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1、7.3 循环群与置换群,一、循环群 定义7.3.1 设(G ,)是一个群，H G, 若G的元素均可由H中的若干元素经过有限次的二元运算而得到，则称子集 H生成群(G,)，并将生成群的子集中最小的称为群(G,)的生成元集。 注意：生成元集不一定唯一！其最小性是相对于集合的基数而言。,定义7.3.2 若群( G,)的生成元集为 g ，则称G为循环群， g称为G的生成元，并记 G = 。 同半群时的讨论类似， G = gk | k Z (其中可能有相同的元素) 循环群是可交换的。,例7.3.1 整数加群(Z, +)是一个循环群，其生成元为1或-1，即Z =或Z = 。 例7.3.2 模 n的剩余类加
2、群(Zn, +n)是一个循环群。 pnZn是Zn的一个生成元当且仅当 p与 n互素。 注意：做为群的生成元集与半群的生成元集之间的差异！,定理7.3.1 循环群( G,)的阶= G的生成元 g的阶。 证. 设群 G的阶=m, G的生成元 g的阶=n。分二种情形： n，在G = gk | k Z 中, gs = gt st (mod n) . 若 gs= gt，即 gs-t=e，则s-t=nq。 反之，若s-t=nq，则 gs= gnq+t = gt。 因此 G = g0, g, g2, gn-1，故m=n； n=，在G = gk | k Z 中，假若 gs= gt，则有gs-t=e因此 G没有
3、相同的元素，故 G的阶 m= 。,循环群是交换群。 若( G,)为循环群， g为G的生成元，则G的结构在同构的意义下完全由 g的阶所确定： （1）若 g的阶= n，则 ( G,) (Zn, +n)； （2）若 g的阶=，则 ( G,) (Z , + )。 例如： (AF ,) (Z3, +3),证. （1）注意到，在G = gk | k Z 中, gs= gt st (mod n)。 作映射 f : G Zn , f ( gk )=kn ， 则 f 是双射。 又 f (gsgt )= f (gs+t )=s + t n =sn +n tn 即 f 是同构，故( G,) (Zn, +n) 。 （
4、2）作映射 f : G Z , f ( gk )=k ， 则 f 是同构，故 ( G,) (Z , + )。,二、置换群,定义7.3.3 设 S为集合，称映射 : S S 为 S上的一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。 定理7.3.2 设 G为集合 S上全体变换的集合，则(G ,)是一个含幺元 e的半群，其中运算 是复合运算，e 为S上的恒等变换。,定理7.3.2 设T(S)为集合 S上所有的双射变换，则(T(S),)是一个群。 设 S上的若干个双射变换组成的集合G关于 构成一个群，则称 G为 S上的一个变换群。 集合 S上双射变换的集合G关于 构成一个群的充要条件是下面二个条件成立：
5、 （1）G关于运算是封闭的， （2）对g G，必有 g-1 G。,例. (GF ,) 和 (AF ,)都是平面上的变换群。 例7.3.4 在已建立平面直角坐标系的平面上， 用p表示平移：p (Q)= Q +P； 用表示绕坐标原点的旋转。 一般地， p p 。 比如取P =(0,1)， = ，则有： 故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群。,定理7.3.3 任意一个群都同构于一个变换群。 证. 设( G, )是群，g G。 定义变换 Tg: G G, a ga 。 压缩或平移变换 下面证明 ( T(G ),) 是群，其中 T(G ) = Tg| g G ： 若Tg( a) = Tg( b),
6、 则 ga = gb, 由消去律得 a = b, Tg是单射; 对c G, 有d= g-1c G，满足 Tg(d ) = c ，Tg 是满射。 又TgTh(a) = Tg(Th(a) = Tg(ha)= gha = Tgh(a) T(G ) , 而TgTg-1(a) = gg-1a = a = g-1ga = Tg-1Tg(a), 即Tg-1=Tg-1 . 综合上述结论可知：( T(G ),) 是一个变换群。,再证明 ( G, ) ( T(G ),) 作映射 f : G T(G), g Tg 显然 f 是一个满射, 若Tg = Th，则 Tg( a) = Th ( a)，即 ga = ha ，
7、 由消去律得 g = h，故 f 是单射。 而Tg h ( a) = (gh)a = TgTh( a) , 故 f ( g h) = Tg h = TgTh ，即 f 保持运算。 综上所述知：( G, ) ( T(G ),),定义7.3.4 设 S为含n个元素的有限集合，是 S上的一个双射，则称 是 S上的一个 n元置换。 S上的若干个置换关于运算构成的群，称为 n元置换群；S 上的全体置换构成的群，称为 n次对称群，记为Sn n次对称群的阶是 n! 。,设有限集合S = a1, a2,an上一个置换， : S S , ai aj ( i =1, 2, ) 则置换 完全由有序整数对 (1, j
8、1), (2, j2), , (n, jn) 所决定，于是可以将置换表示为：,通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作: : i j , ( i =1, 2, ),或,例7.3.5 设有限集合S = a1, a2, a3，则 S上的每一个置换可以用六种不同的方式来表示。比如， : a1 a2 , a2 a3, a3 a1 , 可以表示为：,通常还是用,来表示。,通常还是用,通常还是用,例. 3次对称群S3 中有6个元素，分别是,规定两个置换的复合运算 为 (i)= ( ( i ) 例7.3.6 设 ，则,于是 ，即 S3不是交换群。 实际上， S3是最小的有限非交换群，以后可以知道一个有限的
9、非交换群至少要含有6个元素。,定义7.3.6 设 Sn, : i1 i2 , i2 i3, , ik i1 ，并使其余的元素保持不变，则称 为一个k循环置换，记为(i1 i2 i3 ik ) 。 由于(i1 i2 i3 ik ) = (i2 i3 ik i1 ) = = (ik i1 i2 ik-1 ), 因此一个k循环置换有 k种表示方式，且k循环置换的阶为k。 1循环置换只有 1 种表示方式，即恒等置换； 2循环置换又称为对换。 注意，并非每一个置换都是循环置换！,例7.3.7 在 S3中，我们有,而,定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循环置换的复合。 证. 对元素的个
10、数 n作归纳法。n=1 定理成立。 假设对n-1个元素的置换来说定理成立，考虑 n元置换,不妨设 : 1 j1 , j1 j2 , , jk 1 , 于是置换 可改写为,而置换,是个n-1元的置换，根据归纳法假设，她可以分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。当然，这些循环置换都可以看作n个元素的循环置换。因此， 就分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。,注意，不含公共元素的循环置换的乘法是可交换的。,例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为：
11、(1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)(34), (13)(24), (14)(23)。,注意到 (i1 i2 i3 ik ) = (i1 i2)(i2 i3)(ik-1 ik) = (i1 ik)(i1 ik-1)(i1 i2) 即一个循环置换可以分解成若干个对换的乘积，但表示法是不唯一的。,例如，,推论 任一置换都可以分解成若干个对换的乘积，且 所含对换个数的奇偶性是确定的。,若置换 可以分解成奇数个对换的乘积，则称 为 奇置换，否则，称 为偶置换。,二个偶置换的乘积是偶置换；二个奇置换的乘积是偶置换；奇置换与偶置换的乘积是奇置换。 奇置换的逆是奇置换；偶置换的逆是偶置换。 n 次对称群 Sn中全体偶置换构成一个群，称为n 次交代群，记为 An 。 A3 = (1), (123), (132) ,定理7.3.6 任一个有限群都同构于一个置换群。 证. 因为有限群( G, )同构于一个变换群( S,)，于是G与S对等，即S是有限集，故( S,)为置换群。,