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1、用三垂线定理求二面角,立体几何多媒体课件,温州育英国际实验学校 刘强,祝各位老师： 工作开心，万事如意！ 请各位老师： 多多指导，共创教育辉煌！ 祝同学们： 努力学习，前程万里！,用三垂线定理作,二面角的平面角,复习导入,1什么是二面角的平面角？,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,P,A,B,2作二面角的平面角主要有哪几种方法？,定义法,a,b,垂面法,A,H,B,三垂线法,以后我们还将学习投影法和异面直线距离法等方法，今天我们主要学习用三垂线定理求二面角的大小。,用三垂线定理作二面角的平面角的方法与步骤,1回顾三垂线定理;
2、,A,O,a,三垂线定理包含四线一面以后称这个平面为基面,b,A,H,B,2方法与步骤,确定基面,在另一平面 内 选取适合的点A向基面 作垂线AH。,向棱作垂线HB，连结AB。,这其中确定 、A、H三元素是学习难点，希望努力掌握。,特别注意垂足H的正确位置。,ABH就是二面角 的平面角。,实例分析,1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ， E为D1C1的中点，求二面角EBDC的大小,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面
3、角,BC = 1，CD = 2，,而EF = 1，在EFG中,所求二面角大小为, ABCDA1B1C1D1是长方体， EF平面BCD，且F为CD中点，,过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD（三垂线定理）,M,课堂练习,1如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB的中点，求二面 角A1MCA的大小,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结A1H,平面ABCD,解：作AHCM交CM的延长线于H，连 结A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，A1HCM，,A1HA为二面角A1CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中
4、点，且AMCD，则在 直角AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = ,二面角A1CMA的大小为,课堂练习,2已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点, 且PA= PB = PC = AC = 8, 求二面角PACB的平面角的正切值.,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB2 = AC2 + BC2，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,将此题作为课外作业完成。,PA = PB = PC，PAMPCM
5、PMAM，PMCM， PM平面ABC,连结CM，AM = BM = CM，,课时小结,求二面角的大小关键是选取恰当的位置作出二面角的平面角，而用三垂线定理求作二面角的平面角是最常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤： （1）在二面角的两个面内选取基面； （2）在另一面内选点向基面作垂线，此时要注意垂足的确切位置； （3）过垂足向二面角的棱作垂线，作出平面角。,课后作业,2已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点, 且PA= PB = PC = AC = 8, 求二面角PACB的平面角的正切值.,3已知C是以AB为直径的圆周上一点， ABC=30， PA平面ABC，PBA=45，求二面角APBC的平 面角的正弦值。,1如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面 内，AC、BC 与平面 所成角分别为 和 ，求ABC所在平面与 所成的二面角的大小,1题图,2题图,3题图,谢谢各位老师和同学！,再见！,