章节程地位和作用.ppt

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1、*线性代数*,课程的地位和作用,线性代数（Linear Algebra）是代数学的一个分支，“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。,线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。,该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。通过线性代

2、数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。,课堂要求,一、张扬的个性,二、灵活的思维,三、欣赏的眼光,课程结构,线性方程组,空间向量,行列式,矩阵,线性空间,线性变换,欧式空间,约当标准形,二次型,线性代数与分析几何,第一章 行列式,第一节 二阶与三阶行列式,用消元法解二元线性方程组,两式相减消去 ，得,一、二阶行列式,1、引入,类似的，消去 ，得,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,2、定义,称为二阶行列式，记为,主对角线,副对角线,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,3、计算,1）对角线

3、法则,行标,列标,记,记,则二元线性方程组的解为,系数行列式,系数行列式,今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？,例1,1、定义,二、三阶行列式,（6）式称为数表（5）所确定称为三阶行列式.,记为,构成数表,（5）,（6）,确定一个表达式，,由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列）,2)沙路法,2、计算,1)对角线法则,以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式.,解,按对角线法则，有,例2,求行列式,解,按对角线法则，有,例3,求解方程,所以,若系数行列式,3、三元线性方程组,则,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式为,且,同理可得,故方程组的解为:,其中 为将系

4、数行列式的第i列分别用常数项来代替而得的新的行列式.,第二节 排列及其逆序数,一、排列与逆序,“小 羊 上 山 吃 草” 六字可以构成多少句话？,“”六个数字可以组成多少个六位数？,没有重复元素,2、定义,1、引例,把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.,级排列共有 种,如：,特别：把个不同的数码、组成的有序数组称为一个级（阶、元）排列.,记作：,级排列共有种：,级排列共有种：,例 排列中，,我们规定各元素之间有一个标准次序, 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,3、逆序数,3 2 5 1 4,定义,分析,定义,的逆序.,则称这两个数组成一个逆序.,中，若数,在一个排列

5、,前面比,大的元素的个数称为元素,排在元素,请同学们以最快的速度写出所有级排列.,逆序数为奇数的排列称为奇排列；,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,4、排列的奇偶性,例1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,1） ,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,记为,解：,故此排列为偶排列.,2 1 7 9 8 6 3 5 4,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解：,2）,计算排列的逆序数，并讨论奇偶性.,分析,当 为奇数时，该排列为奇排列.,当 为偶数时，该排列为偶排列；,特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.,1、定义,二、对换,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，

6、这种作出新排列的手续叫做对换.,例,1）,2）,2、对换与排列的奇偶性的关系,定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。,证明：设排列为 1）,易见除 外，其它元素的逆序数不改变，,若,对换,对换后,的逆序数不变，而 的逆序数减1；,若,对换后,的逆序数增1，而 的逆序数不变.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。,设排列为 2）,对换,次相邻对换,所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,次相邻对换,欲,即,次相邻对换,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,定理2,个元素()共有!个阶排列,其中奇、偶排列各占一半.,证明: 设共有个奇排

7、列,个偶排列，现证.,故必有,奇排列,偶排列,所以,前两个数对换,个,个,偶排列,奇排列,所以,前两个数对换,个,个, 排列具有奇偶性., 一次对换，排列改变奇偶性., 个不同的元素的所有排列种数为!,三、小结,4 个元素()共有!个阶排列,其中奇、偶排列各占一半.,四、思考,求排列的逆序数两种思路,例 求下面排列的逆序数，并确定奇偶性.,解,1）从前往后求排在元素前面且比元素大的 数的个数，而后求和.,2）从后往前求排在元素后面且比元素小的 数的个数，而后求和.,第三节 n阶行列式的定义,1、概念的引入,二阶行列式,三阶行列式,分析,（1）二阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行

8、不同列的（二）三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的（二）三个元素的下标排列,三阶行列式共有 项，即 项,例,列标排列的逆序数为奇,列标排列的逆序数为偶,列标排列的逆序数为奇,负号,正号,负号,阶行列式是 项的代数和;,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积;,猜,2、定义,由 个数组成n阶行列式等于所有取自不同行列的,n个元素的乘积的代数和,记作：,为这个排列的逆序数。,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；,2、 阶行列式是 项的代数和；,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积

9、；,5、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.,3、应用,例5,六阶行列式的项,的符号为_.,解法一,行标234516的逆序数为,所以 前边应带正号.,431265的逆序数为,所以 前边应带正号.,解法二,列标312645的逆序数为,例6,计算行列式,1）,2）,分析,1）显然得,2）易见，只有项,所以,例7,计算行列式,1）,2）,分析,1）显然得,2）易见，只有项,所以,例8,计算行列式,1）,2）,3）,4）,几种特殊的行列式,这一系列格式行列式的值为,这一系列格式行列式的值为,几种特殊的行列式,例9 用行列式的定义计算,解,四、小结,五、思考题,已知,所以 的系数为,解,含 的项有两项

10、,即,对应于,第四节 行列式的性质,课前复习,几种特殊的行列式,这一系列格式行列式的值为,这一系列格式行列式的值为,几种特殊的行列式,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,证明 令,则 的转置行列式为,按定义,故,于是,故,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

11、.,证明,互换相同的两行，有,请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数，等于用 乘以此行列式.,？,性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则行列式等于下列两个行列式之和：,例,性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例1,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,二、应用举例,解,例2,解,例3,解,例4,解,计算行列式技巧：,1、分析，探求行列式的结构,2、化零，尽可能把行列式化为爪型,4、靠边，把行列式化为三角形行列式,3、对角化 ，边化,5、求出行列式,6、整理思路,三、小结,第

12、五节 行列式按行（列）展开,课前复习,性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 .,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.,性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子

13、式，,叫做元素 的代数余子式,例如,一、余子式与代数余子式,记作,注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,即 ,外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式,引理,的乘积，,一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除,证 当 位于首位时,即,即有,又,从而,命题得证,得,把 的第 行依次与第 行，第 行，第1行对调,下证一般情形,此时,得,把 的第 列依次与第 列，第 列，第1列对调,中的余子式,注意到：,元素 在行列式,中的余子式仍然是 在行列式,于是有,故,即,所以命题得证,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法

14、则,定理,利用行列式的性质四-拆分原理有,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,推论,命题得证,把行列式 按第 行展开有,证,把行列式中的 换成 可得,同理,命题得证,关于代数余子式的重要性质,例1,计算行列式常用方法：化零，展开.,三、应用举例,解,例2,第四行各元素余子式之和为,分析,以 表示 中元素 的余子式，则有,例3,例4,计算范德蒙德(Vander monde)行列式,将前一行乘以 加到后一行上,解,（从后往前）,按第一列展开，并把每一列的共因子 提出，有,n-1阶范德蒙德行列式,解,每一行提取各行的公因子，于是得到,例5,计算,上面等式右

15、端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知,四、行列式按某k行(列)展开（Laplace定理）,定义,位于这些行和列交叉处的 个元素，按照原来的顺序,定义,行标、列标.,在 阶行列式中,任意取定 行(列),构成一个 阶行列式 ，称为 的一个 阶子式.,划去这 行 列，余下的元素按照原来的顺序,构成一个 阶行列式，称为 的余子式.在其前面,行列式共有 个 阶子式.,例6,求行列式,解,定理,在 阶行列式中, 取定 行(列),式的乘积之和等于行列式 .,由这 行(列)组成的所有 阶子式与它们的代数余子,即,例7,求行列式,每次按第一、最后一行展开,解,例8,求行列式,每次按中间两行展开,解,五、

16、小结,余子式与代数余子式,关于代数余子式的重要性质,六、思考题,求第一行各元素的代数余子式之和.,解,第一行各元素的代数余子式之和为,第六节 克来姆法则（ Cramer）,课前复习,余子式与代数余子式,关于代数余子式的重要性质,设线性方程组,若常数项 不全为零，则称此方程组,若常数项 全为零，则称此方程组为,1、非齐次与齐次线性方程组的概念,一、Cramer法则,为非齐次线性方程组；,齐次线性方程组.,使得方程组成立的一组数 称为此方,程组的解.,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,2、Cramer法则,定理,那么线性方程组有解，并且解可以唯一表示为,右端的常数项代替后所得到的 阶行列式

17、.,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组,二、几个结论,1、线性方程组的相关定理,定理,定理,的系数行列式必为零.,如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它,方程组一定有解,且解是唯一的 .,2、齐次线性方程组的相关定理,如果齐次线性方程组的系数行列式,，则,齐次线性方程组没有非零解.即当且仅当只有零解.,如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行,列式必为零.,定理,定理,如果齐次线性方程组恒有零解.,定理,今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？,例1,例2 用Cramer法则解方程组,解,易见,所以，线性方程组的解唯一,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐

18、次方程组有非零解.,1、用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2、Cramer法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,3、如果线性方程组的系数行列式 则线性方程组一定有解,且解是唯一的 .,4、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,证明,四、思考题,第一章 小结与练习, 排列, 逆序数, 对换,4 n阶行列式的定义,5 n阶行列式的性质,6 行列式按行和列展开,7 Cramer 法则,典型例题分析与欣赏,行列式,逆序数的求法,解,另,行列式的求法,1、定义法,2、展开法,3、加边法,4、拆分法,5、递推法,6、三角法,7、Laplace展开定理,9、综合法,8、Vander monde行列式,10、降阶法 （略）,11、定义证明,证明,12、数学归纳法,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用 在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法,小结,Cramer法则,求一个二次多项式 ，使,解,设所求的二次多项式为,由题意得,由克莱姆法则，得,于是，所求的多项式为,