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1、4.3 旋转曲面,一、旋转曲面的有关概念,S,l,定义1 在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲面 S 称为旋转曲面（或回转曲面）, 称为旋转曲面的母线,l 称为旋转曲面的旋转轴,纬圆, 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线,说明： 纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线,S,一、旋转曲面的有关概念, 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线, 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。,l,M,经线,二、旋转曲面的方程（直角坐标系）,设旋转曲面的母线 ，,旋转曲面的一般方程,注： 写出这母线上任意一点 的纬圆方程
2、或母线族 写出参数 的约束条件 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）,旋转轴为直线,当 M1 遍历整个母线 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面,l,M1,S,例1 求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面的方程,母线不是经线,注：为方便，今后将取旋转曲面的某一条经线作为它的母线。,单叶旋转双曲面,二、旋转曲面的方程（直角坐标系）,例2 设母线 ， 绕 z 轴旋转所得的旋转面方程； 绕 y 轴旋转所得的旋转面方程,规律： 一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时， 为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标,二、旋转曲面的方程（直角坐标系）,b,例3 （1） 将双曲线 绕虚轴 （即 轴）旋转,单叶旋转双曲面,二、旋转曲面的方程（直角坐标系）,y,0,.,例3 （2） 将双曲线 绕实轴 （即 轴）旋转,双叶旋转双曲面,b,二、旋转曲面的方程（直角坐标系）,y,.,o,x,z,.,例4 将抛物线 绕它的对称轴旋转,旋转抛物面,二、旋转曲面的方程（直角坐标系）,.,例5 将圆 绕 z 轴旋转,二、旋转曲面的方程（直角坐标系）,