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1、,4.4 因式分解的简单应用,2、因式分解的主要方法：,（）提取公因式法：,（）公式法：,应用平方差公式：,应用完全平方公式：,一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.,1、因式分解概念：,温故知新,将下列各式因式分解： (1）xy+2x2y+x3y （2）2 a4b8a2b （3）16x481,热身练习,（1）原式=xy（1+x）2,（2）原式=2a2b（a+2）（a-2）,（3）原式=（2x-3）（2x+3）（4x2+9）,将下列各式因式分解,热身练习,1、已知 a、b、c为三角形的三边，试判断 a2 -2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？,解: a2 -2ab+b
2、2-c2 =(a-b)2 -c2,因此 a2 -2ab+b2-c2小于零。,即：(a-b+c)(a-b-c) 0, a-b+c0 a-b-c 0, a+c b ab+c, a、b、c为三角形的三边,=(a-b+c)(a-b-c),拓展提高：,2、如图，现有正方形纸片张，长方形纸片张请将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式 因式分解,拓展提高：,3、已知：x=2004, 求4x2-4x+3-4x2 +2x+2+13x+6的值。,解: 4x2 - 4x+3= (4x2 - 4x+1)+2 = (2x-1)2 +2 0,x2 +2x+2 = (x2 +2x+1)+1 = (x+1)2
3、+10, 4x2 -4x+3 -4 x2 +2x+2 +13x+6,= 4x2 - 4x+3 -4x2 -8x -8+13x+6,= x+1,即：原式= x+1=2004+1=2005,= 4x2 - 4x+3 -4(x2 +2x+2 ) +13x+6,拓展提高：,十字相乘法分解因式,分解因式：,这说明二次三项式不一定能用完全平方公式分解因式，下面来介绍一种新方法.,(3a+b)2,1. 9a2+6ab+b2 =,知识回顾,(a-2b)2,2. a2-4ab+4b2 =,3. a2-4ab+3b2 =?,x2+px+q,p = a+b,x2+(a+b)x+ab,q = ab,=(x+a)(x+
4、b),(x+a)(x+b)=,x2+(a+b)x+ab,反过来,x2+(a+b)x+ab,=(x+a)(x+b),把下列各式分解因式：,1x2-6x-7=,2. x2+6x7=,例1,3. x2+8x+15=,4. x2-8x+15=,你能找到分解时的 符号有什么规律吗？,常数项是正数时，应分解成两个 因数，它们的符号与 的符号相同；,常数项是负数时，应分解成两个 因数，其中 与一次项系数的符号相同；,同号,一次项系数,异号,绝对值较大的因数,符号规律,把下列各式分解因式：,1x2-4x+3=,2. x2+x30=,练习,3. x2-2x-15=,4. x2+14x+24=,5. x2+14x
5、+49=,在把x2+px+q分解因式时，我们还可以利用图式来帮助分解：,1x2-5x-14=,2. x2-3xy+2y2=,2-7=-5,1 1,12=3,1 1,通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法,用十字相乘法把下列各式分解因式：,1x2-7x+12,4. x2-2xy-48y2,练习,-3-4=-7,1 1,86=2,1 1,例1 把 2x2-7x+3分解因式：,1 2,2+3=5,1 2,6+1=7,23=5,1 2,1 2,61=7,2=12,3=13 =(-1) (-3),例题,1 2,23=1,解： - 2+3=1, 2a2+a-3=(a-1)(2a+3
6、),1 2,2 +3= 1,二次项系数为正数时,常数项是正数时，分解成的两个因数应取 ，它们的符号与 的符号一致,常数项是负数时，分解成的两个因数应取 ，交叉相乘时 的符号应与一次项系数一致,一次项系数,同号,异号,乘积中绝对值较大的数,练习,用十字相乘法分解因式：,12x2+3x+1,23a2-7a-6,解：,-6x2+7x+5= -(6x2-7x-5),用十字相乘法,把 6x27x5 分解因式，得,6x27x5 =, 6x2+7x+5= (2x+1)(3x5),2 3,10+3= -7,(2x+1)(3x5),练习,用十字相乘法分解因式：,解： 2x2+5x+12,(2x25x12), (x4) (2x+3),解： 6x2+13xy5y2,(6x213xy+5y2),(2xy)(3x5y),2 3,-10-3= -13,1 2,-8+3= -5,=(2a+2b-1)(a+b+3),= (4x2-1)(x2+1),= (2x2-1) (2x2+1)(x2+1),=2(a+b) -1(a+b)+3,思考题,分解因式：,2(4x2+1)2- 2x(4x2+1) -40x2,= 2(4x2+1)2-x(4x2+1) -20x2,= 2(4x2+ 1+ 4x)(4x2+1 -5x),= 2(2x+1)2(4x -1)(x -1),