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1、设有线性方程组,（1）,第三章 线性方程组,1 消元法,相应的一些概念：,称为方程组的系数；,解 解集合 同解方程组,称为方程组的常数项；,引例,求解线性方程组,分析：用消元法解方程组的过程,解,用“回代”的方法求出解,于是解得,小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,定义：上述三种变换称为方程组的初等变换。,易知，对方程组（1）进行一系列
2、的初等变换 可得到一个阶梯形方程组，不妨设为,（5）,其中,方程组（5）与方程组（1）同解,方程组（5）无解，（1）无解。,分两种情况：,阶梯形方程组为,1),其中,（6）,方程组（6）和方程组（1）有唯一解。,2）,阶梯形方程组为,其中,把上述方程组改写为,（7）,由此可见，任给,一组值，就唯一地定出,的值，即为方程组（7）的一个解。,一般地，由（7）我们可以把,通过,表示出来。,这样一组表达式称为方程（1）的一般解。,称为一组自由未知量。,的情形是不可能出现的。,消元法解方程组的过程,定理1,在齐次线性方程组,证明,显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，,方程的个数不会超过原来方程的个数，即
3、,定义1,由 sn 个数排列成的 s 行（横的），n 列,称为一个 sn 矩阵。,数 aij，i1，2，s，称为矩阵的元素。 i,当一矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，它,（纵的）的表,称为元素 aij 的行指标，j 称为列指标。,就称为这一数域 P 上的矩阵。,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (称为方程组（1）的增广矩阵）的变换,定义2,所谓数域 P 上的矩阵初等行变换是指下列,当矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵 B 时，我们写,三种变换：,（1）以 P 中的一个非零的数乘矩阵的某一行；,（2）把矩
4、阵的某一行的 c 被加到另一行，c 是 P 中,（3）互换矩阵中两行的位置。,任意一个数。,成,nn 矩阵也称为 n 级方阵。一个 n 级方阵,定义一个 n 级行列式,称为 A 的行列式，记为,我们称形式如,的矩阵为阶梯形矩阵。,小结：任意一个矩阵经过一系列行初等变换总能,变成阶梯形矩阵。,例1：,换行,+,(-2) +,+,(-3) +,+,则上述方程组（1）可写成矩阵形式,若记,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,2 n 维向量空间,定义2,数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中,n 个数组成的有序数组,称为第 i 分量.,时， 维向量没有直观的几何形象
5、,可以把上述有关三维向量的讨论推广到n维向量.,定义:,1、两个向量的相等,2、两个向量的和,3、向量与数的数量乘积,4、零向量，负向量,易证：向量关于上述“和”、“ 数量乘积”满足交换律、结合律、分配律等. （P115: (2) (3) (6) (7) (8) ）,定义8 以数域 P 中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到在它们上面定义的加法和数量乘法，称为数域 P 上的n维向量空间.,维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量， 通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量， 通常用 等表示，如：,向 量,向量空间,空 间,定义 9,3 线性相关性,都是向量组,的一个线性组合:
6、且,维单位向量,零向量是任一向量组的线性组合。,当向量,是向量组,的一个,线性组合时，也说,可以经,线性表出。,小结一：,定义10,都可以经向量组,线性,表出，那么向量组,就称为可以经向量,线性表出。,如果两个向量互相可,以线性表出，它们就称为等价。,组,小结二：,每一个向量组都可以经它自身线性表出。,可以经向量组,线性表出。,线性表出，那么向量组,向量组等价的性质：,2）对称性：,如果向量组,与,等价，那么向量组,与,等价。,3）传递性：,如果向量组,与,等价，向量组,与,向量组,与,等价。,等价，那么,有一向量可以经其它的向量线性表出，那么向量组,称为线性相关的。,称为线性相关，,例 任意
7、一个包含零向量的向量组必线性相关。,即没有不全为零的数,使,就称为线性无关；或者说，一向量组,称为线性无关，如果由,可以推出,不线性相关，,如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个 向量组就线性相关。,如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个 非空的部分组也线性无关。,由定义可知,事实上，由,维单位向量,组成的向量组线性无关.,证,由于此方程组的系数行列式,定理 2,与,组，如果,1）,线性表出，,2）,那么向量组,必线性相关。,向量组,可以经,是两个向量,证明,由 1）有,到不全为零的数,使,做线性组合,的系数全为零，那就证明了,的线性相关性。这一点是能够做到的，由 2），即,齐次方程组,中
8、未知量的个数大于方程的个数，根据定理 1， 它有非零解。,推论 1,推论 2,推论 3,向量组,可以经,线性表出，且,线性无关，那么,两个线性无关的等价的向量组，必含,有相同个数的向量。,定理 2 的推论：,定义 13,一个向量组的一个部分组称为一个,极大线性无关组，如果这个组本身是线性无关的，,并且从这向量组中任意添一个向量（如果有的话）,所得的部分向量组都线性相关。,一个线性无关向量组的极大线性无关组,就是这个向量组本身.,任何一个极大线性无关组都与向量组本身等价.,一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.,小结四：,向量组的极大线性无关组不是唯一的.,定理 3,一向量组的极大线性无关组都含有相同,个数的向量。,定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与,极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组,本身的性质。,定义 14,向量组的极大线性无关组所含向量,的个数称为这个向量组的秩。,一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与,它所含向量的个数相同。,等价的向量组必有相同的秩。,向量组秩的简单性质：,