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1、椭圆及其标准方程的教学设计一、教材分析1、椭圆定义的分析椭圆是常见的圆锥曲线，通过日常生活的体验，学生对椭圆已有一定的认识。为了使学生掌握椭圆的本质特征，得到椭圆的定义，教材介绍了一种画椭圆的方法，通过画图过程揭示椭圆上的点所要满足的条件。在讲解椭圆定义时，对“常数”加上了一个条件，即常数要大于|F1F2|。这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹。对于这两种情况，教学中可以及时加以说明，学生是不难理解的；而且可以加深对“常数要大于|F1F2|”的理解。另一方面，还可以通过在MF1F2中，两边之和大于第三边来理解。当然这样做的弊端是忽略特殊情况，即点M位于椭圆长轴端点的情形
2、。在椭圆定义的教学中，一定要充分展示椭圆的产生过程，引导学生分析椭圆上的点所满足的几何条件，从而为坐标系的选择和椭圆方程的建立奠定基础。2、椭圆标准方程建立的分析首先要建立坐标系。曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同。为了使方程简单，坐标系的选择要恰当。怎样选择恰当的坐标系，要跟剧具体情况来确定。一般情况下，应注意使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，注意到图形的对称性，不难想到使x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点与线段F1F2的中点重合，这样，两个定点的坐标比较简单，便于推导方程。在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c0），椭圆上任意一点到两个
3、焦点的距离的和为2a(a0），当然ac，这是为了使焦点及长轴的两个端点的坐标不出现分式，以便导出的椭圆方程形式简单。带根式的方程的化简是学生感到困难的，是教学难点，特别是由点M适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，方程中字母超过3个，且次数高、项数多，初中代数中没有做过这样的题目。我们教学时，要注意说明这类方程化简的方法，一般来说：（1）方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一边，把其他的各项移到另一边；（2）方程中有两个根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式。求得椭圆的方程（指）以后，教科书指出“从上述过程可以看到，椭圆上
4、任意一点的坐标都满足方程；以方程的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系可知，方程是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程。”目的是进一步加深对“曲线与方程”关系的认识。在求出椭圆的标准方程后教科书提出一个思考题：“如果焦点F1、F2在y轴上，且点F1、F2的坐标分别为(0,-c)，(0,c), a,b的意义同上，那么椭圆的标准方程时什么？”稍加思索，学生不难发现，应该把方程中x、y顺序对换，得到椭圆的另一个标准方程。这样一来，椭圆的标准方程有两个。3、对椭圆标准方程认识的分析在给出椭圆的两个标准方程以后，应向学生指出一下几点：来（1） 在椭圆的两种标准方程中，都有：ab0。（2） 椭圆的
5、焦点总在长轴上，如果焦点在x轴上，那么焦点坐标为 (-c,0) ,(c,0);如果焦点在y轴上，那么焦点坐标为(0,-c),(0,c)。（3） a,b,c始终满足关系式二、学情分析在学习本节内容以前，通过对必修3直线与圆以及选修2-12.1曲线与方程的学习，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，对曲线的方程的概念有一定的了解，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。 同时，经过一年零两个月的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了一定的提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括
6、、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时予以指导。三、教学目标分析1、知识与技能目标：准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导2、过程与方法目标：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力3、情感态度和价值观目标：（1）充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生观察、思考、探究、合作、归纳、促进合作意识（2）通过对椭圆定义的严密描述，培养学生求实严谨的科学作风来（3）通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的品质并体会数学的简洁美、对称美四、教学重点、难点分析1、重点：掌握椭圆的标准方程，理解
7、坐标法的基本思想2、难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用五、教法与学法分析1、教法设计：探究式教学方法教师为主导：设置情境、问题诱导学生为主体：直观观察动手操作探究讨论归纳抽象总结规律2、学法设计：本节课给学生提供以下四种机会：（1）提供观察、思考的机会；（2）提供操作、尝试、合作的机会；（3）提供表达、交流的机会；（4）提供成功的机会。3、教具准备：多媒体课件、细绳、白纸、笔六、教学过程设计分析(一)引入新课 “我们知道平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么平面内到两个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢？请同学们拿出画图工具以小组为单位画图，看看能得到什么样的图形？”
8、(二) 讲授新课1、归纳总结椭圆的定义椭圆：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2（大于）的点的集合叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距2c。注：为什么2a必须大于？ 当2a时，集合是椭圆。 当2a=时，集合是线段F1F2。 当2a时，轨迹不存在。.2、推导椭圆的方程（1）、复习用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出满足某种条件的动点的集合、列出方程、化简方程、证明等价性。 （2）、如何建立坐标系使求出的方程形式最简单？（学生讨论）复习建立适当直角坐标系的一般原则：以已知直线为坐标轴，兼顾图形的对称性。这里我们以经过椭圆两焦点所在的直线
9、为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系。为椭圆上任意一点，动点与两个焦点的距离之和为，焦距为，则。根据椭圆的定义，椭圆就是集合: ，将上述集合坐标化得：，化简上述方程：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号。方法：移项后两次平方去掉根号得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为（3）、对于焦点在y轴上椭圆的标准方程的处理为避免重复劳动，进行繁琐的化简，我们按以下方法进行处理：方法：先让学生猜想方程的形式，一般来说会有部分学生能说出正确答案，学生猜想后我再给出正确答案即：只需把焦点在x轴上的标准方程中的x、y的位置对换，得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为.具体过程让学生
10、在课后自己推导（作业）。(三) 、例题分析例题1、如果椭圆上一点到焦点的距离为8，那么点到另一个焦点的距离是多少？解：因为所以即8+=20，所以=12即点到另一个焦点的距离为12例题2、已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求其标准方程.解法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为+=1由椭圆的定义知所以又因为，所以故所求椭圆的标准方程为解法二：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为+=1 推出a210，b26， 故所求椭圆的标准方程为其中, 例1是教材第42页练习题的第一题变式，例2是教材第40页的例1。通过这两个例题，我们要强调对定义在解题中的应用，在用待定系数法求椭圆的
11、标准方程时需注意两点：首先要根据题意判断焦点位置，再设出相应的方程；其次注意充分运用三者之间的关系。(四)、课堂练习1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。（1）a4，b3，焦点在x轴上（2），焦点在轴上2、求下列椭圆的焦点坐标.（1）（2）(五) 、课堂小结1、椭圆的定义2、椭圆的两个标准方程（注意方程形式与焦点的位置的关系）标准方程+=1+=1图形xyMOxyMOa,b,c关系焦点坐标焦点位置在x轴上在y轴上(六)、 布置作业1、推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程。2、求适合下列条件的椭圆的标准方程。(1) 焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P；(2) 焦点坐标为,；(3)。（七）、板书设计：椭圆的标准方程1、定义2、椭圆的标准方程：焦点在x轴上：焦点在y轴上：例题讲解：例1、例2、演算草稿区8