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1、勾股定理,石斋中学 黄顺炎,1. 受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的 顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？,D,A,2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）,如图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用彩色画出的三个三角形，完成填空： 红色正方形面积为（ ）平方格，用它的边AB表示为（ ）； 蓝色正方形面积为（ ）平方格，用它的边BC表示为（ ）； 白色正方形面积为（ ）平方格，用它的边AC表示为（ ）。 谁能告诉我这三个正方形的面积之间存在的数量关系？,A,B,C,结论： AB2 +BC2 =AC2 在等腰直角ABC三角形中， 两条直角边
2、的平方和等于斜边的平方,BC2,AB2,AC2,观察与思考：,1,1,2,A,A,B,B,C,C,图3,图4,（每一个小方格代表1个单位面积）,观察左边图3、图4完成下表：,探究与实践,试一试,观察右图，小组内讨论合作完成下面的填空： （1）正方形P中有 小方格，它的面积= 平方厘米； （2）正方形Q中有 小方格，它的面积= 平方厘米； （3）正方形R的面积= 平方厘米。,A,B,C,R,Q,P,议一议：（1）通过上面的分析，你能发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系吗？ ； （2）你以发现直角三角形的三边的长度之间的关系吗？与同伴交流。 。,（每一格表示1平方厘米）,Sp+Sq=Sr 即AB
3、2 +BC2 =AC2,在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方,9,16,25,9,16,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,结论变形,直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；,c2=a2 + b2,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾“，下半部分称为“股“。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.,千古第一定理,数与形的第一定理,导致第一次数学危机,数学由计算转变为证明,是第一个不定方程,毕 达 哥 拉 斯 定 理,勾股（商高）定理,勾股定
4、理的历史,勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得在巨著几何原本中给出一个很好的证明。中国古代对这一数学定理的发现和
5、应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的
6、勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。,勾股定理的证明,据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。 . 【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请
7、问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”,小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来
8、，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。,有趣的总统证法,1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？,应用知识回归生活,D,A,2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）,G,F,E,探究2,A,C,O,B,D,一个5.41m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, 求OB的距离？ 如果梯
9、子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?,2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离,40,应用知识回归生活,1、已知：a3， b4，求c,2、已知： c 10，a6，求b,1、已知：C90a：b3：4， c10，求a和b,2、已知：ABC，ABAC17，BC16，则高AD，SABC,例2：等边三角形ABC的边长是6cm (1)求高AD的长 (2) 求 SABC,A,C,B,D,勾股定理的应用,想一想,我们有:,好奇是人的本性!,46,b=58,a=46,58,c,c2=a2+b2 =462+582 =5480,而742=5476,由勾股定理得：,在误差范围内,课后探索,做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。,1这节课你学到了什么知识？,小 结：,3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？,2 运用“勾股定理”应注意什么问题？,勾股小常识：勾股数 1、 a+b =c，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.如：3、4、5 ; 5、12、 13;6、8、10；7、24、25 2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15 3、一组勾股数中必有一个数是5倍数。,