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1、用Matlab求解差分方程问题,一、一阶线性常系数差分方程 二、高阶线性常系数差分方程 三、线性常系数差分方程组,一、一阶线性常系数差分方程,濒危物种的自然演变和人工孵化 问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。,模型建立,记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2 已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然环境下 r=0.019
2、4, -0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况,Matlab实现,首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end,在command窗口里调用sqh函数,k=(0:20); y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round(k,y1,y2,y3),To Matlab（ff6）,利用plot 绘图观察数量变化趋势,可以用不同线型和颜色绘图 r g b
3、c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型,plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图,plot(k,y2,:) plot(k,y2,-) plot(k,y2,r) plot(k,y2,y) plot(k,y2,y,k,y1,:) plot(k,y2,k,y1,:) plot(k,y2,oy,k,y1,:) 用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。,To Matlab（ff6）,人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察
4、在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化 Xk+1=aXk +5 ,a=1+r 如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令 Xk+1=aXk +b ,a=1+r,function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end,k=(0:20) ; %一个行向量 y1=(20,-0.0324,5); %也是一个行向量 round( k , y 1 ) %对k,y1四舍五入，但 %是 不改变变量的值 plot( k , y1) %k y1 是行向量列向量都可以 也可以观察20年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察
5、每年孵化数量变化的影响。,To Matlab（ff7）,高阶线性常系数差分方程,如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述,一年生植物的繁殖,一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，没被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。,模型及其求解,记一棵
6、植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。 设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由 Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同
7、时，种子繁殖的情况。在这里假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20 这样可以用matlab计算了,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,function x=zwfz(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b*c; q=a2*b*(1-a1)*b*c; x(1)=x0; x(2)=p*(x(1); for k=3:n x(k)=p*(x(k-1)+q*(x(k-2); end,k=(0:20); y1=zwfz(100,21,0.18); y2=zwfz(100,21,0.19); y3=zwfz(1
8、00,21,0.20); round(k,y1,y2,y3); plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o), gtext(b=0.18); gtext(b=0.19); gtext(b=0.20),To Matlab（ff8）,结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2 (1) x1+px0=0 (2),差分方程的特征方程 差分方程的特征根： 方程(1)的解可以表为 C1,c2 由初始条件x0,x1确定。,本例中，用待定系数的方法可以求出 b=0.18时, c1=95.64, c2=4.36 ， 这样 实际上， 植物能一直繁殖下去的条件是b0.191,线性常系数差分方程组,汽车租赁公司
9、的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,0.6,0.3,A B C A B C A B C,假设在 每个租 赁期开 始能把 汽车都 租出去， 并都在 租赁期 末归还,0.1,0.7,0.2,0.1,
10、0.6,0.3,0.1,模型及其求解,记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3),用矩阵表示 用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况,function x=czqc(n) A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6; x(:,1)=200,200,200; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); end 如果直接看10年或者20年发展趋势，可以
11、直接在命令窗 口（commond window）作，而不是必须编一个函数,A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6; n=10; for k=1:n x(:,1)=200,200,200; x(:,k+1)=A*x(:,k); end round(x),作图观察数量变化趋势,k=0:10; plot(k,x) ，grid gtext(x1(k), gtext(x2(k), gtext(x3(k),可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120 可以考察这个结果与初始条件是否有关 若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市
12、汽车数量趋于稳定，与初始值无关,直接输入x（:,1）的值即可,x(:,1)=600,0,0; round(x); plot(k,x),grid,6.6 按年龄分组的人口模型,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象.,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di,假设 与 建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种
13、群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),按年龄分组的种群增长,野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率，死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。 将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,模型及其求解,设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记i=1,2,，n,时段记作k=0,1,2,且年龄组区间与时段长度相等(若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段)。以雌
14、性个体为研究对象 记在时段k第i年龄组的数量为xi(k);第i年龄组的繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第i年龄组死亡率为di，表示一个时段内死亡数与总数的比，si=1-di是存活率。,记在时段k种群各年龄组的数量为 X(k)=x1(k),x2(k),xn(k),这样，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1, 给定在0时段，各年龄组的初始数量x(0) 就可以预测任意时段k,各年龄组的数量 设一种群分成5个年龄组， 繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2 存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1 各年龄组现有数量都是100只，
15、用matlab计算x(k),b=0,0.2,1.8,0.8,0.2; s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1); L=b;s,zeros(4,1); x(:,1)=100*ones(5,1); n=30; for k=1:n x(:,k+1)=L*x(:,k); end round(x) k=0:30; subplot(1,2,1),plot(k,x),grid,To Matlab（ff9）,将x(k)归一化后的向量记做x(k),称为种群按年龄组的分布向量，即各年龄组在k时段在数量上占总数的百分比。 y=diag(1./sum(x) ;% sum(x)对列求和 Z=x*y Subplot(1,2,2),plot(k,z),grid 结果分析：时间充分长以后，种群按年龄组的分布x(k)趋向稳定。,To Matlab（ff9）,