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1、,设计模拟滤波器通常是给定幅度函数,标，由此得到物理可实现的系统函数,的技术指,1、模拟滤波器的模平方函数,可由系统冲激响应表示为,3.8 模拟滤波器(AF)设计,模拟滤波器的系统函数,模拟滤波器的系统频响,是实函数时，频响为,对应的LT是,定义幅度平方函数：,的关系：零、极点是象限对称的。,与,的零、极点,的零、极点,无论设计何种模拟（高通、带通、带阻）滤波器，都,可以先设计得到模拟低通滤波器的,换，得到所需要的,，再经频率变,。通常把,低通滤波器（或模拟低通原型），所以我们只讨论模,拟低通滤波器的设计方法,称为模拟原型,2、AF的技术要求,讨论低通AF的设计方法。,低通AF的技术指标是由容
2、限图给出的。,确定模拟低通的参数有：,，通带允许误差,阻带允许误差,阻带截止频率,通带截止频率,0,1,通带截止频率,通带允许最大衰减,一般,是由衰减表示的。,由衰减表示的一般容限图的参数有,阻带截止频率,阻带允许最小衰减,30dB,3dB,0,式中,定义衰减函数,为AF的输出功率；,为AF的输入功率；,功率传输比,若用,表示，则,输入输出电压（或电流）的变换。,例3-30 已知一模拟低通AF,试求通、阻带误差,（衰减越大，输出越接近零）。,以上的信号不能顺利通过，衰减不小于30dB,超过3dB，可以是单调的，也可以是波纹的。,以下的信号可以顺利通过，其衰减不,指标说明,阻带允许最小衰减,阻带
3、下限频率：,通带允许最大衰减,通带截止频率：,通带,或,阻带,得到振幅函数变化范围：,当给定滤波器的技术指标后，设计的任务就是要找到,一个符合要求的,或,。但是,不容易用多项式或有理式表示，所以要找到一个能够用,多项式或有理式逼近的函数。这个函数被称为特征函数，,用,表示。并将功率比表示为,3、滤波器对的逼近方法,这样我们得到用,表示的衰减函数为,为自变量的多项式或有理式。,等于以,逼近的方法是设,，或,是设法用某种方法逼近,，我们的任务就,或,如果给定了所希望的衰减,常用的,函数有,这是巴特沃思逼近的特征函数。,式中,这是切比雪夫逼近的特征函数。,下面具体介绍由这两个,器与切比雪夫滤波器。,
4、函数构成的巴特沃思滤波,(3-106),(3-107),(1),(2),巴特沃思滤波器也称最平响应特性滤波器。(3-106)式,是其特征函数。,3.8.1 Butterworth滤波器设计,1、巴特沃思滤波器的数学模型,模频特性为,其中：N是滤波器阶数。,Butterworth滤波器模频特性,1,0.707,Butterworth滤波器幅度平方函数图,1,0.5,时,(1),是滤波器的半功率点或幅频特性,所以,（-3dB）点。,的增加，通带边缘变化加快，幅频特性越逼近理,随着,为多少，幅频特性都通过,点。,想特性。但无论,都是平直的，即为“最平响应”滤波器的由来。,附近幅频特性,，并且在,时，
5、,(3)模频变化是单调的，相位特性较好。,要设计一个符合性能指标要求的巴特沃思滤波器，可知,阻带内,越逼近理想特性，通带内,且,数 。,首先要确定的参数有两个：-3dB截止频率 及系统阶,(2),2,的确定,、,1,两个方程，两个未知数，,可以解出。,(3-115),为改善阻带指标,(3-116a),或为改善通带指标,(3-116b),所以,3、求,即,将,因为,思路：由,的极点,为奇数时，分母为,当,解出,实轴上有极点。,的圆上，并且,为间隔，分布在半径为,极点是以,为偶数时，分母为,当,解出,的圆上，实轴上没有极点。,极点是以,为间隔，起点在,分布在半径为,由右半平面极点组成。,由左半平面
6、极点组成,其中：,为偶数时，实轴上没有极点。,有极点；当,对称虚轴，虚轴上无极点；当,为奇数时，实轴上,为半径，等间隔分布；,个极点，以,特点：有,例,例,时，,的极点。,点，做,根据因果稳定系统的要求，我们选出左半平面的N个极,所以,求,因为,令,由,可解出,则,(3-122),各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，可以作归一,化后的,表示为,化处理。如果采用对-3dB截止频率,归一化，归一,(3-123a),或,(3-123b),为归一化极点，表示为,式中,(3-124),(3-125),，则 (5) 式 变为,令,、,归一化后的巴特沃思滤波器一般也称归一化巴特沃思,原型低通滤波器。将(3
7、-124)式的分母多项式制成相应的,表 3-3 巴特沃思多项式表,1,2,3,表格如表3-3所示，这样的多项式称巴特沃思多项式。,4,5,6,7,4、设计步骤,(1)由,，及(3-115)式确定滤波器阶数,入(3-124)式得归一化系统函数。,(4) 去归一化，得到实际滤波器的系统函数,(3)用（3-116）式确定,。,(2)由,查表3-3或由(3-125)式确定归一化极点,， 代,，设计满足条件的巴特沃思低通滤波器。,例3-31、已知通带截止频率,，通带最大衰减,，阻带截止频率,，阻带最小衰减,解,函数,为改善阻带指标,取,取正整数，所以,。查表得滤波器归一化系统,去归一化，得到,去归一化计
8、算较繁，可以借助MATLAB完成去归一化的,工作。本例去归一化的MATLAB程序及结果如下,b=0 0 0 0 0 0 1;%分子系数；,a=1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1;,bt at=lp2lp(b,a,2.1096)% 去归一化分子、母系数；,%分母系数；,1.0000 8.1509 33.2183 85.8267 147.8352,答案,bt= 88.1456,at 分母系数,161.4373 88.1456,分子系数,去归一化后,因为实际频率,数值太大，受运算精度,的影响，我们在MATLAB程序中用取,。,因此最后分子系数要乘以,，分母多
9、项式系数结果,所以最后正确结果为,从第二项式要依次乘以,，,分子,分母,的阶数比巴特沃思滤波器要低。代价是相位特性比巴特,巴特沃思滤波器是常用的一种滤波器，从它的幅频特性,可见，它的通带误差低端小高端大。为了保证滤波器,通带高端的性能指标，滤波器的阶数就会较高。,切比雪夫滤波器采用等波纹逼近理想特性，使通带内误,差分布均匀。这样在相同指标情况下，切比雪夫滤波器,沃思滤波器差，且设计相对复杂。,3.8.2 Chebyshev滤波器,0,1,Chebyshev滤波器特点,较差。,缺点：通带内相位特性,数较低，结构简单。,优点：相同指标下，阶,通带内单调，阻带等波纹（型）。,通带内等波纹，阻带单调（
10、型）；,，则,是滤波器阶数，,式中,是波纹系数。,是第一类切比雪夫多项式，定义为,1、数学模型（逼近函数）,令：,递推,1、,令：,的递推公式：,0,-1,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,的特性曲线如图3-63所示。,的特点：,、,、,、,(1),时，,(3-129)式说明无论,为多少，模频特性在,时通过,点，所以定义,的截止频率。,为切比雪夫滤波器,时，,(2),(3),时，,快。切比雪夫滤波器模频特性如图3-64所示。,图3.8-9 切比雪夫滤波器模频特性,N=3,N=4,1,0,这时,的确定,2、,(1),由截止频率确定,(3) N由
11、阻带指标确定,所以,因为,由通带允许的波纹确定,(2),其中,有左半平面的极点作为,的极点。,个极点（所有极点是分布在一个椭圆上的），取出所,3、确定,因为,的2N,，解出,由,即,其中,满足椭圆方程：,则,式中,圆的分割点上，纵坐标落在大圆的分割点上。,当,的横坐标落在小,为奇数时，实轴上有极点。,在虚轴上没有极点。当,为偶数时，实轴上无极点，,极点分布特点,极点在大小圆上按等角间隔分布，对虚轴对称，并且,S平面,例三阶Chebyshev滤波器的极点位置如图3-65所示,2、求,得到系统函数的一般表示为,取Chebyeshev椭圆左半圆上的极点作为,的极点，,由其模平方函数还可推得,式中,是
12、,的多项式，最高阶次系数为,，由上式可解出,这样，切比雪夫滤波器的系统函数为,与巴特沃斯滤波器一样，为使设计统一，可将,对,做归一化处理。归一化后的系统函数表示为,归一化后的切比雪夫滤波器一般也称切比雪夫低通原型,滤波器。,的分母多项式制成多种,对不同的,，可将,表3-4列出了通带衰减为1dB时，阶数,表格，,与分,母多项式系数的关系。,表3-4 切比雪夫低通原型滤波器分母多项式,（通带波纹误差为1dB，,）,2 1.1025 1.0977,6 0.0689 0.3071 0.9393 1.2021 1.9308 0.9283,1 1.9652,3 0.4913 1.2384 0.9883,4
13、 0.2756 0.7426 1.4539 0.9368,5 0.1228 0.5805 0.9744 1.6888 0.9368,4、设计步骤,(1)由待求滤波器的通带截止频率,确定,，即,(2)由通带的衰减指标确定波纹系数,(3) 由波纹系数,、截止频率,及阻带衰减指标,、,确定系统的阶数,。,查表3-4得归一化系统函数,(4)由,(5) 去归一化，得到实际滤波器的系统函数,，设计满足条件的切比雪夫低,阻带最小衰减,例3-32指标同例3-31 。,通带最大衰减,，阻带截止频率,，,通滤波器。,解,查表3-4得到归一化系统函数,与巴特沃思滤波器指标相同，但阶数低。,去归一化，得到,可以借助MATLAB完成去归一化的工作。去归一化的,MATLAB程序及结果如下,式中,bt at=lp2lp(b,a,1.88495),b=0 0 0 0.4913;,a=1 0.9883 1.2384 0.4913;,1.0000 1.8629 4.4001 3.2904,at 分母系数,与巴特沃思的去归一化相同，因为,因此最后分子系数要乘以,，分母多项式系数结果,正确结果为,考虑,数值太大，受运算精度的影响，,我们在MATLAB程序中取,。,从第二项式要依次乘以,、,、,，所以最后,