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1、选修4-4 坐标系与参数方程,第一节 坐 标 系,三年16考 高考指数: 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中求简单曲线（如过极点的直线、过极点的圆或圆心在极点的圆）的极坐标方程.,1.直线和圆的极坐标方程是高考考查的重点； 2.极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及其综合应用是难点； 3.高考考查极坐标方程多以解答题的形式考查，属低、中档题.,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，
2、点P(x,y)对应到点 P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 称 .,伸缩变换,【即时应用】 在平面直角坐标系中，已知变换: 则 点P(3,2)经过变换后的点的坐标为_; 椭圆 经过变换后的曲线方程为_.,【解析】点P(3,2)经过变换后得到 所以点P(3,2)经过变换后的点的坐标为(1,1). 由变换: 得到 代入椭圆的方程 化简，得x2+y2=1,即x2+y2=1. 答案：(1,1) x2+y2=1,2.极坐标系与点的极坐标 （1）极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做 ，自极点 O引一条射线Ox,叫做 ；再选定一个长度单位、一个角度 单位（通常取弧度）及其 （通常取逆时针方
3、向），这 样就建立了一个极坐标系. （2）点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设 |OM|=（0），以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为 ，则点M可用有序数对 表示.,极点,极轴,正方向,（,）,（3）极坐标与直角坐标的互化公式： 设点P的直角坐标为（x,y），它的极坐标为（，），则其 互化公式为,【即时应用】 (1)思考：若0,02,如何将点的直角坐标（-3， 4）化为极坐标？ 提示：由 得2=x2+y2=25,tan= 由于点(-3,4)在第二象限，故为钝角， 所以点(-3,4)的极坐标为点(5,),其中为钝角，且tan= .,(2)判断下列命题是否正确.（请在括号中填写“”
4、或“”） 极坐标系中点M的极坐标是惟一的 ( ) 极坐标为（2， ）的点在第一象限 ( ) 极坐标系中，点（3， ）与点（3，- ）相同 ( ),【解析】极坐标系中的点，当0,2)时，除极点以 外，M的极坐标才是唯一的，当R时，M的极坐标不唯一， 故不正确； 点的极坐标（2， ）中，极角的终边在第二象限，极径大 于0，故点在第二象限，故不正确； 极坐标系中，点（3， ）与点（3，- ）的极角的终边相 同，极径相等，两点相同，所以正确. 答案： ,3.直线的极坐标方程 (1)特殊位置的直线的极坐标方程：,过极点， 倾斜角为,= _(R)或=_ (R) (=_和=_ (0),过点(a,0), 与极
5、轴垂直,_=a,+,+,cos,_=a (0),过点(a, ), 与极轴平行,sin,(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(0， 0)，且极轴到此直线的角为 ，直线l的极坐标方程为： sin(-) = .,0sin(0-),【即时应用】 判断下列命题是否正确.（请在括号中填写“”或“”） （1）过极点的射线l上任意一点的极角都是 ，则射线l的极坐 标方程为= （0）. ( ) （2）过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程为= (0). ( ),【解析】根据极径的意义=|OM|，可知0；若0，则 -0，规定点M（,）与点N（-,）关于极点对称， 所以可得， （1）过极点的射线l上任意
6、一点的极角都是 ，则射线l的极坐 标方程为= （0）. 所以（1）正确. （2）过极点，倾斜角为 的直线分为两条射线OM、OM，它 们的极坐标方程为= 、= （0），所以过极点，倾 斜角为 的直线的极坐标方程为= 和= （0）（也 可以表示为= （R）.所以(2)不正确. 答案：（1） (2),4.半径为r的圆的极坐标方程 （1）特殊位置的圆的极坐标方程：,（0，0）,(r,0),=_ (02),r,=_,2rcos,(r,),=2rsin (0),(r, ),=-2rcos,=-2rsin (2),(r, ),（2）一般位置的圆的极坐标方程：若圆心为M(0,0)，半径 为r，则圆的极坐标方程
7、是2-20cos(-0)+02-r2=0.,【即时应用】 （1）极坐标方程=4sin（0，0）表示曲线的 中心的极坐标为_. （2）圆心为（2, ），半径为3的圆的极坐标方程为_.,【解析】(1)曲线=4sin，由特殊位置圆的极坐标方程得半 径为2，所以曲线的中心为(2, ). （2）圆心（2， ）的直角坐标为（ ），且半径为3， 所以圆的直角坐标方程为（x+ ）2+（y- ）2 =9， 即x2+y2+2 x-2 y-5=0. 由公式 得圆的极坐标方程为 2-4cos(- )-5=0. 答案：(1)(2, ) (2)2-4cos(- )-5=0,伸缩变换 【方法点睛】 伸缩变换公式的应用 （1
8、）平面直角坐标系中，点P（x,y)在变换 的作用下，得点P(x,y)，变换简称为伸缩变换. （2）求曲线经过伸缩变换公式变换后的曲线方程时，通常运用“代点法”，一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系，这可以通过上标符号进行区分.,【例1】（1）求正弦曲线y=sinx按 变换后的函数 解析式； (2)将圆x2+y2=1变换为椭圆 的一个伸缩变换公式为 求、的值.,【解题指南】设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为 P(x,y)，变换后对应的点为P(x,y)，代入伸缩变换公式 即可.,【规范解答】（1）设点P(x,y)为正弦曲线y=sinx上的任意 一点，在变换: 的作用下，点P(x,
9、y)对应到点 P(x,y)，即 ，代入y=sinx得2y=sin3x， 所以y= sin3x，即y= sin3x为所求.,（2）将变换后的椭圆 改写为 ，伸缩变 换为 代入上式得 即 与x2+y2=1比较系数得,【反思感悟】1.曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时需要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P的坐标(x,y),再利用伸缩变换公式 建立联系即可. 2.已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(x,y)=0，再利用换元法确定伸缩变换公式.,【变式训练】(1)求将正弦曲线y=sinx变换为曲线y=2sin3x的 伸缩变换公式； (2
10、)求将圆x2+y2=1按照伸缩变换公式 变换后所得椭圆 的标准方程和焦距. 【解析】(1)将变换后的曲线y=2sin3x改写为 y=sin3x, 令 即得伸缩变换公式,(2)将圆x2+y2=1按伸缩变换公式 变换后所得椭圆的方 程为 即 . a2=25,b2=9, c2=a2-b2=25-9=16. c=4,2c=8. 即所得椭圆的标准方程为 ,焦距为8.,极坐标与直角坐标的互相转化 【方法点睛】 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个基本条件 (1)取直角坐标原点为极点； (2)x轴非负半轴为极轴； (3)规定长度单位相同,2.极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为（x,y），它的极坐标
11、为（,），根据三角函数的定义，当0时，有： （极坐标化为直角坐标公式）； （直角坐标化为极坐标公式）.,【提醒】当0时,公式也成立, 因为点M（,）与点 M（-,）关于极点对称，即点M的极坐标也就是（-, +），此时，有,【例2】(1)将点的极坐标(2, )化为直角坐标； （2）若0，02，将点的直角坐标（-2,2）化为极 坐标； 【解题指南】由公式 将极坐标化为直角坐标，由公 式 将直角坐标化为极坐标.,【规范解答】（1）x=2cos =- ，y=2sin =-1， 点的极坐标(2, ）化为直角坐标为(- ,-1). （2）2=x2+y2=8，tan= =-1，且角的终边过点（-2， 2），
12、 =2 ，= ， 点的直角坐标（-2，2）化为极坐标为(2 , ).,【反思感悟】1.在把点P的直角坐标（x,y）化为极坐标(,)，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边过点（x,y），以便正确地求出02内的角. 2.过极点的倾斜角为 的直线的极坐标方程可以表示为= (R)，也可以表示为= 和= (0).,【变式训练】（1）极坐标系中，求直角坐标为(-1, )的点的极径和极角. 【解析】直角坐标为(-1, )的点到极点的距离为 =2，又tan=- , 且点在第二象限，得=2k+ ,kZ. 于是点(-1, )的极坐标为（2，2k+ ）(kZ)， 所以此点的极径为2，极角为2k+ (kZ)
13、.,(2)判断极坐标方程=sin-2cos所表示曲线的形状. 【解析】极坐标方程=sin-2cos，即2=sin-2cos,化为直角坐标方程为x2+y2=y-2x,即(x+1)2+(y- )2= ,这是直角坐标系中，圆心坐标为(-1, ),半径为 的圆.,【变式备选】1.将极坐标方程=sin化为直角坐标方程的标准形式. 【解析】由极坐标方程=sin,得2=sin,化为直角坐 标方程为x2+y2=y,即 2.将直线方程x-y=0化为极坐标方程. 【解析】将直线方程x-y=0化为极坐标方程为cos- sin=0,即tan=1, (R).,极坐标方程的综合题 【方法点睛】 直线与圆的综合问题 （1）
14、直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交. 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有:,无,dr,一个,d=r,两个,dr,(2)若直线与圆相交于点A、B,圆的半径为r，圆心到直线AB 的距离为d，则弦长公式为|AB|=,【例3】在极坐标系中，已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为 =2sin与cos=-1（02），求： （1）两曲线（含直线）的公共点P的极坐标； （2）过点P被曲线C1截得弦长为 的直线的极坐标方程. 【解题指南】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 求点的极坐标； （2）利用数形结合思想，转化为几何性质解决.,【规范解答】(1)由公式 得曲线C1：=2sin与C2
15、： cos=-1（02）的直角坐标方程分别为x2+y2=2y,x= -1联立方程组，解得 由公式 得点P（-1，1）的极坐标为（ ， ）,（2）方法一:由（1）可知，曲线C1： =2sin即圆x2+(y-1)2=1，如图所示， 过P（-1，1）被曲线C1截得弦长为 的 直线有两条： 一条过原点O，倾斜角为 ，直线的普通方程为y=-x，极坐标 方程为= （R）； 另一条过点A（0,2），倾斜角为 ，直线的普通方程为y=x+2， 极坐标方程为(sin-cos)=2，即sin(- )= .,方法二：由（1）可知，曲线C1：=2sin即圆x2+(y-1)2=1， 过点P（ ， ）被曲线C1截得弦长为
16、的直线有两条：一 条过原点O，倾斜角为 ，极坐标方程为= （R）； 另一条倾斜角为 ， 极坐标方程为sin(- )= sin( - )， 即sin(- )= .,【反思感悟】有关直线与圆的极坐标方程的综合问题,常常转化为直角坐标方程,结合几何图形,利用几何法进行判断和计算,这样可使问题简便.,【变式训练】已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=4cos， =-sin. （1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程,【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐 标系，两坐标系中取相同的长度单位 （1）x=cos，y=sin，
17、由=4cos得2=4cos, x2+y2=4x 即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程 同理x2+y2+y=0为圆O2的直角坐标方程 （2）由 相减得过交点的直线的直角坐标方程 为4x+y=0,【变式备选】在极坐标系中，圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值. 【解题指南】先将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再进行计算.,【解析】由圆=2cos得2=2cos, 2=x2+y2, 所以圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0的直角坐标方程分别为x2+y2=2x,3x+4y+a=0. 将圆的方程配方得（x-1）2+y2=1, 依题意，得圆心C（1，0）到直线3x+4y+a=0的距离为1，即 整理得3+a=5， 解得a=2或a=-8.所以实数a的值为2或-8.,