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1、29 正弦函数、余弦函数的图象和性质(二) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 正弦函数和余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性 (二)能力训练点 1经过观察和推证揭示正弦函数和余弦函数的性质 2应用正弦函数和余弦函数的性质解决一些简单的问题 (三)德育渗透点 在揭示正弦函数和余弦函数的性质的过程中，注意培养学生多观察、勤思考、善应用的品格 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 (一)教学重点：正弦函数y=sinx，xR的性质 (二)教学难点：周期函数的概念 (三)教学疑点：周期函数是否一定有最小正周期 三、课时安排 本课题安排1课时,四、教与学课程设计 (一)复习正弦函数、余弦函
2、数的图象 师：上一节课我们研究了正弦函数、余弦函数的画法，现在请一位同学来讲怎样画正弦函数和余弦函数的图象(师用幻灯打出正弦函数、余弦函数的图象) 生：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份，作出对应于角O1 分成12等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点，连线即得正弦函数y=sinx，x0，2的图象余弦函数的图象，只要把余弦线“竖立”起来，就同样可以得到余弦函数y=cosx，x0，2的图象然后向左、右平移 师：回答正确今天，我们要研究正弦函数和余弦函数的性质 (二
3、)正弦函数和余弦函数的性质 师：我们观察正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx，它们的定义域是什么？,生：都是(-，+) 师：值域是什么？ 生：都是-1，1 师：最值是什么？当x为何值时，取得最佳？ 函数y=cosx在x=2k，kZ时取最大值y=1；在x=(2k+1)，kZ时取最小值y=-1 师：观察正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx，发现它们的值按照一定的规律不断重复出现由诱导公式sin(x+2k)=sinx，cos(x+2k)=cosx(xR)，也能知道它们的值按照一定的规律不断重复出现这就是它们的一个重要性质 一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数下，使得当x
4、取定义域内的每一个值时，f(x+Y)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期例如，对于,正弦函数y=sinx，xR来说，2，4，-2，-4，都是它的周期，一般地，2k(kZ，且k0)都是它的周期对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期例如，2是正弦函数y=sinx，xR的所有周期中的最小正数，因而2是这个函数的最小正周期 正弦函数y=sinx，xR和余弦函数y=cosx，xR都是周期函数，2k(kZ，且k0)都是它们的周期，最小正周期是2 今后读到三角函数的周期时，一般指的是三角函数的最小正周
5、期 师：现在我们来研究正弦函数和余弦函数的多奇性什么叫做奇函数？什么叫做偶函数？ 生：如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数,师：正弦函数和余弦函数是奇函数还是偶函数？为什么？ 生： sin(-x)=-sinx， 正弦函数y=sinx，xR是奇函数 cos(-x)=cosx， 余弦函数y=cosx，xR是偶函数 师：回答正确我们还要知道它们的图象的特征，正弦函数是奇函数，则正弦曲线关于原点O对称；余弦函数是偶函数，则余弦曲线关于y轴对称 减小到-1 由正弦函数
6、的周期性可知：,(kZ)上，都从1减小到-1，是减函数也就是说，正弦函数y=sinx 观察余弦曲线可得到什么结论？ 生：由余弦曲线可以看出，函数y=cosx在每一个闭区间(2k-1)，2k(kZ)上都从-1增大到1，是增函数；在每一个闭区间2k，(2k+1)(kZ)上，都从1减小到-1，是减函数也就是说，余弦函数y=cosx的单调区间是(2k-1)，k及2k，(2k+1)，(kZ) 师：完全正确上面我们研究了正弦函数和余弦函数的五个性质：定义域，值域，周期性，奇偶性、单调性下面请同学们做几起练习 (三)例题,例1 求使下列函数取得最大值的x的集合，并说出最大值是多少？ (1)y=2sinx，(
7、2)y=cosx+2，(3)y=sin2x，(4)y=3cos2x 函数y=2sinx的最大值为2 (2)使y=cosx+2取最大值的x的集合为x|x=2k，kZ，函数y=cosx+2的最大值为3 (4)2x=2k，x=k 使y=3cos2x取最大值的x的集合为x|x=k，kZ，函数y=3cos2x的最大值为3 例2 求下列函数的周期：,解：(1)因为sinx的最小正周期是2，所以当自变量x(xR)增加到x+2且必须增加到x+2时，函数sinx的值重复出现，函数3sinx的值也重复出现，因此y=3sinx的周期是2 (2)把2x看成是一个新的变量z，那么z的最小正周期是2，就是说，当z增加即z
8、+2且必须增加到z+2时，函数cosz的值重复出现，而z+2=2x+2=2(x+)，所以当x增加到x+且必须增加到x+时，函数值重复出现，因此y=cos2x的周期是,师：我们看到，例2中函数周期的变化仅与自变量x的函数有关一 根据这个结论，我们可以由正弦函数式或余弦函数式直接写出它的 例3 判定下列函数是偶函数，还是奇函数，或者都不是 (1)y=xsinx，(2)y=|sinx|，(3)y=cos2x+secx，(4)y=sinx+cosx，,解：(1) f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)， y=xsinx为偶函数 (2) f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x)， y=|sinx|为偶函数 (3) f(-x)=cos2(-x)+sec(-x)=(cos2x+secx=f(x)， y=cos2x=secx为偶函数 (4)都不是 (5)y=sin(+x)=-sinx f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x)，y=sin(+x)为奇函数,例4 不通过求值，指出下列各式大于零，还是小于零,(四)总结 本节课我们学习了正弦函数和余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，以及它们的简单应用 五、作业 P191中3、4、5(1)、6、7 六、板书设计,七、参考资料,