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1、一、线性组合,二、向量组的等价,3.3 线性相关性,三、线性相关性,四、极大线性无关组,设，,一、线性组合,定义,称 为向量组 的一个线性组合.,注：,1) 若 ，也称向量 与 成比例.,=,存在数,p,使,2）零向量0可由任一向量组的线性表出.,4）任一 维向量 都是向量组,3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.,的一个线性组合,也称为 n 维单位向量组,对任意 皆有,例1 判断向量 能否由向量组 线性表出.,若能，写出它的一个线性组合其中,解：设 ，即有方程组,（1）,对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,所以方程组(1)有解它的一般解为,得(1)的一个解 ，,令,从而有,
2、1、定义,二、向量组的等价,向量组等价.,若向量组 中每一个向量,若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个,可以经向量组 线性表出；,2、性质,向量组之间的等价关系具有：,1) 反身性,2) 对称性,3) 传递性,三、线性相关性,（一）线性相关,注：特殊情形,2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.,定义1：如果向量组 中有一向量,称为线性相关的.,可经其余向量线性表出，则向量组,1）向量组 线性相关 成比例.,定义1：向量组 称为线性相关,如果存在 P 上不全为零的数,线性相关的,使,在 时，定义1与定义1是等价的.证明见p119,注：,例2 判断下列向量组是否线性相关.,定义2：若向量组
3、不线性相关，,若不存在 P 中不全为零的数 ，使,（二）线性无关,即,则称向量组 为线性无关的.,换句话说，,必有,则称向量组 为线性无关的.,1.单个向量线性相关当且仅当它是零向量；,3.向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,单个向量线性无关当且仅当它是非零向量.,个向量可由其余向量线性表出.,（三）线性相关性的有关性质,2.一个向量组中若有零向量，则该向量组一定,线性相关.,4.一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向,量组也线性相关；（部分相关则全体相关）,一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组,都线性无关. （全体无关则部分无关）,5.若向量组,线性无关，则向量组,也线性无关 .
4、,6.向量组线性相关的基本性质定理,定理2 设 与 为两个,i) 向量组 可经 线性表出；,则向量组 必线性相关.,ii),向量组，若,要证 线性相关，即证有不全为零的数,使,证：,由i)，有,作线性组合,中，方程的个数 s 未知量的个数 r ，,所以（3）有非零解.,则也使,推论2 任意 n1 个 n 维向量必线性相关.,推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数,的向量.,（任意 个 n 维向量必线性相关.）,例2 判断向量组,是否线性无关？若线性相关，求一组非零数,使,解：,设,即有方程组,解之得,为任意数,所以 线性相关.,令,则有,使,设,即,解之得,证：,1、极大线性无关组,极大
5、线性无关组，简称极大无关组.,定义,线性表出；,四、极大线性无关组 向量组的秩,1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.,注,3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.,4）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,5）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同 个数的向量.,2）向量组和它的任一极大无关组等价.,（根据定理2的推论1即得）,定义 向量组的极大无关组所含向量个数称为这个,性质：,一个向量组线性相关的充要条件是,它的秩与它所含向量个数相同；,它的秩它所含向量个数.,向量组的秩.,2、向量组的秩,1）一个向量组线性无关的充要条件是,2）等价向量组必有相同的秩.,（习题10）,例4 设
6、,1）证明： 线性无关.,2）把 扩充成一个极大无关组.,1）证：,由于 不成比例，,2）解：,线性无关.,由,即,线性相关.,即 可经 线性表出.,由,解得,线性无关.,即 不能由 线性表出.,即,知，,再由行列式,存在不全为零的数 使,线性相关.,故 即为由 扩充的一个极大无关组.,例5 求向量组,的极大无关组.,解：,作矩阵,对矩阵A作初等行变换化阶梯形,由矩阵 B 知 线性无关且为极大无关组.,注,求向量组 的极大无关组的一般步骤：,则 就是一个极大无关组.,第一步：作矩阵,或,为列向量时,为行向量时,第二步：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵 J .,若 J 中有 r 个非零行，则秩,设 J 中第 i 个非零行第一个非零元所在列标号为,