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1、 教学基本信息课名导数在研究函数中的应用-利用导数判断函数的单调性(第一课时 )是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段第一学段年级高二授课日期 教材书名：普通高中课程标准实验教科书 出版社：人民教育出版社 出版日期：2007 年 6 月北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者彭青松北京医学院附属中学13717900631实施者彭青松北京医学院附属中学13717900631指导者李 宁北京大学附属中学13601082518张思明北京大学附属中学010-62017288指导思想与理论依据导数概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是
2、进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一导数准确的揭示了自变量变化对相应函数值变化的影响，是对函数关系作为一种特殊对应关系认识的提升，“它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一，具有丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。数学课程标准指出“学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演
3、绎证明、反思与建构等思维过程”，教材对这部分内容的形式化程度得到很好的体现，突出了对数学概念本质理解的“返璞归真”，体现了“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”的思想，从而有利于学生摆脱符号的束缚，以便充分发挥他们的思维潜能。单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路,结合最近发展区理论,整个教学过程，从提出问题、寻找工具分析问题、发现工具选择问题
4、、验证工具演绎推理、论述工具 处理存疑、使用工具，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。教学背景分析1.学习内容分析(1)单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。(2)这节课是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后，试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。2.学生情况分析 (1).已有的知识储备(1.1)本节课的授课对象
5、是北医附中高二年级的理科重点班的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。(1.2) 学生基本能够借助单调性的定义来研究较为简单函数的单调性，基本了解基本初等函数的图象特征和基本性质，且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。(2).存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生对使用单调性定义处理较复杂函数问题的能力不够，数学的抽象概括能需要进一步提升。3.教学模式基于学生存在的问题，教学中采取问题引领、学生讨论、合作探究，演绎辨析，逐步得出利用导数研究函数
6、单调性的方法。 教学目标与重、难点【教学目标】知识与技能：了解函数的单调性与导数的关系。过程与方法：1.通过实例，借助几何直观探索、归纳并了解函数的单调性与导数的关系。2.经历“发现、猜想、实验、分析、归纳”的过程，感受研究数学问题方法的学科素养情感态度与价值观。1.在探究函数单调性与导数之间关系的过程中，体会数形结合的思想，感受知识之间的相互联系与运动变化。2.经历“面对问题、分析问题、解决问题”的过程。 【教学重点】 探究函数的单调性与导数的关系。【教学难点】 发现和揭示导数与函数单调性的关系。【教学工具】 借助多媒体课件等工具。教学流程示意整个教学过程，从提出问题、寻找工具分析问题、发现
7、工具选择问题、验证工具演绎推理、论述工具 处理存疑、使用工具，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。教学流程示意图如下：处理存疑、使用工具选择问题、验证工具演绎推理、论述工具提出问题、寻找工具分析问题、发现工具教学过程（一）提出问题 寻找工具材料1.据某医药杂志报道：为研究某种流感疫苗的疗效，在临床试验中，经过统计发现，流感疫苗注射入人体后，经过实验检测发现，血液中的药物浓度与时间近似地满足关系：教学过程设计意图教师、学生活动教学预设1.在分析函数：的单调性、图像时，已有的办法不凑效，这样造成认知上的冲突，寻找新的“工具”来研究函数的单调性就显得很必要；自然引入本节课的主要任务：寻找新工具来研究函
8、数的单调性。2.数学中一个新知识的引入，首先要回答的是“为什么需要”教师ppt出示材料1学生讨论以下几个问题：1.如果你是一位药物工作者，你会关注什么问题？2.血液中药物的浓度是如何变化的？3.血液中的药物浓度会达到某个最值吗？何时达到？4. 分析其最值，有什么办法？5.你能分析该函数的单调性吗？1.关注药物在血液中的浓度问题。2.若学生对问题2的回答“分析浓度与时间变化规律”,则可进一步追问：什么规律？是随时间的增加而增大（或减小）吗？对于问题3的讨论，若学生回答“何时达到最值”有困难，此时利用问题4引导学生回答：可以利用函数的单调性来分析“何时达到最值”对于问题5：学生可能会回答用函数单调
9、性的定义，此时可以让学生尝试用定义，发现不凑效，进而提出：有没有其它工具来分析函数的单调性。（二）分析问题 发现工具（ppt出示）材料2：竖直上抛一个小沙袋，沙袋运动过程中，其位移是时间的函数，设，试分析其位移的变化情况？教学过程设计意图教师、学生活动教学预设1.引导学生发现导数与函数单调性之间的联系是本节课的难点；基于学生的学科认知及微积分建立的过程，选择情境2这个学生在物理学科中常见的模型，这个模型很好的反映了“瞬时速度”与位移X之间的关系，而“瞬时速度”就是，进而让学生发现：利用函数的导数或许是研究函数单调性的新“工具”。2通过让学生探究熟悉情境的过程中，获得解决新情境问题的灵感或猜想，
10、符合学生的最近发展区,也更符合学生的认知规律，也是研究新问题的重要思路和方法。教师ppt出示材料2，并引导学生围绕以下几个问题展开讨论（以下问题渐近呈现给学生）：1. 随时间的变化，沙袋的位移是如何变化的？画出位移X随时间t变化的图像; 画出速度V随时间t变化的图像2.引起这种变化的原因是什么？3.瞬时速度的方向如何在V-t图像上表征出来的?4. 从函数的角度看，如何对位移随时间的变化规律进行表述？ 对于问题1，学生应该能比较容易得到：“随时间的变化，沙袋的位移是先增大，而后减小”，但对问题2中的引起这种变化的原因，学生不一定能说的很清楚，此时教师可提示从瞬时速度分析变化的原因。 对于问题2，
11、学生可能能分析出:瞬时速度的方向变化引起了位移的变化,但说出：“瞬时速度为正，则递增，瞬时速度为负，则递减” 这样的猜想可能有困难，此时给出问题3.但此时学生不会太有“区间”的意识。通过问题4引导学生从“瞬时速度”与“位移函数的导数”间的关系，让学生在脑袋中逐渐意识到：导数的符号与函数单调性之间存在某些关系，而这种关系可能就是要寻找的工具； （三）选择问题 验证工具教学过程设计意图教师、学生活动教学预设1.通过操作实验、进一步并达成对“函数的导数可以作为研究函数单调性的新工具”这一猜想的认同感；体会数形结合的思想方法。2.在多样性“实验样本”的验证过程中，逐渐让学生关注导数符号发生变化的“区间
12、”。3. 学生在经历:操作实验、验证猜想的过程中感受并体会研究一个数学问题的一般思路，提高学生的学科基本素养1.教师分发合作探究任务单（任务单见附件1），小组为单位，共同讨论选择2-3个具体的函数验证“导数与函数的单调性关系”这一猜想；教师巡视过程中，提醒学生尽可能选与周围同学不同的函数，以获得更多的“实验样本”.2.教师选择比较有代表性的小组汇报并使用实物投影展示。1.学生首先会选学过的基本初等函数验证，并达成对“函数的导数可以作为研究函数单调性的新工具”这一猜想有进一步的认同感。2.若出现学生举例的函数大多可能会集中在导数的符号恒大于（小于）零。可补充一些使导数在不同区间上符号发生变化的函
13、数3.学生可能选择函数:有可能学生提出：“存在导数为零的实数 ,如何写单调区间的问题”可以让学生讨论,最后形成共识:对于可导函数,如果导数为零的实数是有限且离散,即不形成连续区间的时,则不足以影响函数的单调趋势;另还可以做一些相关的说明，中学阶段一般研究函数的严格单调区间。（四）演绎推理、论述工具教学过程设计意图教师、学生活动教学预设函数的单调性和导数都刻画了“函数自变量的变化与函数值的变化”的关系，两者之间必然有联系；另一方面是导数源于“平均变化率”，而函数单调性定义的本质是“平均变化率”，因而导数与函数的单调性存在着“天然”的关系。1.数学中引入一个新的“工具”时，需要回答两问题：一是：为
14、什么需要？二是：为什么会是它，或者为什么它可以？通过演绎推理，从更一般的情况，对导数与函数单调性之间的关系作出论述。2.抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，从“数”的角度分析猜想的合理性和普适性，揭示了导数成为研究函数单调性的新“工具”是一个必然。学生回忆并表述函数单调性和导数的定义，教师出示函数单调性的定义在PPT上。第一阶段：引导从两个定义出发,若学生讨论没有结果则提示学生围绕下列问题讨论：(1).你能发现函数单调性的定义与平均变化率之间有什么关系吗？(2).这种关系能否用数学符号表达？(3).平均变化率的符号与瞬 时变化率符号之间是什么关系？第二阶段：学生归纳、表述:对于
15、可导函数，若在某区间上，则为该区间上的增函数；若在某区间上，则为该区间上的减函数第一阶段的处理过程中：1.由于函数单调性的定义是在高一上学期学的，学生回忆该定 义时，有可能不能准确、完整的加以表述。2.通过问题（1）、（2）的讨论，学生归纳出以下关系：对于在上单增（减）；3.在讨论问题（3）的过程中，可能面临的一个问题是：如何由“平均变化率”的符号得到“导数”与之相同的符号？对于这一问题，可以通过将“割线”平移成“切线”的办法做直观的解释（ppt演示），毕竟对这个问题的严格证明需用到“拉格朗日中值定理”等高等数学的知识。对此可以作为课外拓展，让学生自行查阅相关内容第二阶段学生在归纳表述过程中可
16、能会出现以下几个方面的问题：一是：学生对于“函数在区间上可导”这一条件容易忽视，教师可以通过举数列的例子做一些引导。二是：对“某区间”的理解不到位，引导学生指出“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”三是：若在某区间上恒成立，则为该区间上的常函数四是：有可能学生提出：“可导函数，若在某区间上，则为该区间上的减函数”这一问题，则可以做一些相关的说明，中学阶段一般研究函数的严格单调区间。（五）处理存疑、使用工具教学过程设计意图教师、学生活动教学预设从提出问题、面对问题，在经历了“发现、猜想、实验、分析、归纳”的过程之后，让学生重新回到最先开始的存疑，并解决，前后呼应，让学生进
17、一步体会从发现问题到解决问题的过程。思考问题（2）中的几个问题，学生通过比对问题，让学生进一步感受导数本身又是一个函数，考虑导函数的性质，自然会想到对导数求导（即二阶导）。注意个体差异，因材施教，必做题为基础训练，选做题既是对本节课的提升训练，也为下节课做好铺垫1.学生使用导数工具，处理材料1中存疑的问题，即药物在血液中浓度变化情况，并对结果解释其实际意义。教师点评。2.思考（备用）(1).画出函数的图像(备用)(2).已知函数和验证函数及的单调性分析两个函数单增性质在图像上的不同呈现这样的研究对思考(1)中图像研究有帮助吗？3.学生小结本节课的内容。4作业必做题：课本P27 A组 第2、3、
18、4题选做题：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有吗？学生在有了导数这个新的工具之后，应该能比较快的使用该工具解决情境1中的部分问题，但函数的定义域可能是学生容易忽视的地方；在画函数的图像时，学生可能会画出不同的增减趋势。 思考问题（2）中的几个问题，学生通过比对问题，会发现导数的导数刻画了增减的快慢。从知识和方法上，让学生进行小结六.学习效果评价通过课堂上学生讨论的情况、与教师互动的情况及课下作业等七.教学设计特色单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。那为什么还要用导数研究函
19、数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路，整个教学过程，从提出问题、寻找工具分析问题、发现工具选择问题、验证工具演绎推理、论述工具 处理存疑、使用工具，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。本节课的教学设计有以下几个方面的特色：1.关注生活 层层导入本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入环节的第一阶段，利用生活中的服药后血液中的药物浓度问题，引起学生认知上的冲突，自然导入本节课研究的问题：寻找工具解决函数的单调性；在引入环节的第二阶段：利用学生熟悉的物理背景，通过物体的运动变化规律及其
20、原因进行分析，发现其瞬时速度的方向发生变化会引起物体位移增大或减小，再结合导数的物理意义，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，发现研究函数单调性的工具，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.2.关注探究 合作生成前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解. 由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体3.关注演绎、具体到抽象在学生通过验证已经学过的常见函数，深化对所得结论的理解之后，再从“形”回到 “数”，抓住导数和单调性的定义之
21、间的联系提炼一般性的结论，进一步引导学生经历从特殊到一般、具体到抽象的过程，有效培养学生的数学学科素养。4.关注应用、数形结合回到材料1中的存疑，强化了应用，加深了对结论的理解；在了解函数的性质基础上，要求学生画出材料1中的函数大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并体会导函数在研究原函数单调性及增减快慢上的应用，突显了利用导数研究复杂函数单调性的优越性；问题逐层推进，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终八. 教学反思与改进在设计问题情境时，我们还是着眼于让学生发现导数在研究函数单调性上的应用，其实思维可以更广阔一些，问题可以更开放一些，比如放手让学生探究导数可以研究函数的哪些性质呢？由学生自己从文字、符号、图形等方面发掘导数可以研究函数的单调性，这样可以让学生更好的学会联系、学会思考，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。附件1：学生小组合作单举出几个函数，验证导数与函数单调性之间的联系函数函数的图象导数的图像函数的单调性12