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15.2 以2L为周期的傅氏级数,一、以2L为周期的傅立叶级数,二 、偶函数与奇函数的傅立叶级数,一、以2L为周期的傅氏级数,本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式,(1),其中,(2),于是由(1)与(2)式分别得,(3),(4),定理,则有,则有,证明,解,解,另解,设 是以 为周期的偶函数,或是定义在,上的偶函数,则称,为 的余弦级数,其中,若 是以 为周期的奇函数,或是定义在 上的,的奇函数,则称,为 的正弦级数,其中,二 偶函数与奇函数的傅立叶级数,若将定义在 (或 )上的函数 展成余弦 级数或正弦级数,先把定义在 (或 )上的函数作 偶式延拓或作奇式延拓至 (或 ),设函数,求 的Fourier级数展开式.,是 上的偶函级,其周期延拓后(如下图),x,y,o,由于 是按段光滑函数,故可展开成余弦级数.,因为,所以,把 在 内展成,(i) 正弦级数; (ii) 余弦级数.,(i) 为了把 展成正弦级数,对 作奇式周期延拓,则,所以当 时,由收敛定理 得,(ii) 为了把 展成余弦级数,对 作偶式周期延拓如下图:,则,三、小结,利用变量代换求傅氏展开式;,求傅氏展开式的步骤;,1.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);,2.求出傅氏系数;,3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于,以2l为周期的傅氏系数;,