 页,例1,已知：t =0时开关闭合，求换路后的uC(t) 。,解,下 页,上 页,例2,t =0时 ,开关闭合，求t 0后的iL、i1、i2,解,三要素为：,应用三要素公式,下 页,上 页,例3,已知：t =0时开关由12，求换路后的uC(t) 。,解,三要素为：,下 页,上 页,例4,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i (t) 。,解,三要素为：,下 页,上 页,例5,已知：电感无初始储能，t = 0时合k1 , t =0.2s时合k2，求两次换路后的电感电流i (t)。,0 t 0.2s,t 0.2s,解,下 页,上 页,(0 t 0.2s),( t 0.2s),下 页,上 页,例6 脉冲序列分析,1. RC 电路在单个脉冲作用的响应,(1) 0 t T,下 页,上 页,(2) t T,下 页,上 页,(a) T, uR为输出,uR,输出近似为输入的微分,T,下 页,上 页,(b) T, uC为输出,输出近似为输入的积分,uC,T,下 页,上 页,2. 脉冲序列分析,(a) T,下 页,上 页,(b) T,上 页,