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1、1,第五章 电磁波的辐射,2,要求引入矢势满足：,矢势的物理意义：在任一时刻，矢势沿任一闭合回路的积分等于该时刻通过回路的磁通量。,令 ，即,1 电磁场的矢势和标势,一、用势描述电磁场,讨论：,j 是标量，仍称为（标）势函数。一般地， j 不仅与E 有关，而且与B 有关，不再具有电势的物理意义。,3,求解电磁场问题，转化为求解势函数的问题。但实际上，势函数 与场量 并不是一一对应的，如果作变换,与 对应相同的 。由于y 的任意性，有多组 对应同一组 ，每组称为一种规范。,二、规范变换和规范不变性,讨论：,4,规范变换,不同规范对应相同的观测量 ，即当势作规范变换时，所有物理量和物理规律保持不变
2、规范不变性。,量子论中， 不能描述电磁场的全部物理属性。如：在AB效应中，在非单连通区域绕闭合回路一周的电子波函数的相位差由回路积分,描述，这个积分是有实际意义的物理量。对矢势作规范变换,即便是在量子力学中，可观测物理量仍保持不变性。,注意：,5,在经典电动力学， 是为了描述和求解电磁场的方便而引入的辅助量，规范不变性是用 描述时具有的数学特征；在量子论中， 具有独立的物理意义，规范不变性成为量子论重要的物理原理。 近代物理中，规范不变性是决定相互作用形式的一条重要规律，这不仅反映在电磁相互作用中，而且反映在强相互作用和弱相互作用中，传递这些相互作用的场也称为规范场，电磁场就是一种规范场。,只
3、限制了矢量场的旋度，要确定矢量场，还必须规定矢量场的散度。,矢量场的散度选取具有任意性，对于每个选取的矢量场的散度，就可确定一组 ，也就是对应势函数的一种规范。,三、两种常用规范,关于规范不变性：,6,选择矢势散度 这称为库仑规范条件,此时矢势是横场。注意 是纵场，对于电场,选择矢势散度 这称为洛伦兹规范条件,在这种规范下，关于势的方程简化为很简单的对称的形式。,1. 库仑规范,2. 洛伦兹规范,横场，在库仑规范下，横场部分由矢势描述，纵场由标势描述。即： 对应库仑场（电荷激发的电场）， 对应感应电场（变化的磁场激发的电场）。,7,真空中,对于标势,四、达朗贝尔方程,由于,8,势函数的运动方程
4、,对于库仑规范,特点：标势满足的方程与静电场相同，其解是库仑势。,对洛伦兹规范,称为达朗贝尔方程。,离开电荷和电流区域后，变为波动方程，说明矢势和标势以波动形式在空间中传播。（这是非物理波，因为选择其他规范，矢势和标势就可能没有波动特征）,9,考察对象：位于原点的点电荷，其电量记为 Q(t)。 在t 时刻，该点电荷的电荷密度,考察标势的达朗贝尔方程,在 处：点电荷激发的场应是球对称的。在球坐标下，标势具有球对称性，与q 和f 无关。,由于,令,2 推迟势,一、达朗贝尔方程的解,1.点电荷位于原点情形,10,通解为,f 和 g 是两个任意函数。故，在 处的解具有如下形式：,上述两项有不同的物理意
5、义。 第一项：等相面由 决定。对一定相位值,等相面移动速度（相速） ，等相面沿 r 正方向移动。,第二项：相速为 ，等相面沿 r 反方向移动。,第一项是向外发散的球面波；第二项是向内汇聚的球面波。对于电磁波辐射应考虑第一项，对于电磁波吸收应考虑第二项。,静电场情形，点电荷激发电场的电势为 ，这一形式适用于 r = 0 及其邻域。,讨论：,11,注意到此时电量随时间变化，对于辐射问题，物理上 t 时刻电场由 (t - r/c) 时刻电量决定。由此猜测，势函数为,当 时，它满足达朗贝尔方程。,在 r0 点及其邻域，上式仍满足达朗贝尔方程,考虑球心在原点，半径为h（很小）的球体积，考察积分,当时 时
6、， ，所以,证明：,12,作用有三种项：（）对Q 两次微商；（）对Q 一次微商和对（1/r）一次微商的乘积；（）对（1/r）两次微商。 第（）类项 ；第（）类项 ；只有第（）类项可能不为零。,对于达朗贝尔方程右端,故在 r = 0 及其邻域,13,即 是达朗贝尔方程的解。,点电荷在 x 处,作坐标平移变换 ，可证上式满足达朗贝尔方程。,电荷连续分布的带电体,对于矢势,达朗贝尔方程是在洛伦兹规范条件下导出的势函数满足的方程，所以物理上还要求上面的势函数满足洛伦兹规范条件。,2.其它情形,二、关于洛伦兹规范条件,14,设 ，,注意 ，所以 。又，对 而言，原来的 不对 作用，换成 后对 中 有作用
7、，要扣除这个作用。所以,积分空间应包含所有电流分布，由Gauss定理，第一项积分为零，所以,又,15,由电荷守恒定律,上述势函数的解满足洛伦兹规范条件。,讨论：,辐射场某点的势决定于较早时刻的电荷电流分布，称为推迟势。 一个电荷电流系统t 时刻，在空间x点的势（电磁场）不是决定与某个时刻的电荷分布。 电磁作用传播速度为c，其他一切相互作用都是以有限速度传播的，不存在瞬时超距作用。,16,宏观情形：变化的电流系统（交变电流）向外辐射电磁波。 微观情形：变速运动（加速度不为零）的带电粒子辐射电磁波。 考察对象：线度远小于辐射波波长的宏观电流系统的辐射场。,设电流密度随时间作简谐变化,作变换 ，并注
8、意,3 电偶极辐射,一、计算辐射场的一般公式,表相位滞后。令,17,电荷密度,令,有,18,辐射场标势,令,或,19,辐射场的磁感应强度,由,其中,辐射场的电场强度,利用,在电流分布以外的区域,其中,或,利用了,20,电荷电流系统辐射问题有3个特征长度：电荷电流分布区域线度l，辐射电磁波波长l，场点到电荷（电流）的距离r。,小区域电荷电流系统在物理上要求：,且,辐射场可分为三个区：近区 ；远区（辐射区） ；,感应区 。,小区域电荷电流系统辐射场近区满足：,小区域电荷电流系统辐射场远区满足：,辐射场物理特征,辐射场近区,二、矢势的展开,21,与静电场和静磁场结果类似。表明在近区可忽略电磁作用传递
9、的推迟效应，近似认为场与电荷（电流）同步变化。在近区的电场具有纵向特征。,（注意： ，且 ）,后面的研究表明：由于推迟效应，远区辐射场具有横场特征。 感应区是一个过渡区。,以下研究远区辐射场,其中,n为场点矢径 的方向矢。,22,采用球坐标，n记为 ，其中,又 ，注意 是小量，,远场点可略去分母中 项，但分子指数因子不能略去 。,23,相因子为 ,令 ，m为整数。实际上相因子为 ，D与 是可以比拟的,与R相比，不能略去相因子中 项。,小区域满足l l ，,考虑上述展开式中第一项,三、偶极辐射,说明：,24,考虑到时间部分,电流可视为多种运动的带电粒子，设第i 种粒子每个带电量为ei。单位体积含
10、有ni个第i 种粒子（粒子数密度）则,上式中求和是对所有带电粒子求和。又,其中，p是系统的偶极矩。,所以,注意到在前面计算中只保留到（1/R）的一次方项，上式中无需考虑 对（1/R）的作用。,25,其中 是R的方向矢量。,远区辐射场的磁感应强度,所以,远区辐射场的电场强度 对单一频率电磁场,由 可知,26,运算时保留到（1/R）的一次方项，有,若选系统偶极矩方向为极轴，则,表明：磁场沿纬线振荡，电场沿经线振荡。,27,辐射场远区的电场和磁场,如电场在空间是严格横场，则E 始终沿经线，这会导致有问题的结果：考虑一个经面（如图），在极点处，电场线相交，电场不在极点处违反单值性原则。 会聚于极点的电
11、场线应表示在极点有源，这与事实（极点处满足 ）不符。,以上矛盾是由于在推导中忽略了（1/R）高阶项而导致。事实上，考虑高阶项后，电场线还在同一经面上，但在极点附近将偏离横场（P.198 图5-4，电场线形成闭合曲线）。 考虑高阶项后磁感应线仍是纬线，磁场是严格横场。辐射场是TM 波。,讨论：,28,可以通过Poynting矢量计算辐射功率。对于偶极辐射场，注意到 ，有,总辐射功率（单位时间内穿过某一球面的能量）,球坐标下,四、辐射能流 角分布 辐射功率,29,30,讨论：,由 可知沿极轴方向（q = 0 ，p）无辐射能流（S = 0）；在q = p/2 ）平面，辐射最强。 ，频率变高时，辐射功
12、率迅速增加。 总辐射功率P与R无关,保证电磁能量可以传播到无穷远。,辐射场近区,所以,表明势函数与源近似作同步变化，即可忽略推迟效应。辐射电场主要是纵向场。（ ）,在辐射场远区，电场主要是横场。感应区应是一过渡区。,31,短天线的辐射 辐射电阻,振荡器供给直导线电流，直导线总长度为 l 。设导线上电流为,电流在中心点最大，在两端点为零。,当 l l 时，可看成小区域电流系统，讨论该系统的电偶极辐射。其电偶极矩变化率,实际上，前面的电流表达式中应该有时间部分，所以,Ex：,32,辐射功率,电磁能量不断向外辐射，电源需不断提供能量以维持辐射。可以用一个电阻损耗来等效辐射损耗。设电阻 R 上电流为,，电阻瞬时损耗功率为,其平均损耗功率为,短天线辐射的等效电阻称为辐射电阻,（欧姆）,辐射电阻是衡量天线辐射能力的物理量。增加天线长度是提高天线辐射能力重要手段，当 l 增大到与 l 可比拟时，已不能把短天线辐射简单看为偶极辐射。,