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1、选 修 4-5不 等 式 选 讲,第二节 不等式的证明、柯西不等式与平均值不等式,抓 基 础,提 能 力,明 考 向,备考方向要明了,一、比较法 1求差比较法 知道abab0，abab0，因此要证明ab，只要证明 即可，这种方法称为求差比较法,ab0,二、分析法 从所要证明的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法 三、综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法,结论,四、放缩法 在证明不等式
2、时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为放缩法,五、反证法的步骤 1作出否定 的假设； 2进行推理，导出 ； 3否定 ，肯定 ,结论,矛盾,假设,结论,(a1b1a2b2)2,2柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向 量，则|，其中等号当且仅当两个向量 方向相同或相反时成立,1综合法与分析法的内在联系 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程,2放缩法证明不等式的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等
3、量为不等量； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较 注意：放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出,精析考题,例1 (2011福建高考)设不等式|2x1|1的解集为M. (1)求集合M; (2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小,自主解答 (1)由|2x1|1，得12x11， 解得0x1，所以Mx|0x1 (2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1. 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0, 故ab1ab.,本例条件不变，试比较logm(ab1)与logm(ab)(m0且m1)的大小,解：0a1,0b1， (ab1)(ab)(a
4、1)(b1)0. 故ab1ab. 当m1时，ylogmX在(0，)上递增， logm(ab1)logm(ab) 当0m1时logmX在(0，)上单调递减， logm(ab1)logm(ab),巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),冲关锦囊 比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是 (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.,精析考题 例2 (2011安徽高考)(1)设x1，y1，证明 xyxy； (2)设1abc，证明 logablogbclogcalogbalogcblo
5、gac.,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),4(2012南通模拟)设x，y，z为正数，求证：2(x3y3 z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy),证明：因为x2y22xy0， 所以x3y3(xy)(x2xyy2)xy(xy)， 同理y3z3yz(yz)，z3x3zx(zx)， 三式相加即可得2(x3y3z3)xy(xy)yz(yz)zx(zx)， 又因为xy(xy)yz(yz)zx(zx)x2(yz)y2(xz) z2(xy) 所以2(x3y3z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy),2分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式 时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),点击此图进入,