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1、一、 麦克劳林 (Maclaurin) 公式,二、 直接展开法,三、 间接展开法,第五节 函数的幂级数展开,第六模块 无穷级数,泰勒 (Taylor) 公式 如果函数 f(x) 在 x = x0,有直到 (n + 1) 阶的导数，,则在这个领域内有如下公式 :,一、 麦克劳林(Maclaurin)公式,其中,称为拉格朗日型余项 . 式称为泰勒公式 .,就得到,式称为麦克劳林公式 .,幂级数,我们称之为麦克劳林级数 .,那么它是否以函数 f(x) 为和函数呢 ?,即,那么， 级数 收敛于函数 f(x) 的条件为,若令麦克劳林级数 的前n + 1 项和为,注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数 的关系
2、，,可知,反之，若,必有,这表明，麦克劳林级数 以 f(x) 为和函数的充要条件，,这样，我们就得到了函数 f(x) 的幂级数展开式 ：,也表示了函数的 幂级数展开式是唯一的 .,它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 .,幂级数 :,称为泰勒级数 .,利用麦克劳林公式将函数 f(x) 展开成幂级数 的方法，称为直接展开法 .,解,例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.,可以,得到,二、 直接展开法,因此我们可以得到幂级数,显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) .,因为,注意到，对任一确定的 x 值，,而级数 是绝对收敛的，,因此其一般项当 n 时，,所以，当,n 时,
3、由此可知,因此有,解,于是可以得到幂级数,例 2 试将,且它的收敛区间为,因为所给函数的麦克劳林公式的余项为,所以可以推知,因此得到,解,而,所以根据幂级数可逐项求导的法则，,可得,例 3 试求函数,三、 间接展开法,解 注意到,将上式两边同时积分,因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，,所以，上式 右端级数的收敛半径仍为 R = 1;,故收敛域为 1 x 1 .,当 x = 1 时，该级数收敛 .,而当 x = 1 时该级,数发散，,解 因为,所以,且,根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，,故 R = 1，,因此所得幂级数的收敛区间为 1 x 1 .,解 令 x 1 = y ， 则 x = y + 1，,代入得,例 7 将函数,收敛区间为 (0 , 2) .,所以,因,例 8 试将函数,解,则原题就转化成,将函数,于是有,最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面，,以便于读者查用 .,其端点的收敛 性与 m 有关.,最后一个式子称为二项展开式，,收敛区间为 1 , 1,例如当 m 0 时，,当 1 m 0 时，收敛区间为(1 , 1 .,